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2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷
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这是一份2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的。）
1．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过A作AD⊥BC于点D，若＝．则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
3．（4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（4分）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（4分）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15
C．31 D．以上选项均不对
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
6．（4分）当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ．
7．（4分）过原点的直线与双曲线y＝分别交于A、B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C（如图），则△ABC的面积为 ．
8．（4分）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 ．（直接填数字）
9．（4分）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
10．（4分）方程（a2﹣1）x2﹣2（5a+1）x+24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是 ．
11．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为 ．
12．（4分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些相关结论：
①当m＝﹣2时，抛物线的顶点为（，）；
②当m≠0时，函数图象恒过定点；
③当m＜0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；
④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段的长度大于．
其中正确的结论是 （直接填正确结论的编号）．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．
14．（12分）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月）
2
3
4
5
6
市场采购工料量y1（吨）
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
15．（14分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．（16分）已知一次函数y1＝kx+m与二次函数y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b为整数）的图象交于A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）两点，二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1．
（1）求y1、y2、y3的解析式；
（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y＝﹣1的垂线，垂足为G，过点N作直线y＝﹣3的垂线，垂足为H．是否存在这样的点P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究是否为定值；若不存PN在．请说明理由．
（3）在（2）的条件下．设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求+的值．
2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的。）
1．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过A作AD⊥BC于点D，若＝．则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过证明△BAD∽△ACD，可得，即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴设BD＝4x，CD＝3x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝∠C+∠DAC＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴△BAD∽△ACD，
∴，
∴AD＝2x，
∴tanC＝＝，
故选：D．
2．（4分）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG＝2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE＝FG，根据相交弦定理得BD•DC＝DE•DF，而BD、DC的长易知，DE＝2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
【解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD•DC＝DE•DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
3．（4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
4．（4分）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【解答】解：∵x＝＝+，
∴x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣
＝x5（x﹣2）﹣x4+x2（x﹣2）+2x﹣
＝x5（+﹣2）﹣x4+x2（+﹣2）+2x﹣
＝x5（﹣）﹣x4+x2（﹣）+2x﹣
＝x4[x（﹣）﹣1]+x2（﹣）+2x﹣
＝0+x（+）（﹣）+2x﹣
＝﹣x+2x﹣
＝x﹣
＝．
故选：C．
5．（4分）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15
C．31 D．以上选项均不对
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论整式方程只有一个实数根，检验后求出a的值总和即可．
【解答】解：已知方程化为4x2﹣4x﹣a+8＝0①，
①若方程①有两个相等实根，则△＝16﹣16（8﹣a）＝0，即a＝7，
当a＝7时，方程①的根x1＝x2＝，符合要求；
②若方程①有两个相等实根，其中一个根为2（因为2是原方程的增根，会舍去），
将x＝2代入方程①，则16﹣8﹣a+8＝0，即a＝16，
此时，方程①的另一个根为x＝﹣4，符合要求；
③若方程①有两个相等实根，其中一个根为0（因为0是原方程的增根，会舍去），
将x＝0代入方程①，则8﹣8+a+8＝0，即a＝8，
此时方程①的另一个根为x＝﹣1，符合要求，
综上，符合条件的a有7，16，8，其总和为31，
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
6．（4分）当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ﹣1，1或1，﹣1 ．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得m、n的值．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，
∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，
即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；
当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，
即或，
解得或；
当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，
即，
解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．
7．（4分）过原点的直线与双曲线y＝分别交于A、B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C（如图），则△ABC的面积为 2 ．
【分析】根据反比例函数与正比例函数两个交点关于原点对称，这点设点A坐标为（a，b），则点B的坐标为（﹣a，﹣b），由S△ABC＝S△BOC+S△AOC，OC＝|﹣a|，即可算出△BOC与△AOC的面积，因为|ab|＝|﹣2|＝2，即可得出答案．
【解答】解：设点A坐标为（a，b），
则点B的坐标为（﹣a，﹣b），
∴b＝，即ab＝﹣2，
根据题意可知，S△BOC＝＝＝＝1，
＝＝＝1，
S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝1+1＝2．
故答案为：2．
8．（4分）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 ．（直接填数字）
【分析】画树状图，共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，
∴其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为＝，
故答案为：．
9．（4分）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
【分析】首先求出7+和5﹣的小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴7+的整数部分是7+3＝10，小数部分为m＝﹣3；
5﹣的整数部分是5﹣4＝1，小数部分为n＝4﹣；
则+＝+＝+＝．
故答案为：．
10．（4分）方程（a2﹣1）x2﹣2（5a+1）x+24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是 ﹣2 ．
【分析】先计算出△＝4（5a+1）2﹣4×24（a2﹣1）＝4（a+5）2，则利用求根公式可得两根分别为x1＝，x2＝，再根据方程有两个不等负整数根和a为整数，运用整数的整除性质可求出a．
【解答】解：△＝4（5a+1）2﹣4×24（a2﹣1）＝4（a+5）2，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝，
由∵方程有两个不等负整数根和a为整数，
∴a≠﹣5，且由x1＝，得a＝0或﹣1或﹣2；
由x2＝，得a＝﹣2或﹣3；
所以a只能为﹣2．
故答案为﹣2．
11．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为 4 ．
【分析】作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF＝4x，则AF＝7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF＝4，AF＝7，设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE＝，AE＝，设DG＝z，则EG＝﹣z，则（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG＝12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG＝8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC＝4．
【解答】解：作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．
∵∠C+∠BAD＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝EC，
∵tan∠BAD＝，
∴设DF＝4x，则AF＝7x，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，即（）2＝（4x）2+（7x）2，
解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝1，
∴DF＝4，AF＝7，
设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，
在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，即（6﹣y）2＝42+y2，
解得y＝，
∴DE＝6﹣y＝，AE＝，
∴设DG＝z，则EG＝﹣z，则
（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，
解得z＝1，
∴CG＝12，
在Rt△ADG中，AG＝＝8，
在Rt△ACG中，AC＝＝4．
故答案为：4．
12．（4分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些相关结论：
①当m＝﹣2时，抛物线的顶点为（，）；
②当m≠0时，函数图象恒过定点；
③当m＜0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；
④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段的长度大于．
其中正确的结论是 ①②④ （直接填正确结论的编号）．
【分析】①把m＝﹣2代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题．
【解答】解：①当m＝﹣3时，特征数为[﹣4，3，1]，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+3x+1，
则抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
当x＝时，y＝﹣4x2+3x+1＝，故①正确；
②当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点，故②结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
④当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故④正确．
故答案为①②④．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图1，连接BC，OD交于点N，先证明四边形DECN是矩形，得∠CND＝90°，根据垂径定理可得BN＝CN＝BC，DE＝NC，由勾股定理可得BC的长，从而知DE＝BN＝CN＝8，由中 位线定理可得ON＝6，最后根据勾股定理可得结论；
（2）如图2中，设FG与AD交于点H，根据题意，设BD＝3x，AD＝4x，AB＝5x，则AF＝x，想办法用x表示线段FH、GH，根据FH+GH＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，OD交于点N，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∴∠NDE＝90°，
∵∠BCE＝∠E＝90°，
∴四边形DECN是矩形，
∴∠CND＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∴DE＝BN＝CN＝8，
∵O是AB的中点，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
∴BD＝＝＝4；
（2）如图2，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，垂足为M，
tan∠BAD＝＝
设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，
∵F为OA的中点，
∴AF＝x，
∵GF⊥AB
∴∠AFH＝90°
∵tan∠BAD＝
∴FH＝AF•tan∠BAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由（1）知：∠HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝DG，MH＝MD，
∴HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
∵FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为＝8．
14．（12分）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月）
2
3
4
5
6
市场采购工料量y1（吨）
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy1＝定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；
（2）利用当2≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据表格中数据可以得出xy1＝定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y1＝，将（2，6000）代入得：
k＝2×6000＝12000，
故y1＝（2≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，
代入y2＝ax2+c（a≠0）得：，
解得：，
故y2＝x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；
（2）当2≤x≤6，且x取整数时：
W＝y1•z1+（12000﹣y1）•z2＝•x+（12000﹣）•（x﹣x2），
＝﹣1000x2+10000x﹣3000，
∵a＝﹣1000＜0，x＝﹣＝5，2≤x≤6，
∴当x＝5时，W最大＝22000（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W＝2×（12000﹣y2）+1.5y2＝2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），
＝﹣x2+19000，
∵a＝﹣＜0，x＝﹣＝0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x＝7时，W最大＝18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是22000元．
15．（14分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t＝，t＝0，（不合题意，舍去），于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM＝DN＝，根据勾股定理得到ON＝OM＝＝，由三角形的面积公式得到OP＝5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10，
①当AP＝PO＝t，如图1，
过P作PM⊥AO于点M，
∴AM＝AO＝，
∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴，
∴AP＝t＝，
②当AP＝AO＝t＝5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm．
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE＝PD＝8﹣t，
则S△BOE＝BE•OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，
∴＝
∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，
∴S△DFQ＝12×＝
∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；
（3）存在，
∵S△ACD＝×6×8＝24，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，
解得t＝3，或t＝，
∴t＝3或时，S五边形OECQF：S△ACD＝9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD＝∠COD，
∴DM＝DN＝，
∴ON＝OM＝＝，
∵OP•DM＝3PD，
∴OP＝5﹣t，
∴PM＝﹣t，
∵PD2＝PM2+DM2，
∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+（）2，
解得：t＝16（不合题意，舍去），t＝，
∴当t＝时，OD平分∠COP．
16．（16分）已知一次函数y1＝kx+m与二次函数y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b为整数）的图象交于A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）两点，二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1．
（1）求y1、y2、y3的解析式；
（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y＝﹣1的垂线，垂足为G，过点N作直线y＝﹣3的垂线，垂足为H．是否存在这样的点P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究是否为定值；若不存PN在．请说明理由．
（3）在（2）的条件下．设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求+的值．
【分析】（1）先将A，B两点坐标代入到一次函数中得到一次函数解析式，联立y1和y2的解析式，利用根与系数关系，可以求得a和b的关系式，因为次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1，利用顶点坐标公式写出各自函数的最小值，即顶点的纵坐标，列出方程，得到第二个关于a和b的式子，解方程组求出a和b，再将A代入到y2中，求出c；
（2）设P点和M点坐标分别为（0，t），（u，v），表示出PM2，利用M点和G点坐标，表示出MG2，利用PM2＝MG2，列出方程，得到关于u，v，t的等式，又因为M点在二次函数上，得到关于u，v的式子，消掉u，得到关于v和t的方程，因为此等式无论t取何值都成立，所以将等式中所有含有t的项合并，令t的系数为0，或者进行因式分解，得到（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，由此得到t﹣1＝0，所以t＝1，同理，可以证得当P（0，1）时，PN＝NH恒成立，因为PO∥MG∥NK，所以，联立直线和二次函数解析式，直接求出M的横坐标，求出EG，同样方法，表示出EK，代入等式中进行化简，即可解决．
（3）过S，T分别作x轴垂线，垂足为D，Q，由（2）可得，PS＝SD，PT＝TQ，设S（x1，y1），T（x2，y2），则＝＝，设直线ST为y＝nx+1，将其与联立，化简得到一个关于x的一元二次方程，则x1，x2是该方程两根，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积，进一步求出y1+y2和y1y2，代入求解即可．
【解答】解：（1）将A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）代入到y1＝kx+m，得，
，
解得，
∴y1＝x+1，
联立，
化简得2ax2+（2b﹣1）x+c﹣1＝0，
由根与系数关系可得，，
化简得，8a+2b＝1，
∵二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1，
∴，
∴b＝0，
∴a＝，
∴，
将A点坐标代入到，得，
，
∴c＝0，
∴y1＝x+1，，；
（2）如图1，设P（0，t），M（u，v），
∴PM2＝u2+（v﹣t）2＝u2+v2+t2﹣2vt，
MG＝v+1，
∵PM＝MG，
∴PM2＝MG2，
∴u2+v2+t2﹣2vt＝v2+2v+1①，
∴u2+t2﹣2vt＝2v+1，
∵M点在抛物线上，
∴，
∴u2＝4v，
将上式代入到①中，化简得，
2v+t2﹣2vt﹣1＝0，
∴（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，
∵上式对任意v都成立，
∴t﹣1＝0，
∴t＝1，
∴P（0，1）时，使PM＝MG恒成立，
同理可得，当P（0，1）时，使PN＝NH恒成立，
∴P点的坐标为（0，1）时，使PM＝MG，PN＝NH恒成立，
设NH与直线y＝﹣1交于点K，直线y＝﹣1与y轴交点为E，
∵MG∥y轴，NH∥y轴，
∴PO∥MG∥NK，
∴，
设直线PM为y＝kx+1，
联立，
化简得，x2﹣4kx﹣4＝0，
∴，
∴M的横坐标为，
∴EG＝，
同理，EK＝4k+4，
∴＝，
即存在这样的点P（0，1），使PM＝MG、PN＝NH恒成立，；
（3）设直线l2为y＝nx+1，S（x1，y1），T（x2，y2），
联立，
化简得，x2﹣4nx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4n，x1x2＝﹣4，
∴y1+y2＝n（x1+x2）+2＝4n2+2，
∴y1y2＝，
如图2，分别过S，T作直线y＝﹣1的垂线，垂足为D，Q，
由（2）可得，PS＝SD＝y1+1，PT＝TQ＝y2+1，
∴＝＝＝1，
即．
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日期：2021/8/10 22:52:07；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的。）
1．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过A作AD⊥BC于点D，若＝．则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
3．（4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（4分）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（4分）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15
C．31 D．以上选项均不对
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
6．（4分）当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ．
7．（4分）过原点的直线与双曲线y＝分别交于A、B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C（如图），则△ABC的面积为 ．
8．（4分）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 ．（直接填数字）
9．（4分）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
10．（4分）方程（a2﹣1）x2﹣2（5a+1）x+24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是 ．
11．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为 ．
12．（4分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些相关结论：
①当m＝﹣2时，抛物线的顶点为（，）；
②当m≠0时，函数图象恒过定点；
③当m＜0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；
④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段的长度大于．
其中正确的结论是 （直接填正确结论的编号）．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．
14．（12分）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月）
2
3
4
5
6
市场采购工料量y1（吨）
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
15．（14分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．（16分）已知一次函数y1＝kx+m与二次函数y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b为整数）的图象交于A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）两点，二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1．
（1）求y1、y2、y3的解析式；
（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y＝﹣1的垂线，垂足为G，过点N作直线y＝﹣3的垂线，垂足为H．是否存在这样的点P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究是否为定值；若不存PN在．请说明理由．
（3）在（2）的条件下．设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求+的值．
2020年湖北省武汉市华中师大一附中学科素养数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的。）
1．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过A作AD⊥BC于点D，若＝．则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过证明△BAD∽△ACD，可得，即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴设BD＝4x，CD＝3x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝∠C+∠DAC＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∴△BAD∽△ACD，
∴，
∴AD＝2x，
∴tanC＝＝，
故选：D．
2．（4分）如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG＝2；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE＝FG，根据相交弦定理得BD•DC＝DE•DF，而BD、DC的长易知，DE＝2+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长．
【解答】解：如图．过C作CN⊥AB于N，交EF于M，
∵EF∥AB，
∴CM⊥EF．
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O．
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
∴DG＝AB＝2；
∵△CGD是等边三角形，CM⊥DG，
∴DM＝MG；
∵OM⊥EF，由垂径定理得：EM＝MF，
∴DE＝GF．
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD•DC＝DE•DF，即DE×（DE+2）＝4；
解得DE＝﹣1（负值舍去）．
故选：B．
3．（4分）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
4．（4分）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【解答】解：∵x＝＝+，
∴x6﹣2x5﹣x4+x3﹣2x2+2x﹣
＝x5（x﹣2）﹣x4+x2（x﹣2）+2x﹣
＝x5（+﹣2）﹣x4+x2（+﹣2）+2x﹣
＝x5（﹣）﹣x4+x2（﹣）+2x﹣
＝x4[x（﹣）﹣1]+x2（﹣）+2x﹣
＝0+x（+）（﹣）+2x﹣
＝﹣x+2x﹣
＝x﹣
＝．
故选：C．
5．（4分）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7 B．15
C．31 D．以上选项均不对
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论整式方程只有一个实数根，检验后求出a的值总和即可．
【解答】解：已知方程化为4x2﹣4x﹣a+8＝0①，
①若方程①有两个相等实根，则△＝16﹣16（8﹣a）＝0，即a＝7，
当a＝7时，方程①的根x1＝x2＝，符合要求；
②若方程①有两个相等实根，其中一个根为2（因为2是原方程的增根，会舍去），
将x＝2代入方程①，则16﹣8﹣a+8＝0，即a＝16，
此时，方程①的另一个根为x＝﹣4，符合要求；
③若方程①有两个相等实根，其中一个根为0（因为0是原方程的增根，会舍去），
将x＝0代入方程①，则8﹣8+a+8＝0，即a＝8，
此时方程①的另一个根为x＝﹣1，符合要求，
综上，符合条件的a有7，16，8，其总和为31，
故选：C．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
6．（4分）当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是 ﹣1，1或1，﹣1 ．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得m、n的值．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，
∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，
即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；
当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，
即或，
解得或；
当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，
即，
解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．
7．（4分）过原点的直线与双曲线y＝分别交于A、B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C（如图），则△ABC的面积为 2 ．
【分析】根据反比例函数与正比例函数两个交点关于原点对称，这点设点A坐标为（a，b），则点B的坐标为（﹣a，﹣b），由S△ABC＝S△BOC+S△AOC，OC＝|﹣a|，即可算出△BOC与△AOC的面积，因为|ab|＝|﹣2|＝2，即可得出答案．
【解答】解：设点A坐标为（a，b），
则点B的坐标为（﹣a，﹣b），
∴b＝，即ab＝﹣2，
根据题意可知，S△BOC＝＝＝＝1，
＝＝＝1，
S△ABC＝S△BOC+S△AOC＝1+1＝2．
故答案为：2．
8．（4分）2019年7月，中共中央国务院发布的《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中明确提出“要把劳动教育作为中学教育阶段的必修课”．我校积极响应，率先落实意见的相关精神，将学校的公共卫生清洁任务划分给各班的学生完成，现某班准备成立三个小组，分别承担本班的“走廊清扫”、“栏杆清洁及维护”、“垃圾转运”这三项劳动任务．现从班委会成员中的四位同学（三男一女）中任选三个人分别担任这三个小组的小组长，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为 ．（直接填数字）
【分析】画树状图，共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的结果有18个，
∴其中该女生恰好不担任“垃圾转运”组的组长的概率为＝，
故答案为：．
9．（4分）若7+和5﹣的小数部分分别为m，n，则+＝ ．
【分析】首先求出7+和5﹣的小数部分，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴7+的整数部分是7+3＝10，小数部分为m＝﹣3；
5﹣的整数部分是5﹣4＝1，小数部分为n＝4﹣；
则+＝+＝+＝．
故答案为：．
10．（4分）方程（a2﹣1）x2﹣2（5a+1）x+24＝0有两个不等负整数根，则整数a的值是 ﹣2 ．
【分析】先计算出△＝4（5a+1）2﹣4×24（a2﹣1）＝4（a+5）2，则利用求根公式可得两根分别为x1＝，x2＝，再根据方程有两个不等负整数根和a为整数，运用整数的整除性质可求出a．
【解答】解：△＝4（5a+1）2﹣4×24（a2﹣1）＝4（a+5）2，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝，
由∵方程有两个不等负整数根和a为整数，
∴a≠﹣5，且由x1＝，得a＝0或﹣1或﹣2；
由x2＝，得a＝﹣2或﹣3；
所以a只能为﹣2．
故答案为﹣2．
11．（4分）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD＝∠DAC，tan∠BAD＝，AD＝，CD＝13，则线段AC的长为 4 ．
【分析】作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF＝4x，则AF＝7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF＝4，AF＝7，设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE＝，AE＝，设DG＝z，则EG＝﹣z，则（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG＝12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG＝8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC＝4．
【解答】解：作∠DAE＝∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．
∵∠C+∠BAD＝∠DAC，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝EC，
∵tan∠BAD＝，
∴设DF＝4x，则AF＝7x，
在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2，即（）2＝（4x）2+（7x）2，
解得x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝1，
∴DF＝4，AF＝7，
设EF＝y，则CE＝7+y，则DE＝6﹣y，
在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，即（6﹣y）2＝42+y2，
解得y＝，
∴DE＝6﹣y＝，AE＝，
∴设DG＝z，则EG＝﹣z，则
（）2﹣z2＝（）2﹣（﹣z）2，
解得z＝1，
∴CG＝12，
在Rt△ADG中，AG＝＝8，
在Rt△ACG中，AC＝＝4．
故答案为：4．
12．（4分）定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些相关结论：
①当m＝﹣2时，抛物线的顶点为（，）；
②当m≠0时，函数图象恒过定点；
③当m＜0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；
④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段的长度大于．
其中正确的结论是 ①②④ （直接填正确结论的编号）．
【分析】①把m＝﹣2代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题．
【解答】解：①当m＝﹣3时，特征数为[﹣4，3，1]，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+3x+1，
则抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
当x＝时，y＝﹣4x2+3x+1＝，故①正确；
②当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点，故②结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
④当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故④正确．
故答案为①②④．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）
13．（10分）如图1，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）若AB＝20，AC＝12，求BD，DE的长；
（2）若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，如图2，若FG＝，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）如图1，连接BC，OD交于点N，先证明四边形DECN是矩形，得∠CND＝90°，根据垂径定理可得BN＝CN＝BC，DE＝NC，由勾股定理可得BC的长，从而知DE＝BN＝CN＝8，由中 位线定理可得ON＝6，最后根据勾股定理可得结论；
（2）如图2中，设FG与AD交于点H，根据题意，设BD＝3x，AD＝4x，AB＝5x，则AF＝x，想办法用x表示线段FH、GH，根据FH+GH＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，连接BC，OD交于点N，
∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AE，
∴∠NDE＝90°，
∵∠BCE＝∠E＝90°，
∴四边形DECN是矩形，
∴∠CND＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BN＝CN＝BC，DE＝NC，
Rt△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∴DE＝BN＝CN＝8，
∵O是AB的中点，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON＝AC＝6，
Rt△BDN中，且ON＝6，DN＝4，BN＝8，
∴BD＝＝＝4；
（2）如图2，设FG与AD交于点H，过点G作GM⊥HD，垂足为M，
tan∠BAD＝＝
设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，
∵F为OA的中点，
∴AF＝x，
∵GF⊥AB
∴∠AFH＝90°
∵tan∠BAD＝
∴FH＝AF•tan∠BAD＝＝x，
同理得：AH＝＝＝x，
HD＝AD﹣AH＝4x﹣x＝x，
由（1）知：∠HDG+∠ODA＝90°，
在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA＝90°，
∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，
∴∠DHG＝∠HDG，
∴GH＝DG，MH＝MD，
∴HM＝HD＝＝x，
在Rt△HGM中，HG＝＝＝x，
∵FH+GH＝，即＝，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为＝8．
14．（12分）某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量y1（件）与月份x（2≤x≤6，且×为整数）之间满足的函数关系如表：
月份x（月）
2
3
4
5
6
市场采购工料量y1（吨）
6000
4000
3000
2400
2000
7至12月，该工厂自身生产的工料量y2（件）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2＝ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1＝x，该工厂自身生产的每件工料的成本z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2＝x﹣x2；7至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用．
【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy1＝定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；
（2）利用当2≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据表格中数据可以得出xy1＝定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y1＝，将（2，6000）代入得：
k＝2×6000＝12000，
故y1＝（2≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，
代入y2＝ax2+c（a≠0）得：，
解得：，
故y2＝x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；
（2）当2≤x≤6，且x取整数时：
W＝y1•z1+（12000﹣y1）•z2＝•x+（12000﹣）•（x﹣x2），
＝﹣1000x2+10000x﹣3000，
∵a＝﹣1000＜0，x＝﹣＝5，2≤x≤6，
∴当x＝5时，W最大＝22000（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W＝2×（12000﹣y2）+1.5y2＝2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），
＝﹣x2+19000，
∵a＝﹣＜0，x＝﹣＝0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x＝7时，W最大＝18975.5（元），
∵22000＞18975.5，
∴去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是22000元．
15．（14分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，于是得到结论；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）根据题意列方程得到t＝，t＝0，（不合题意，舍去），于是得到结论；
（4）由角平分线的性质得到DM＝DN＝，根据勾股定理得到ON＝OM＝＝，由三角形的面积公式得到OP＝5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝10，
①当AP＝PO＝t，如图1，
过P作PM⊥AO于点M，
∴AM＝AO＝，
∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠PAM＝∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴，
∴AP＝t＝，
②当AP＝AO＝t＝5，
∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm．
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE＝PD＝8﹣t，
则S△BOE＝BE•OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，
∴＝
∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，
∴S△DFQ＝12×＝
∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；
∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；
（3）存在，
∵S△ACD＝×6×8＝24，
∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，
解得t＝3，或t＝，
∴t＝3或时，S五边形OECQF：S△ACD＝9：16；
（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD＝∠COD，
∴DM＝DN＝，
∴ON＝OM＝＝，
∵OP•DM＝3PD，
∴OP＝5﹣t，
∴PM＝﹣t，
∵PD2＝PM2+DM2，
∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+（）2，
解得：t＝16（不合题意，舍去），t＝，
∴当t＝时，OD平分∠COP．
16．（16分）已知一次函数y1＝kx+m与二次函数y2＝2ax2+bx+c（a＞0，b为整数）的图象交于A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）两点，二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1．
（1）求y1、y2、y3的解析式；
（2）P是y轴上一点，过点P任意作一射线分别交y2、y3的图象于M、N，过点M作直线y＝﹣1的垂线，垂足为G，过点N作直线y＝﹣3的垂线，垂足为H．是否存在这样的点P，使PM＝MG、PN＝NH恒成立，若存在，求出P点的坐标，并探究是否为定值；若不存PN在．请说明理由．
（3）在（2）的条件下．设过P点的直线l交二次函数y2的图象于S、T两点，试求+的值．
【分析】（1）先将A，B两点坐标代入到一次函数中得到一次函数解析式，联立y1和y2的解析式，利用根与系数关系，可以求得a和b的关系式，因为次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1，利用顶点坐标公式写出各自函数的最小值，即顶点的纵坐标，列出方程，得到第二个关于a和b的式子，解方程组求出a和b，再将A代入到y2中，求出c；
（2）设P点和M点坐标分别为（0，t），（u，v），表示出PM2，利用M点和G点坐标，表示出MG2，利用PM2＝MG2，列出方程，得到关于u，v，t的等式，又因为M点在二次函数上，得到关于u，v的式子，消掉u，得到关于v和t的方程，因为此等式无论t取何值都成立，所以将等式中所有含有t的项合并，令t的系数为0，或者进行因式分解，得到（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，由此得到t﹣1＝0，所以t＝1，同理，可以证得当P（0，1）时，PN＝NH恒成立，因为PO∥MG∥NK，所以，联立直线和二次函数解析式，直接求出M的横坐标，求出EG，同样方法，表示出EK，代入等式中进行化简，即可解决．
（3）过S，T分别作x轴垂线，垂足为D，Q，由（2）可得，PS＝SD，PT＝TQ，设S（x1，y1），T（x2，y2），则＝＝，设直线ST为y＝nx+1，将其与联立，化简得到一个关于x的一元二次方程，则x1，x2是该方程两根，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积，进一步求出y1+y2和y1y2，代入求解即可．
【解答】解：（1）将A（2﹣2，3﹣2）、B（2+2，3+2）代入到y1＝kx+m，得，
，
解得，
∴y1＝x+1，
联立，
化简得2ax2+（2b﹣1）x+c﹣1＝0，
由根与系数关系可得，，
化简得，8a+2b＝1，
∵二次函数y2＝2ax2+2bx+c和二次函数y3＝ax2+bx+c﹣1的最小值的差为1，
∴，
∴b＝0，
∴a＝，
∴，
将A点坐标代入到，得，
，
∴c＝0，
∴y1＝x+1，，；
（2）如图1，设P（0，t），M（u，v），
∴PM2＝u2+（v﹣t）2＝u2+v2+t2﹣2vt，
MG＝v+1，
∵PM＝MG，
∴PM2＝MG2，
∴u2+v2+t2﹣2vt＝v2+2v+1①，
∴u2+t2﹣2vt＝2v+1，
∵M点在抛物线上，
∴，
∴u2＝4v，
将上式代入到①中，化简得，
2v+t2﹣2vt﹣1＝0，
∴（t﹣1）（t+1﹣2v）＝0，
∵上式对任意v都成立，
∴t﹣1＝0，
∴t＝1，
∴P（0，1）时，使PM＝MG恒成立，
同理可得，当P（0，1）时，使PN＝NH恒成立，
∴P点的坐标为（0，1）时，使PM＝MG，PN＝NH恒成立，
设NH与直线y＝﹣1交于点K，直线y＝﹣1与y轴交点为E，
∵MG∥y轴，NH∥y轴，
∴PO∥MG∥NK，
∴，
设直线PM为y＝kx+1，
联立，
化简得，x2﹣4kx﹣4＝0，
∴，
∴M的横坐标为，
∴EG＝，
同理，EK＝4k+4，
∴＝，
即存在这样的点P（0，1），使PM＝MG、PN＝NH恒成立，；
（3）设直线l2为y＝nx+1，S（x1，y1），T（x2，y2），
联立，
化简得，x2﹣4nx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4n，x1x2＝﹣4，
∴y1+y2＝n（x1+x2）+2＝4n2+2，
∴y1y2＝，
如图2，分别过S，T作直线y＝﹣1的垂线，垂足为D，Q，
由（2）可得，PS＝SD＝y1+1，PT＝TQ＝y2+1，
∴＝＝＝1，
即．
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