考点06 二次根式—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析）

这是一份考点06 二次根式—2021年《三步冲刺中考•数学》（全国通用）之第1步小题夯基础（原卷+解析），共13页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。

第一步 小题夯基础


考点06 二次根式
真题回顾



1.（2020·绵阳）若 有意义，则a的取值范围是（   ）
A. a≥1                                    B. a≤1                                    C. a≥0                                    D. a≤﹣1
2.（2020·济宁）下列各式是最简二次根式的是（   ）
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
3.（2020·朝阳）计算 的结果是（   ）
A. 0                                        B.                                         C.                                         D. 
4.（2020·泰州）下列等式成立的是（   ）
A.                B.                C.                D. 
5.（2020·雅安）已知 ，则a+2b的值是（    ）
A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10
6.（2020·呼伦贝尔）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（    ）

A.                                       B. -1                                      C. 1                                      D. 
7.（2018·重庆）估计 的值应在（    ）
A. 1和2之间                           B. 2和3之间                           C. 3和4之间                           D. 4和5之间
8.（2019·滨州）下列计算：（1） =2，（2） =2，（3）（﹣2 ）2=12，（4）（ + ）（ ﹣ ）=﹣1，其中结果正确的个数为（    ）
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
9.（2020·威海）计算 的结果是________．
10.（2020·包头）计算： ________．
11.（2020·黑龙江）在函数 中，自变量x的取值范围是________．
12.（2020·北京）写出一个比 大且比 小的整数________．
13.（2020·青海）对于任意不相等的两个实数a，b（ a > b ）定义一种新运算a※b= ，如3※2= ，那么12※4=________
14.（2020·甘肃）已知 ，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是________.
15.（2018·毕节）观察下列运算过程：


……
请运用上面的运算方法计算：
 =________．
模拟预测


1.（2020·澄海模拟）下面计算正确的是（    ）
A.                     B.                     C.                     D. 
2.（2020·澧县模拟）给出下列命题： ；（2）若 ，则x的相反数是2；（3） 的平方根是 ；（4） 是最简二次根式；（5） ．其中正确命题的个数有（    ）
A. 5                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2
3.（2020·重庆模拟）估算 的值应在（   ）
A. 3和4之间                           B. 4和5之间                           C. 5和6之间                           D. 6和7之间
4.（2020·重庆模拟）如图，数轴上的点可近似表示(4 ) 的值是(   )

A. 点A                                      B. 点B                                      C. 点C                                      D. 点D
5.（2020·北碚模拟）已知， ， 则 的结果是（   ）
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
6.（2020·柳州模拟）若﹣1＜x＜0，则 ﹣ ＝（   ）
A. 2x+1                                  B. 1                                  C. ﹣2x﹣1                                  D. ﹣2x+1
7.（2020·鞍山模拟）函数 中自变量x的取值范围是________.
8.（2020·怀化模拟）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足 ，则第三边c的取值范围是________．
9.（2020·平昌模拟）若 ，则（b﹣a）2015＝________．
10.（2020·昆明模拟）若x满足|2017-x|+ =x，  则x-20172=________

第一步 小题夯基础


考点05 因式分解
真题回顾



1.（2020·南县）下列因式分解正确的是（   ）
A.                     B. 
C.                                   D. 
【答案】 C
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
2.（2019·常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ）
A. a（m+n）=am+an                                           B. a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1）                                     D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选（C）
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
3.（2019·贺州）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（   ）
A. （4a+1）（4a﹣1）            B. （2a+1）（2a﹣1）               C. （2a﹣1）2            D. （2a+1）2
【答案】 B
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）。
故答案为：B。
【分析】利用平方差公式直接分解即可。
4.（2018·邵阳）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（   ）

A. x（x2﹣1）               B. x（1﹣x2）               C. x（x+1）（x﹣1）               D. x（1+x）（1﹣x）
【答案】 D
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】x﹣x3=x（1﹣x2）
=x（1﹣x）（1+x）．
故答案为：D．
【分析】观察此多项式的特点：有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。就可得出答案。
5.（2020·河北）对于① ，② ，从左到右的变形，表述正确的是（    ）
A. 都是因式分解                                                     B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算                             D. ①是乘法运算，②是因式分解
【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
6.（2019·杭州）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ， 则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（  ）
A. ②③④                                B. ①③④                                C. ①②④                                D. ①②③
【答案】 C
【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值
【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，
解得：a=0或b=0，正确；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，
∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；
③a@b=a2+5b2 ， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，
令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，
解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，
解得，a=b，
∴a@b最大时，a=b，故④正确，
故选C．
【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7.（2020·台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（　　）

A. 8                                         B. 10                                         C. 12                                         D. 22
【答案】 C
【考点】因式分解的应用，十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，

可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，
则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
故选C．
【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1 ， a2的积a1•a2 ， 把常数项c分解成两个因数c1 ， c2的积c1•c2 ， 并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
8.（2020·潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　）
A. a2﹣1                       B. a2+a                       C. a2+a﹣2                       D. （a+2）2﹣2（a+2）+1
【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），
a2+a=a（a+1），
a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2 ，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C；
故选：C．
【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
9.（2020·聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（　　）
A. 2a（4a2﹣4a+1）               B. 8a2（a﹣1）               C. 2a（2a﹣1）2               D. 2a（2a+1）2
【答案】 C
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：8a3﹣8a2+2a

=2a（4a2﹣4a+1）
=2a（2a﹣1）2 ．
故选：C．
【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
10.（2020·大连）已知a-b=1，则a2－b2－2b的值为（）
A. 4                                           B. 3                                           C. 1                                           D. 0
【答案】 C
【考点】代数式求值，因式分解﹣运用公式法
【解析】
【分析】由已知得a=b+1，代入所求代数式，利用完全平方公式计算．
【解答】∵a-b=1，
∴a=b+1，
∴a2-b2-2b=（b+1)2-b2-2b=b2+2b+1-b2-2b=1．
故答案为：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用．关键是利用换元法消去所求代数式中的a
11.（2020·甘肃）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是(   )
A. （x﹣1）（x﹣2）                         B. x2                          C. （x+1）2                         D. （x﹣2）2
【答案】 D
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可：
【解答】（x﹣1)2﹣2（x﹣1)+1=（x﹣1﹣1)2=（x﹣2)2。
故选D。
12.（2020·黑龙江）如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（　　）

A. 140                                         B. 70                                       C. 35                                       D. 24
【答案】 B
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】根据题意得：a+b==7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70；故选：B
【分析】由矩形的周长和面积得出a+b=7，ab=10，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
13.（2020·聊城）因式分解： ________．
【答案】 （x-2）（x-1）
【考点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式

【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式 即可．
14.（2018·菏泽）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为________．
【答案】-12
【考点】提公因式法与公式法的综合运用，因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=-3×4
=-12
故答案为：-12
【分析】将a3b+2a2b2+ab3分解因式转化为ab（a+b）2 ， 再整体代入求值。
15.（2019·内江）若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=________．
【答案】 -2020
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，
∴x2﹣2x=1，
2x3﹣7x2+4x﹣2017
=2x3﹣4x2﹣3x2+4x﹣2017，
=2x（x2﹣2x）﹣3x2+4x﹣2017，
=6x﹣3x2﹣2017，
=﹣3（x2﹣2x）﹣2017
=﹣3﹣2017
=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
【分析】把2x2分解成x2与x2相加，然后把所求代数式整理成用x2﹣x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
模拟预测


1.（2020·秦皇岛模拟）下列各式中，不能分解因式的是（   ）
A. 4x2＋2xy＋ y2              B. 4x2－2xy＋ y2              C. 4x2－ y2              D. －4x2－ y2
【答案】 D
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 4x2＋2xy＋  y2 =（2x+y）2, 能分解因式，不符合题意；
B、 4x2－2xy＋  y2 =（2x-y）2, 能分解因式，不符合题意；
C、 4x2－  y2 =（2x-y）(x+y)，能分解因式，不符合题意；
D、 －4x2－  y2 ，不能分解因式，不符合题意.
故答案为：D.
【分析】分别根据公式法把每项分解因式，看能否分解因式即可判断.
2.（2018·港南模拟）下列因式分解错误的是（   ）
A. 2x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（2x+1）          B. x2+2x+1=（x+1）2
C. x2y﹣xy2=xy（x﹣y）                                        D. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
【答案】 A
【考点】因式分解的定义，提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】A、原式=（x﹣2）（2x﹣1），符合题意；
B、原式=（x+1）2 ， 不符合题意；
C、原式=xy（x﹣y），不符合题意；
D、原式=（x+y）（x﹣y），不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形就是因式分解，然后利用整式的乘法将变形的右边利用整式的乘法法则得出结果，和左边进行比较即可得出答案。
3.（2020·泰兴模拟）已知 ， ， ，则 的值为（   ）
A. 16                                     B. 12                                     C. 10                                     D. 无法确定
【答案】 A
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
即 ，
即 ，
又∵m≠n，
∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先由已知条件得出m+n的值，再把m2+2mn+n2化成完全平方的形式，再进行计算即可.
4.（2020·北碚模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4 ， 则△ABC是（   ）
A. 直角三角形             B. 等腰三角形             C. 等腰三角形或直角三角形             D. 等腰直角三角形
【答案】 C
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理
【解析】【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4=0，
c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0，
(a2﹣b2)(c2﹣a2﹣b2)=0，
所以，a2﹣b2=0或c2﹣a2﹣b2=0，
即a=b或a2+b2=c2 ，
因此，△ABC等腰三角形或直角三角形.
故答案为：C.
【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解.
5.（2020·牡丹江模拟）要在二次三项式x2＋（   ）x－6的括号中填上一个整数，使它能按公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是（   ）
A. 1，－1                      B. 5，－5                       C. 1，－1，5，－5                      D. 以上答案都不对
【答案】 C
【考点】十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：① x2＋（-1+6 ）x+(－1 )×6=（x-1）(x+6),
∴a=-1, b=6,
∴a+b=-1+6=5;
② x2＋（-6+1 ）x+(－6 )×1=（x+1）(x-6),
∴a=1, b=-6,
∴a+b=1+(-6)=-5；
③ x2＋（-2+3 ）x+(－2 )×3=（x-2）(x+3),
∴a=-2, b=3,
∴a+b=-2+3=1;
④ x2＋（-3+2 ）x+(－3 )×2=（x-3）(x+2),
∴a=-3, b=2,
∴a+b=-3+2=-1;
综上，共有四个答案.
故答案为：C.
【分析】根据题意，-6可以分成两个整数乘积，有四种形式，每种形式a+b都有一个值，故有四种答案. 
6.（2019·路南模拟）如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比6大5，面积为10，则a2b-ab2的值为（    ）

A. 60                                         B. 50                                         C. 25                                         D. 15
【答案】 B
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意，得 a-b=5，ab=10
∴原式=ab（a-b）=10×5=50.
故答案为：B.
【分析】先根据题意得出 a-b，ab的值，然后将原式利用提公因式法变形为ab（a-b），代入求值即可。
7.（2020·柳州模拟）因式分解： ________.
【答案】 （a-1）（a+2）（b-2）
【考点】提公因式法因式分解，十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：  = =
故答案为： .
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法第二次分解即可求解.
8.（2020·磴口模拟）分解因式：a3（x-3）+（3-x）a=________．
【答案】
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=

；
故答案为： .
【分析】直接提取公因式a（x-3），进而利用平方差公式分解因式即可．
9.（2020·黄石模拟）已知x2-x-1＝0，则代数式-x3＋2x2＋2002的值为________.
【答案】 2003
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
 

 
故答案为：
【分析】由 得到 把原多项式降次处理，进而可得答案.
10.（2020·日照模拟）若x2－4y2＝－32，x＋2y＝4，则yx＝________．
【答案】
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： x2－4y2＝－32，
∴（x+2y）(x-2y)=-32,
∴4(x-2y)=-32,
∴x-2y=-8,
∴,
解得,
∴ yx＝3-2=.
故答案为：.
【分析】先将左式分解因式，求出x-2y的值，然后列方程组，求出x、y的值，于是 yx的值可求.