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2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷
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这是一份2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2 B．24 C．2 D．12
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．20 C．12 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝ ．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）
10．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为 ．
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线AD垂直OC，且使得AC＝2OA，则sinC＝ ．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）+k2＝0有两个实根x1、x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且＝6，求（）2的值．
14．（14分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）取的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；
（3）若AB＝4，且点E是上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．
15．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
16．（14分）如图②，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）填空：a＝ ，c＝ ；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，
则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；
②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，
|a﹣c|＝﹣a+c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；
③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；
④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc；
故正确的结论有②③，一共2个．
故选：C．
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2 B．24 C．2 D．12
【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，即a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
即∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A．
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
【分析】根据图象逐一分析即可．
【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；
对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；
对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；
对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，
8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，
因为3260.3＜3569.05，
故12月更高，故D错误．
故选：D．
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+）2﹣，
∴当x＝1时，y＝1；
当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝，
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；
故选：B．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．20 C．12 D．10
【分析】证明∠MAB＝∠NMC，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，得到y＝﹣x2+x﹣10，进而求解．
【解答】解：由图2知：AB+BC＝10，设AB＝m，则BC＝10﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，
则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，
∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，
tan∠MAB＝tan∠NMC，即，
即，
化简得：y＝﹣x2+x﹣10，
当x＝﹣＝（10+m）时，
y＝﹣10+＝，
解得：m＝6，
则AM＝6，BC＝4，
故ABCD的面积＝24，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，
则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．
故答案为：．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝ ．
【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，
∵cosA＝，
∴，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∴，
∵AB＝AC，
∴AC＝5x，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC＝，
∴，
故答案为：．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 m+2019n ．（结果用m，n表示）
【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，
故答案为：m+2019n．
10．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为 15 ．
【分析】连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，S△AEF＝3，进而可得五边形ABDEF的面积．
【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，
∵ABCDEF正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°
∵△BDG是等边三角形，
∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，
又CG＝CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，
∴S△AEF＝3，
设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH＝x，
∴BD＝2x，
∴CG•BH＝3，
即×2x×x＝3，
∴x2＝3，
∴S四边形ABDE＝AB•BD＝2x•2x＝4x2＝12，
∴五边形ABDEF的面积为：3+12＝15．
故答案为：15．
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 4﹣2 ．
【分析】作AH⊥CD于H，由B，B'关于EF对称，推出BE＝EB'，当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：作AH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，∠D＝180°﹣∠BAD＝60°，
∵AD＝AB＝4，
∴AH＝AD•sin60°＝2，
∵B，B'关于EF对称，
∴BE＝B'E，
∴当BE最小时，AE最大，
根据垂线段最短可知，当EB'＝AH＝2时，BE的值最小，
∴AE的最大值为4﹣2，
故答案为：4﹣2．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线AD垂直OC，且使得AC＝2OA，则sinC＝ ．
【分析】先连接OD，由AC＝2OA，可设A（a，b），则C（3a，3b），通过证得△ACD∽△BCO，求得AD＝，再根据OA2+AD2＝OD2＝OB2+BD2，得出a2+b2+（）2＝9a2+b2，整理得，9a4＝b4，求得b＝a，根据勾股定理求得OC，即可得到sinC的值．
【解答】解：如图，连接OD，
∵AD垂直OC，
∴AC＝2OA，
设A（a，b），则C（3a，3b），
∴BC＝3b，OB＝3a，
∴D（3a，b），
∴BD＝b，
又∵Rt△BOC中，OC＝＝3，
∵∠ACD＝∠BCO，∠CAD＝∠CBO＝90°，
∴△ACD∽△BCO，
∴＝，
∴AD＝＝＝，
∵OA2+AD2＝OD2＝OB2+BD2，
∴a2+b2+（）2＝9a2+b2，整理得，9a4＝b4，
∴b＝a，
∴OC＝＝3＝6a，
∴sinC＝＝＝
故答案为：．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）+k2＝0有两个实根x1、x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且＝6，求（）2的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围，再利用根与系数的关系判断出x1、x2的正负，将已知等式化简后计算即可求出k的值；
（2）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得：k≤，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
∵x1x2＝k2≥0，
∴x1≤0，x2≤0，
∴x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝x1x2+（x1+x2）＝k2+（2k﹣1）＝2，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝3，
∵k≤，
∴k＝﹣3；
（2）∵+＝6，
∴a2+b2＝6ab，即a2+b2﹣2ab＝4ab，a2+b2+2ab＝8ab，
∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，
∵a＜b＜0，
∴a+b＝﹣2，b﹣a＝2，
∴（）3＝（）3＝﹣2．
14．（14分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）取的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；
（3）若AB＝4，且点E是上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．
【分析】（1）证明∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°，得到∠ABD＝∠BAC＝45°，故AD＝BD，进而求解；
（2）四边形OBEH为菱形，则∠EOB＝∠EOH，故∠EOB＝60°，即可求解；
（3）点E是上靠近点B的一个三等分点，则∠DOE＝∠DOB＝60°，即∠DBE＝30°，在Rt△GBD中，DG＝BDtan30°＝×2＝．
【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°，
∴∠DAF＝∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∴△ADF≌△BDG（AAS）；
（2）连接OH、EH、OE，
∵点H是的中点，
∴∠AOH＝∠EOH，
∵四边形OBEH为菱形，
∴∠EOB＝∠EOH，
∴∠EOB＝60°，
∴∠EAB＝EOB＝30°；
（3）由（1）知△ABD为等腰直角三角形，AB＝4，
∴BD＝2，
连接DO、OE，
∵点E是上靠近点B的一个三等分点，
∴∠DOE＝∠DOB＝60°，
∴∠DBE＝30°，
在Rt△GBD中，DG＝BDtan30°＝×2＝．
15．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
16．（14分）如图②，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）填空：a＝ ﹣ ，c＝ ；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．
【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线解析式，求出a、c的值；
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝﹣，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，得出比例线段，求出EH＝，则可求出答案；
（3）得出点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝﹣，当m＝时，△MPF面积有最大值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），
，
∴a＝﹣，c＝，
故答案为：﹣，．
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝﹣x2+x+，
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），
∴D（2，），
∴DH＝，
令y＝0，即﹣x2+x+＝0，
得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴，即，
解得：EH＝，
则DE＝2；
（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，
∴直线GN的解析式：y＝x﹣，
由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），
∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，
联立，
解得，
∴F （0，﹣），
∵DH⊥x轴，
∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，
∴P（2，）
∴F （0，﹣）与P（2，）的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FP于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；
∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），
S△MFP＝﹣，
∵对称轴为：直线m＝，
∵开口向下，＜m，
∴m＝时，△MPF面积有最大值为．
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日期：2021/8/10 22:51:39；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2 B．24 C．2 D．12
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．20 C．12 D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝ ．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）
10．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为 ．
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线AD垂直OC，且使得AC＝2OA，则sinC＝ ．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）+k2＝0有两个实根x1、x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且＝6，求（）2的值．
14．（14分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）取的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；
（3）若AB＝4，且点E是上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．
15．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
16．（14分）如图②，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）填空：a＝ ，c＝ ；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，
则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；
②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，
|a﹣c|＝﹣a+c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；
③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；
④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc；
故正确的结论有②③，一共2个．
故选：C．
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（ ）
A．2 B．24 C．2 D．12
【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+，即a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
即∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A．
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（ ）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
【分析】根据图象逐一分析即可．
【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；
对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；
对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；
对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，
8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，
因为3260.3＜3569.05，
故12月更高，故D错误．
故选：D．
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
解法二：画出函数图象，如图所示：
y＝x2+x﹣1
＝（x+）2﹣，
∴当x＝1时，y＝1；
当x＝﹣，y＝﹣，当x＝﹣2，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝，
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；
故选：B．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．20 C．12 D．10
【分析】证明∠MAB＝∠NMC，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，得到y＝﹣x2+x﹣10，进而求解．
【解答】解：由图2知：AB+BC＝10，设AB＝m，则BC＝10﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，
则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，
∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，
tan∠MAB＝tan∠NMC，即，
即，
化简得：y＝﹣x2+x﹣10，
当x＝﹣＝（10+m）时，
y＝﹣10+＝，
解得：m＝6，
则AM＝6，BC＝4，
故ABCD的面积＝24，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，
则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．
故答案为：．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝ ．
【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，
∵cosA＝，
∴，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∴，
∵AB＝AC，
∴AC＝5x，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC＝，
∴，
故答案为：．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 m+2019n ．（结果用m，n表示）
【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，
故答案为：m+2019n．
10．（4分）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF的面积为 15 ．
【分析】连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，S△AEF＝3，进而可得五边形ABDEF的面积．
【解答】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，
∵ABCDEF正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°
∵△BDG是等边三角形，
∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，
又CG＝CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，
∴S△AEF＝3，
设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH＝x，
∴BD＝2x，
∴CG•BH＝3，
即×2x×x＝3，
∴x2＝3，
∴S四边形ABDE＝AB•BD＝2x•2x＝4x2＝12，
∴五边形ABDEF的面积为：3+12＝15．
故答案为：15．
11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 4﹣2 ．
【分析】作AH⊥CD于H，由B，B'关于EF对称，推出BE＝EB'，当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：作AH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，∠D＝180°﹣∠BAD＝60°，
∵AD＝AB＝4，
∴AH＝AD•sin60°＝2，
∵B，B'关于EF对称，
∴BE＝B'E，
∴当BE最小时，AE最大，
根据垂线段最短可知，当EB'＝AH＝2时，BE的值最小，
∴AE的最大值为4﹣2，
故答案为：4﹣2．
12．（4分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D．若直线AD垂直OC，且使得AC＝2OA，则sinC＝ ．
【分析】先连接OD，由AC＝2OA，可设A（a，b），则C（3a，3b），通过证得△ACD∽△BCO，求得AD＝，再根据OA2+AD2＝OD2＝OB2+BD2，得出a2+b2+（）2＝9a2+b2，整理得，9a4＝b4，求得b＝a，根据勾股定理求得OC，即可得到sinC的值．
【解答】解：如图，连接OD，
∵AD垂直OC，
∴AC＝2OA，
设A（a，b），则C（3a，3b），
∴BC＝3b，OB＝3a，
∴D（3a，b），
∴BD＝b，
又∵Rt△BOC中，OC＝＝3，
∵∠ACD＝∠BCO，∠CAD＝∠CBO＝90°，
∴△ACD∽△BCO，
∴＝，
∴AD＝＝＝，
∵OA2+AD2＝OD2＝OB2+BD2，
∴a2+b2+（）2＝9a2+b2，整理得，9a4＝b4，
∴b＝a，
∴OC＝＝3＝6a，
∴sinC＝＝＝
故答案为：．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）+k2＝0有两个实根x1、x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且＝6，求（）2的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围，再利用根与系数的关系判断出x1、x2的正负，将已知等式化简后计算即可求出k的值；
（2）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得：k≤，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
∵x1x2＝k2≥0，
∴x1≤0，x2≤0，
∴x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝x1x2+（x1+x2）＝k2+（2k﹣1）＝2，即k2+2k﹣3＝0，
解得：k＝1或k＝3，
∵k≤，
∴k＝﹣3；
（2）∵+＝6，
∴a2+b2＝6ab，即a2+b2﹣2ab＝4ab，a2+b2+2ab＝8ab，
∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，
∵a＜b＜0，
∴a+b＝﹣2，b﹣a＝2，
∴（）3＝（）3＝﹣2．
14．（14分）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG；
（2）取的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；
（3）若AB＝4，且点E是上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．
【分析】（1）证明∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°，得到∠ABD＝∠BAC＝45°，故AD＝BD，进而求解；
（2）四边形OBEH为菱形，则∠EOB＝∠EOH，故∠EOB＝60°，即可求解；
（3）点E是上靠近点B的一个三等分点，则∠DOE＝∠DOB＝60°，即∠DBE＝30°，在Rt△GBD中，DG＝BDtan30°＝×2＝．
【解答】解：（1）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90°，
∴∠DAF＝∠DBG，
∵∠ABD+∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
∴AD＝BD，
∴△ADF≌△BDG（AAS）；
（2）连接OH、EH、OE，
∵点H是的中点，
∴∠AOH＝∠EOH，
∵四边形OBEH为菱形，
∴∠EOB＝∠EOH，
∴∠EOB＝60°，
∴∠EAB＝EOB＝30°；
（3）由（1）知△ABD为等腰直角三角形，AB＝4，
∴BD＝2，
连接DO、OE，
∵点E是上靠近点B的一个三等分点，
∴∠DOE＝∠DOB＝60°，
∴∠DBE＝30°，
在Rt△GBD中，DG＝BDtan30°＝×2＝．
15．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型
占地面积
可供使用幢数
造价（万元）
A
15
18
1.5
B
20
30
2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
16．（14分）如图②，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，），点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）填空：a＝ ﹣ ，c＝ ；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．
【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线解析式，求出a、c的值；
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝﹣，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，得出比例线段，求出EH＝，则可求出答案；
（3）得出点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝﹣，当m＝时，△MPF面积有最大值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），
，
∴a＝﹣，c＝，
故答案为：﹣，．
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝﹣x2+x+，
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），
∴D（2，），
∴DH＝，
令y＝0，即﹣x2+x+＝0，
得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴，即，
解得：EH＝，
则DE＝2；
（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，
∴直线GN的解析式：y＝x﹣，
由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），
∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，
联立，
解得，
∴F （0，﹣），
∵DH⊥x轴，
∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，
∴P（2，）
∴F （0，﹣）与P（2，）的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FP于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；
∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），
S△MFP＝﹣，
∵对称轴为：直线m＝，
∵开口向下，＜m，
∴m＝时，△MPF面积有最大值为．
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