卷06—2021年《中考·数学冲刺》（全国通用）中考热身卷

全国卷06—2021年《三步冲刺中考·数学》（全国通用）之第3步中考热身卷

说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．|﹣15|等于（　　）

A．15 B．﹣15 C．±15 D．

【答案】A

【解答】解：∵负数的绝对值是它的相反数，

∴|﹣15|等于15，

故选：A．

2．如图，由5个完全一样的小正方体组成的几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解答】解：由5个完全一样的小正方体组成的几何体的主视图是：，

故选：B．

3．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：B．

4．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（　　）

A．126° B．134° C．136° D．144°

【答案】A

【解答】解：如图所示：

∵a∥b，∠1＝54°，

∴∠1＝∠3＝54°，

∴∠2＝180°﹣54°＝126°．

故选：A．

5．下列计算正确的是（　　）

A．（﹣3x）3＝﹣27x3 B．（x﹣2）2＝x4 

C．x2÷x﹣2＝x2 D．x﹣1•x﹣2＝x2

【答案】A

【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故A符合题意；

B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B不符合题意；

C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C不符合题意；

D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D不符合题意；

故选：A．

6．若点A（m，n）在一次函数y＝3x+b的图象上，且3m﹣n＞2，则b的取值范围为（　　）

A．b＞2 B．b＞﹣2 C．b＜2 D．b＜﹣2

【答案】D

【解答】解：∵点A（m，n）在一次函数y＝3x+b的图象上，

∴3m+b＝n．

∵3m﹣n＞2，

∴﹣b＞2，即b＜﹣2．

故选：D．

7．下列说法正确的是(　　)

A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨

B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查(普查)方式

C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件

D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大

【答案】D

【解答】

A.明天降雨的概率是50%表示明天降雨的可能性是50%，所以此选项说法错误；

B.了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量在全国范围内调查的范围较大，因此不适合普查，采用抽样调查方式，所以此选项说法错误；C.掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，可以出现6种可能的结果，所以6点朝上是随机事件，所以此选项说法错误；

D.由于方差是刻画波动大小的一个重要的数字因此，一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，所以此选项说法正确.

故选：D

8．甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．

下列说法错误的是（　　）

A．甲队每天修路20米 

B．乙队第一天修路15米 

C．乙队技术改进后每天修路35米 

D．前七天甲，乙两队修路长度相等

【答案】D

【解答】解：由题意可得，

甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；

乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；

乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；

前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；

故选：D．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A．92° B．108° C．112° D．124°

【答案】C

【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，

∴∠ABC＝34°，

∵＝，

∴2∠ABC＝∠COE＝68°，

又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，

∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．

故选：C．

10．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．8

【答案】B

【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，

∴∠BAD＝∠ADE＝90°，

∴DE∥AB，

∴∠CED＝∠CAB，

∵∠C＝∠C，

∴△CED∽△CAB，

∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，

∴S△DEC：S△ACB＝1：4，

∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，

∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，

∴S△ACB＝4，

故选：B．

二．填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

11．分解因式：2x2﹣2x+＝　   　．

【解答】解：原式＝2（x2﹣x+）

＝2（x﹣）2．

故答案为：2（x﹣）2．

12.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝　   　．

【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0的一个根，

∴4+2m+2n＝0，

∴n+m＝﹣2，

故答案为：﹣2．

13．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC＝90°，∠B＝30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF＝20°，则∠BED的度数为　   　°．

【解答】解：如图所示，∵DE∥AF，

∴∠BED＝∠BFA，

又∵∠CAF＝20°，∠C＝60°，

∴∠BFA＝20°+60°＝80°，

∴∠BED＝80°，

故答案为：80．

14．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为　   　．

【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个，

故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：．

故答案为：．

15.某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共用地砖　   　块．

【解答】解：第一次拼成形如图1所示的图案共有4块地砖，4＝2×（1×2），

第二拼成形如图2所示的图案共有12块地砖，12＝2×（2×3），

第三次拼成形如图3所示的图案共有24块地砖，24＝2×（3×4），

第四次拼成形如图4所示的图案共有40块地砖，40＝2×（4×5），

…

第n次拼成形如图1所示的图案共有2×n（n+1）＝2（n2+n）块地砖，

故答案为2n2+2n．

16．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是　   　．

【解答】解：作FH⊥BC于H，连接AE，如图，

∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，

∴BE＝CE＝CH＝FH＝6，

AE＝＝6，

易得Rt△ABE≌△EHF，

∴∠AEB＝∠EFH，

而∠EFH+∠FEH＝90°，

∴∠AEB+∠FEH＝90°，

∴∠AEF＝90°，

∴图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF

＝12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6

＝18+18π．

故答案是18+18π

三．解答题（本大题共9小题，满分72分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程请将解答写在答题卡中相应的区域内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后论须使用黑色字的签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）

17．（4分）计算：|﹣|+﹣（）2．

【解答】解：原式＝+3﹣＝3

18.（7分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣2．

【解答】解：原式＝．

当时，原式＝．

19．（8分）甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）：

某同学计算出了甲的成绩平均数是9，方差是

S甲2＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2]＝0.8，请作答：

（1）在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来；

（2）若甲、乙射击成绩平均数都一样，则a+b＝　   　；

（3）在（2）的条件下，当甲比乙的成绩较稳定时，请列举出a、b的所有可能取值，并说明理由．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）由题意知，＝9，

∴a+b＝17，

故答案为：17；

（3）∵甲比乙的成绩较稳定，

∴S甲2＜S乙2，即[（10﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（a﹣9）2+（b﹣9）2]＞0.8，

∵a+b＝17，

∴b＝17﹣a，

代入上式整理可得：a2﹣17a+71＞0，

解得：a＜或a＞，

∵a、b均为整数，

∴a＝7、b＝10；a＝10、b＝7．

20.（8分）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．

【解答】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，

∴AB＝＝1米，

∴AH＝0.8米，

∵AF＝FC＝2米，

∴BF＝1米，

作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，

∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，

∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，

∴，BJ＝BH＝0.6米，

即，

解得，EK＝1.28，

∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，

∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．

21.(8分)．如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为10海里．

(1)填空：∠BAC＝________°，∠C＝________°；

(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号)．

解：(1)30；45.

(2)设BP＝x海里．

由题意得BP⊥AC，

∴∠BPC＝∠BPA＝90°.

∵∠C＝45°，∴∠CBP＝∠C＝45°.

∴CP＝BP＝x.

在Rt△ABP中，∠BAC＝30°，

∴∠ABP＝60°.

∴AP＝tan∠ABP·BP＝tan60°·BP＝x.

∴x＋x＝10.解得x＝5－5.

∴BP＝5－5.

答：观测站B到AC的距离BP为(5－5)海里．

22．（8分）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．

（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？

（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？

【解答】解：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，

根据题意，得：，

解得：，

答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元；

（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，

根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，

解得：a≤5，

答：该学校至多能购买5台B型打印机．

23．（9分）如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．

（1）求线段AD的长；

（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．

【解答】解：（1）由x2﹣4＝0得，x1＝﹣2，x2＝2，

∵点A位于点B的左侧，

∴A（﹣2，0），

∵直线y＝x+m经过点A，

∴﹣2+m＝0，

解得，m＝2，

∴点D的坐标为（0，2），

∴AD＝＝2；

（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2+bx+2，

y＝x2+bx+2＝（x+）2+2﹣，

则点C′的坐标为（﹣，2﹣），

∵CC′平行于直线AD，且经过C（0，﹣4），

∴直线CC′的解析式为：y＝x﹣4，

∴2﹣＝﹣﹣4，

解得，b1＝﹣4，b2＝6，

∴新抛物线对应的函数表达式为：y＝x2﹣4x+2或y＝x2+6x+2．

24．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE•DA＝DC2；

（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．

【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，

所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，

而∠BOD＝2∠BAD，

所以∠CAB＝∠BOD，

所以DO∥AC；

（2）∵，

∴∠CAD＝∠DCB，

∴△DCE∽△DAC，

∴CD2＝DE•DA；

（3）∵tan∠CAD＝，连接BD，则BD＝CD，

∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝，

设：DE＝a，则CD＝2a，

而CD2＝DE•DA，则AD＝4a，

∴AE＝3a，

∴＝3，

而△AEC∽△DEF，

即△AEC和△DEF的相似比为3，

设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，

tan∠CAD＝，

∴AC＝6k，AB＝10k，

∴sin∠CDA＝．

25．（11分）如图①，直线l表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线l上，小明从点A出发，沿公路l向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处，最后沿公路l回到点A处．设AE＝x米（其中x＞0），GA＝y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，

（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；

（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由．

【解答】解：（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx+b，

将M（30，230）、N（100，300）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴线段MN所在直线的函数表达式为y＝x+200．

（2）分三种情况考虑：

①考虑FE＝FG是否成立，连接EC，如图所示．

∵AE＝x，AD＝100，GA＝x+200，

∴ED＝GD＝x+100．

又∵CD⊥EG，

∴CE＝CG，

∴∠CGE＝∠CEG，

∴∠FEG＞∠CGE，

∴FE≠FG；

②考虑FG＝EG是否成立．

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥EG，

∴△FBC∽△FEG．

假设FG＝EG成立，则FC＝BC成立，

∴FC＝BC＝100．

∵AE＝x，GA＝x+200，

∴FG＝EG＝AE+GA＝2x+200，

∴CG＝FG﹣FC＝2x+200﹣100＝2x+100．

在Rt△CDG中，CD＝100，GD＝x+100，CG＝2x+100，

∴1002+（x+100）2＝（2x+100）2，

解得：x1＝﹣100（不合题意，舍去），x2＝；

③考虑EF＝EG是否成立．

同理，假设EF＝EG成立，则FB＝BC成立，

∴BE＝EF﹣FB＝2x+200﹣100＝2x+100．

在Rt△ABE中，AE＝x，AB＝100，BE＝2x+100，

∴1002+x2＝（2x+100）2，

解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣（不合题意，舍去）．

综上所述：当x＝时，△EFG是一个等腰三角形．