卷05—2021年《中考·数学冲刺》（全国通用）中考热身卷

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全国卷05—2021年《三步冲刺中考·数学》（全国通用）之第3步中考热身卷
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．计算（﹣3）+5的结果等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】A
【解答】解：（﹣3）+5＝5﹣3＝2．
故选：A．
2．cos30°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解答】解：cos30°＝．
故选：B．
3．我国福利彩票大乐透玩法，中一等奖的概率大约为，把用科学记数法表示为（　　）
A．2×10﹣7 B．5×10﹣7 C．2×10﹣8 D．5×10﹣8
【答案】D
【解答】解：0.00000005＝5×10﹣8，
故选：D．
4．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．如图所示几何体的左视图正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从几何体的左面看所得到的图形是：

故选：A．
6.岛P位于岛Q的正西方，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上．符合条件的示意图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：根据文字语言，画出示意图，如下：

故选D．
7.若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
【答案】B
【解答】解：当x＝﹣3，y1＝﹣＝4；
当x＝﹣2，y2＝﹣＝6；
当x＝1，y3＝﹣＝﹣12，
所以y3＜y1＜y2．
故选：B．
8.如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（　　）

A． AD＝BD B．AE＝AC C．ED+EB＝DB D．AE+CB＝AB
【答案】D
【解答】解：∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BE＝BC．
∵AE+BE＝AB，
∴AE+CB＝AB，
故D正确，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）

A． BC B．CE C．AD D．AC
【答案】B
【解答】解：如图连接PC，

∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0．有下列结论：
①abc＞0；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：当x＝0时，c＝﹣2，
当x＝1时，a+b﹣2＝﹣2，
∴a+b＝0，
∴y＝ax2﹣ax﹣2，
∴abc＞0，
①正确；
x＝是对称轴，
x＝﹣2时y＝t，则x＝3时，y＝t，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
②正确；
m＝a+a﹣2，n＝4a﹣2a﹣2，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，
∵当x＝﹣时，y＞0，
∴a＞，
∴m+n＞，
③错误；
故选：C．
二、 填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11.计算2x4•x3的结果等于　 　．
【解答】解：2x4•x3＝2x7．
故答案为：2x7．
12.如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB＝6，则直线AB与ON之间的距离是　 　．

【解答】解：如图所示，过B作BE⊥ON于E，
由题可得OP平分∠MON，
∴∠DOA＝∠BOA，
∵AB∥DO，
∴∠DOA＝∠BAO，
∴∠BOA＝∠BAO，
∴BO＝BA＝6，
∵∠NOM＝60°，∠BEO＝90°，
∴∠OBE＝30°，
∴OEOB＝3，
∴BE，
即直线AB与ON之间的距离为，
故选：A．

13.不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、3个绿球和2个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是　 　．
【解答】解：从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率＝．
故答案为．
14.将直线y＝x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　 　．
【解答】解：将直线y＝2x直线y＝x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2．
15.观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．
【解答】（1）第6个等式为：，故答案为：．
（2），
证明：∵右边==左边．
∴等式成立，
故答案为：．
16,如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，
（I）∠ACB的大小为　 　（度）；
（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．

【解答】解：（1）由网格图可知
AC＝
BC＝
AB＝
∵AC2+BC2＝AB2
∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．
∴∠ACB＝90°
故答案为：90°
（Ⅱ）作图过程如下：
取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求

证明：连CF
∵AC，CF为正方形网格对角线
∴A、C、F共线
∴AF＝5＝AB
由图形可知：GC＝，CF＝2，
∵AC＝，BC＝
∴△ACB∽△GCF
∴∠GFC＝∠B
∵AF＝5＝AB
∴当BC边绕点A逆时针旋转∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．
由作图可知T为AB中点
∴∠TCA＝∠TAC
∴∠F+∠P′CF＝∠B+∠TCA＝∠B+∠TAC＝90°
∴CP′⊥GF
此时，CP′最短
故答案为：如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求
三．解答题（本大题共9小题，满分72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后论须使用黑色字的签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）
17.解方程：﹣＝1．
【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）＝（x﹣3）（x+3）
x2+6x+9﹣4x+12＝x2﹣9，
x＝﹣15，
检验：x＝﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，
∴原分式方程的解为：x＝﹣15，
18.先化简，再求值：（1），其中m＝2．
【解答】解：（1）



，
当m＝2时，原式6．
19.在全民读书月活动中，某校随机调查了部分同学，本学期计划购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．根据相关信息，解答下列问题．
（1）这次调查获取的样本容量是　 　．（直接写出结果）
（2）这次调查获取的样本数据的众数是　 　，中位数是　 　．（直接写出结果）
（3）若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

【解答】解：（1）样本容量是：6+12+10+8+4＝40，
故答案为：40；
（2）由统计图可得，
这次调查获取的样本数据的众数是30，中位数是50，
故答案为：30，50；
（3）1000＝50500（元），
答：该校本学期计划购买课外书的总花费是50500元．
20.直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．


【解答】解：（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），
∴m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4
（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y＝2x﹣1，
令y＝0，解得x＝，
∴P′（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．


21．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，
（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

【解答】解：（Ⅰ）连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB﹣∠BAC＝90°﹣38°＝52°，
∵D为的中点，∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ABD＝45°；
（Ⅱ）连接OD，
∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，
由DP∥AC，又∠BAC＝38°，
∴∠P＝∠BAC＝38°，
∵∠AOD是△ODP的一个外角，
∴∠AOD＝∠P+∠ODP＝128°，
∴∠ACD＝64°，
∵OC＝OA，∠BAC＝38°，
∴∠OCA＝∠BAC＝38°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠OCA＝64°﹣38°＝26°．


22．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．
参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，取1.414．

【解答】解：如图作PC⊥AB于C．
由题意∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120，
在Rt△APC中，sinA＝，cosA＝，
∴PC＝PA•sinA＝120•sin64°，
AC＝PA•cosA＝120•cos64°，
在Rt△PCB中，∵∠B＝45°，
∴PC＝BC，
∴PB＝＝≈153．
∴AB＝AC+BC＝120•cos64°+120•sin64°
≈120×0.90+120×0.44
≈161．
答：BP的长为153海里和BA的长为161海里．

23．甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg．在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超过50kg部分的价格为5元/kg．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．
（Ⅰ）根据题意填表：
一次购买数量/kg
30
50
150
…
甲批发店花费/元
　 　
300
　 　
…
乙批发店花费/元
　 　
350
　 　
…
（Ⅱ）设在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数解析式；
（Ⅲ）根据题意填空：
①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　 　kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的　 　批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　 　批发店购买数量多．
【解答】解：（Ⅰ）甲批发店：6×30＝180元，6×150＝900元；乙批发店：7×30＝210元，7×50+5（150﹣50）＝850元．
故依次填写：180 900 210 850．
（Ⅱ）y1＝6x （x＞0）
当0＜x≤50时，y2＝7x （0＜x≤50）
当x＞50时，y2＝7×50+5（x﹣50）＝5x+100 （x＞50）
因此y1，y2与x的函数解析式为：y1＝6x （x＞0）； y2＝7x （0＜x≤50）y2＝5x+100 （x＞50）
（Ⅲ）①当y1＝y2时，有：6x＝7x，解得x＝0，不合题意，舍去；
当y1＝y2时，也有：6x＝5x+100，解得x＝100，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克．
②当x＝120时，y1＝6×120＝720元，y2＝5×120+100＝700元，
∵720＞700
∴乙批发店花费少．
故乙批发店花费少．
③当y＝360时，即：6x＝360和5x+100＝360；解得x＝60和x＝52，
∵60＞52
∴甲批发店购买数量多．
故甲批发店购买的数量多．
24．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，D，M是线段AB上的点，E，N是线段AC上的点，且DE∥MN∥BC．
（1）观察猜想
如图1，若点D，M是线段AB的三等分点，则　 　，　 　，由此，我们猜想线段DM，EN，MB，NC之间满足的数量关系是　 　．
（2）类比探究
将△ADE在平面内绕点A按逆时针方向旋转一定的角度，连接DM，DB，EN，EC，猜想在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
将△ADE在平面内绕点A自由旋转，若AM＝3，请直接写出线段CE﹣EN的最大值．

【解答】解：（1）∵点D，M是线段AB的三等分点，E，N是线段AC上的点，
∴AD＝DM＝BM，AE＝EN＝NC，
∴．
猜想：．
理由：∵DE∥MN∥BC，
∴△ADE∽△AMN∽△ABC，
∴，
∴．
故答案为，，．

（2）成立．
理由：由（1）可知：，，∠DAE＝∠MAN＝∠BAC，
∴，∠MAD＝∠NAE，∠BAD＝∠CAE，
∴△AMD∽△ANE，△ABD∽△ACE，
，，
∵，
∴．

（3）由（2）可知：，
∴求线段CE﹣EN的最大值，即为求BD﹣DM的最大值，
由题意可得BM＝AB﹣AM＝5﹣3＝2，
在△BDM中，BM＞BD﹣DM，
∴当D，B，M共线时，BD﹣DM＝BM＝2，即BD﹣DM的最大值为2，
∴CE﹣EN的最大值为．
25．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t＝m2﹣2m﹣3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（﹣m，﹣t），
∵点P′落在抛物线上，
∴﹣t＝（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t＝﹣m2﹣2m+3，
∴m2﹣2m﹣3＝﹣m2﹣2m+3，解得m＝或m＝﹣；
②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，
∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴﹣4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t＝m2﹣2m﹣3，
∴m2﹣2m＝t+3，
∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），
∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；
∴当t＝﹣时，P′A2有最小值，
∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，
∵m＞0，
∴m＝不合题意，舍去，
∴m的值为．