2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习01（含答案）

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2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习011.已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0)，且a<b．（1）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（2）说明直线与抛物线有两个交点；（3）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．             2.如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设△ODC外接圆的圆心为M，当sin∠ODC的值最大时，求点M的坐标.     3.已知二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)的图像与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于C点（0，3）.P为x轴下方二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像上一点，P点横坐标为m.（1）求a的值；（2）若P为二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像的顶点，求证：∠ACO=∠PCB；（3）Q（m+n，y0）为二次函数y=a(x-1)(x-3)(a>0)图像上一点，且∠ACO=∠QCB, 求n的取值范围.          4.已知：关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b和c的值．（2）若点A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n，使 ？若存在，请求出n；若不存在，请说明理由．（3）若点P是二次函数图象在y轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于C、D两点，若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，请求出所有符合条件点P的坐标．          5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.    
0.2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习01（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：  2.解：(1)在y=﹣x+3种，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴点A(4，0)、B(0，3)，把A(4，0)、B(0，3)代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+3；(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则△PEQ∽△OBQ，∴=，∵=y、OB=3，∴y=PE，∵P(m，﹣m2+m+3)、E(m，﹣m+3)，则PE=(﹣m2+m+3)﹣(﹣m+3)=﹣m2+m，∴y=(﹣m2+m)=﹣m2+m=﹣(m﹣2)2+，∵0＜m＜3，∴当m=2时，y最大值=，∴PQ与OQ的比值的最大值为；(3)由抛物线y=﹣x2+x+3易求C(﹣2，0)，对称轴为直线x=1，∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，设CO的垂直平分线与CO交于点N，连接OM、CM、DM，则∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，∴sin∠ODC=sin∠OMN==，又MO=MD，∴当MD取最小值时，sin∠ODC最大，此时⊙M与直线x=1相切，MD=2，MN==，∴点M(﹣1，﹣)，根据对称性，另一点(﹣1，)也符合题意；综上所述，点M的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣). 3.解：  4.解：  5.解：(1)∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A(﹣4，0)，B(0，4)抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4.令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C(1，0).(2)如答图1所示，设D(t，0).∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E(t，t+4)，P(t，﹣t2﹣3t+4).PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t﹣4=﹣t2﹣4t=﹣(t+2)2+4，∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P(﹣2，6).(3)存在.如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H.设OH=m(m＞0)，∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴yQ=4﹣m.又M为OA中点，∴MH=2﹣m.△MON为等腰三角形：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴yQ=4﹣m=3.由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得xQ=，∴点Q坐标为(，3)或(，3)；②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=(4﹣m)2+(2﹣m)2，化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4(不合题意，舍去)∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得xQ=，∴点Q坐标为(，2)或(，2)；③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=(4﹣m)2+m2，化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形.所求Q点的坐标为(，3)或(，3)或(，2)或(，2).