卷01—2021年《中考·数学冲刺》（全国通用）中考热身卷

全国卷01—2021年《三步冲刺中考·数学》（全国通用）之第3步中考热身卷

说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为90分钟．

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．的相反数是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A 

【解答】解：的相反数是．故选：A．

2．2019年10月，据央视财经的报道，中科院“种”出了钻石，将从甲烷气体中分裂出的碳原子沉积在“种子钻石”上，就会以每小时0.007毫米的速度“生长”，在实验室环境下，一星期就可以培育一颗1克拉大小的钻石．将数据“0.007毫米”用科学记数法可表示为（　　）

A．7×10﹣3米 B．0.7×10﹣6米 C．7×10﹣5米 D．7×10﹣6米

【答案】D

【解答】解：0.007毫米＝0.000007厘米＝7×10﹣6米．

故选：D．

3．如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体向右平移到正方体前面，其“三视图”中发生变化的是（　　）
 

A.主视图      B.左视图      C.俯视图      D.主视图和左视图      

【答案】C

【解答】解：若把正方体A向右平移到正方体P前面，俯视图发生变化，

故选：C.

4．下列运算正确的是（　　）

A．2a+3a＝5a2 B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 

C．a2•a3＝a6 D．（a+2b）2＝a2+4b2

【答案】B

【解答】解：A.2a+3a＝5a，故本选项不合题意；

B．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确；

C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；

D．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项不合题意．

故选：B．

5．双十一期间，某超市以优惠价销售A，B，C，D，E坚果五种礼盒，它们的单价分别

为90元、80元、70元、60元、50元、当天销售情况如图所示，则当天销售坚果礼盒的平均售价为（　　）

A．75元 B．70元 C．66.5元 D．65元

【答案】C

【解答】解：90×10%+80×20%+70×25%+60×15%+50×30%

＝9+16+17.5+9+15

＝66.5（元）

即当天销售坚果礼盒的平均售价为66.5元，

故选：C．

6．已知A（0，﹣1），B（1，﹣3），先将线段AB向左平移3个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内，将其扩大为原来3倍，则点A的对应点坐标为（　　）

A．（3，9） B．（6，3） C．（6，9） D．（9，3）

【答案】D

【解答】解：线段AB向左平移3个单位得到A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣1），

以原点O为位似中心，在第一象限内，将其扩大为原来3倍，

所以点A的对应点坐标为（9，3）．

故选：D．

7．太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解答】解：回收垃圾、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾筒分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为a、b，

画树状图如图：

共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，

∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；

故选：C．

8．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m B．m C．m且m≠1 D．m≠1

【答案】A

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，

∴△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，

解得m，

故选：A．

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A＝30°，BC＝2，则AH的长是（　　）

A． B．2 C．1 D．22

【答案】D

【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，

∴∠B＝60°，ACBC＝2，

由作法得FG垂直平分AC，CH＝CF，

∴FA＝FC，

∴∠A＝∠FCA＝30°，

∴∠BCF＝60°，

∴△BCF为等边三角形，

∴CF＝CB＝2，

∴AH＝AC﹣CH＝22．

故选：D．

10．如图①，在正方形ABCD中，点P从点D出发，沿着D﹣A方向匀速运动，到达点A后停止运动，点Q从点D出发，沿着D﹣C﹣B﹣A的方向匀速运动，到达点A后停止运动．已知点P的运动速度为4．图②表示P，Q两点同时出发x秒后，△APQ的面积y与x的函数关系，则点Q的运动速度可能是（　　）

A．2 B．3 C．8 D．12

【答案】D

【解答】解：由图②知函数图象有三段，设正方形的边长为1

则点Q在线段AB上方时，点P仍在运动，设点Q的运动速度为v

∴

∴8＜v≤12

经检验，8＜v≤12符合题意．

故选：D．

二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

11．代数式有意义时，x应满足的条件是_________.

【解答】依题意，有：，

所以，

12．计算：|﹣3|　   　．

【解答】解：原式＝3﹣4

＝﹣1．

故答案为：﹣1．

13．如图，在等边△ABC中，将∠C沿虚线DE剪去，则∠ADE+∠DEB＝　   　．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

∴∠ADE+∠BED＝360°﹣60°×2＝240°，

故答案为：240°．

14.       点P1（﹣2，yl），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是　   　．

【解答】解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c 的二次项系数a＝﹣1，

∴函数图象开口向下

又∵对称轴为x＝﹣1，

∴yl＝y2＞y3

点故答案为：yl＝y2＞y3．

15．如图，在扇形ABO中，∠AOB＝90°，C是弧AB的中点，若OD：OB＝1：3，OA＝3，则图中阴影部分的面积为　   　．

【解答】解：连接OC，过C作CE⊥OB于E，

∵∠AOB＝90°，C是弧AB的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，

∴△OCE是等腰直角三角形，

∵OD：OB＝1：3，OA＝3，

∴CE3，OD＝1，

∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB﹣S△CODπ，

故答案为：π．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为　   　．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC，

∴∠BAC＝60°，AC＝1，AB＝2，

若点F在线段BC上，∠AFE＝90°时，

由折叠可得：BD＝DF，∠B＝∠EFD＝30°，

∴∠AFC＝60°，

∵tan∠AFC，

∴CF，

∴BD（BC﹣CF），

若点F在BC的延长线上，∠EAF＝90°，如图，

由折叠可得：BD＝DF，

∵cos∠ABF，

∴BF，

∴BD，

故答案为：或．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17.（4分）计算的值

【解答】解：原式=

                =

18．（7分）先化简，再求值：，其中x＝2cos60°﹣3．

【解答】解：原式•

，

当x＝2cos60°﹣3＝23＝1﹣3＝﹣2时，

原式

＝5．

19．（8分）随着经济快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校为了了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　   　人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数是　   　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）“非常了解”的4人中有A1，A2，两名男生，B1，B2，两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷8%＝50（人），

∵“不了解”对应的百分比为1﹣（40%+22%+8%）＝30%，

∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数是2000×30%＝600（人），

故答案为：50、600；

（2）“不了解”的人数是50×30%＝15（人），补全图形如下：

（3）列表如下：

由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，

所以恰好抽到2名男生的概率为． 

20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，过点C作⊙O的切线l，过点A作直线l的垂线AD，交⊙O于点D，连接OC，CD，BC，BD，且BD与OC交于点 E．

（1）求证：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝6，填空：

①当的长度是　   　时，△OBE是等腰三角形；

②当BC＝　   　时，四边形OADC为菱形．

【解答】解：（1）∵过点C作⊙O的切线l，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，

∴OC∥AD，

∵AB为⊙O的直径，点C为AB上方的圆上一动点，

∴AD⊥BD，

∴BD⊥OC，

∴DE＝BE，

∴△CDE≌△CBE（SAS）；

（2）①连接OD，

当△OBE是等腰三角形时，

∵BE⊥OE，

∴OE＝BE，

∴∠OBE＝∠EOB＝45°，

∵AD∥OC，

∴∠A＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠COD＝45°，

∵AB＝6，

∴AO＝3，

∴的长度π，

故答案为π；

②∵四边形OADC为菱形，

∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，

∵△CDE≌△CBE，

∴CD＝BC，

∴BC＝3，

故答案为3．

21．（8分）如图，AB是垂直于水平面的一座大楼，离大楼30米（BC＝30米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝15米，某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面BC、斜坡CD、以及坡顶上的水平面DE处（A，B，C，D，E均在同一个平面内）．若DE＝6米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），试求出大楼AB的高（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）

【解答】解：延长ED交AB于G，DH⊥BF于H，

∵DE∥BF，

∴四边形 DHBG是矩形，

∴DG＝BH，DH＝BG，

∵，CD＝15，

∴DH＝12，CH＝9，

∴GE＝30+6+9＝45（米），

∵tan24°0.45，

∴AG≈20.25（米），

∴AB＝AG+BG＝20.25+12＝32.25（米）．

答：大楼AB的高约为32.25米．

22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD∥x轴，直线y＝2x+b与x轴交于点B，与反比例函数y（k＞0）图象交于点D和点E，OB＝3，OA＝4．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）点P为线段BE上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵OB＝3，OA＝4．

∴AB＝5，B（3，0），

把B（3，0）代入y＝2x+b得，0＝2×3+b，

∵b＝﹣6，

∴一次函数的解析式为y＝2x﹣6；

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝5，

∵AD∥x轴，

∴D（5，4），

∴k＝20，

∴反比例函数的解析式为y；

（2）解得，，，

∴E（﹣2，﹣10），

设P作x轴的平行线交CE于Q，

∵BC＝AD＝5，

∴C（8，0），

∴直线CE的解析式为y＝x﹣8，

设P（m，2m﹣6），则Q（2m+2，2m﹣6），

∵△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分，

∴S△PEQS△CDE，

∴（2m+2﹣m）[10+（2m﹣6）][5×105×4]，

解得：m＝﹣2，

当m＝﹣2（不合题意），

∴m＝﹣2，

∴P（﹣2，﹣10）．

23．（9分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．

（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？

（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则最多可购进A种茶具多少套？

（3）若销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元，在（2）的条件下，如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？

【解答】解：（1）设A种茶具每套进价x元，B两种茶具每套进价y元，依题意得：

，

解得：，

答：A、B两种茶具每套进价分别为100元和75元．

（2）设最多购进A种茶具a套，则B套茶具（80﹣a）套，依题意得：

100（1+8%）a+75×80%（80﹣a）≤6240．

解得：a≤30．

∵a取正整数，

∴0＜a≤30．

∴a的最大值为30．

答：最多可购进A种茶具30套．

（3）设茶具的利润为w，则依题意得：

w＝30a+20（80﹣a）＝10a+1600，

又∵0＜a≤30，

∴w随x的增大而增大，

∴当a＝30时，W＝10×30+1600＝1900元．

即采购A种茶具30个，B种茶具50个可获得最利润为1900元．

答：最大利润为1900元．

24．（9分）实验探究：

如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P．

【问题发现】

（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是　   　（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；

【类比探究】

（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；

【拓展延伸】

（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为　   　．

【解答】解：（1）BD、CE的关系是相等．

理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴AB＝AC，

∠BAD＝∠CAE，

DA＝EA，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE．

故答案为：相等．

（2）如图2，3即为旋转后的图形．

①如图2，当C在AD上时，

由（1）知△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC

又∵∠PCD＝∠ACE，

∴△PCD～△ACE，

∴

又∵CE

CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2

∴，

解得；

如图3，当C在AD反向延长线上时，

同理△PEB～△ABD

∵BD

BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2

∴

解得PB

∴PD＝DB+PB．

答：此时PD的长为或．

（3）如图4所示，

以点A为圆心，AC长为半径画圆，

当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．

在Rt△ACE中，CE4

在Rt△ADE中，DE5

∵四边形ABPC是正方形，

∴PC＝AB＝3

∴PE＝PC+CE＝3+4＝7

在Rt△DEP中，PD1

∴线段PD的最小值为1．

故答案为：1．

25．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；

（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，

则有，

∴，

∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3，

∴对称轴为x＝1，

∵CD∥x轴，

∴D（2，3），

∴CD＝2，

∵点B（3，0），点C（0，3），

∴BC的直线解析式为y＝﹣x+3，

设E（m，﹣m2+2m+3），

∵EF⊥CD交线段BC于点F，

∴F（m，﹣m+3），

∴S四边形ECFD＝S△CDE+S△CDF2×（﹣m2+2m）2×m＝﹣m2+3m，

当m时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；

此时E（，）；

（3）设P（n，﹣n2+2n+3），

①当CP⊥CB时，

∵∠CBO＝45°，

∴∠PCD＝45°，

∴n＝﹣n2+2n，

∴n＝1，

∴P点横坐标为1；

②当CP⊥CB时，

•1，

∴（n﹣2）（n+1）＝﹣1，

∴n或n（舍），

∴P点横坐标为；

综上所述：P点横坐标为或1．