2021年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（3月份）

这是一份2021年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（本题共20分，每小题4分）下面1-5题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，则∠CBD的度数为（　　）

A．12° B．13° C．14° D．15°
2．（4分）已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x＝时，代数式x19﹣x+2的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．5
3．（4分）小天计算一组数据92，90，94，86，100，88的方差为S02，则数据46，45，47，43，50，44的方差为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．2
5．（4分）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（　　）

A．12种 B．13种 C．14种 D．15种
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6．（4分）如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为　 　．

7．（4分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为　 　．

8．（4分）在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，点F在边AB上，BD与FC相交于点G，连接EG，若BF＝AB，则＝　 　．

9．（4分）已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为　 　．
10．（4分）阅读下面材料：
分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
因为x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
所以x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：
在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝　 　．
三、解答题（本题共60分，第11题8分，12-15题，每小题8分，16题12分）
11．（8分）游船在湖面A处时，望见正北方向和北偏西60°方向各有1个灯塔，继续乘船向正西方向航行1海里到达B处，这时两个灯塔分别在它的东北、西北方向，求这两个灯塔之间的距离．（≈1.73，结果保留一位小数）
12．（10分）在几何的证明中，经常可以通过“作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段”或者“过一点作已知直线的平行线，过一点作已知直线的垂线”的方式添加辅助线，解决问题．
例如，证明“等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半”．
即“已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB．求证：∠DCB＝∠A”．
证明的两种方法虽然不同，但总体思路基本一致．
方法一
如图，作∠BAC的平分线AE交BC于点E．通过作等角，利用等腰三角形“三线合一”的性质和“三角形内角和定理”，即可证明．

方法二
如图，过点C作射线CE交AB于点E，使∠DCE＝∠DCB，通过作等角，利用“全等三角形对应角相等”，“等腰三角形的两个底角相等”和“三角形内角和定理”即可证明．

参考以上内容，求证“若三角形的两边不等，则大边同这边上的高的和，一定大于小边同这边上的高的和”．

13．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线顶点P的坐标；
（2）连接BC与抛物线对称轴交于点D，连接PC．
①求证：△PCD是等边三角形．
②连接AD，与y轴交于点E，连接AP，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等．若存在，直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M是直线BC上任意一点，连接ME，以点E为中心，将线段ME逆时针旋转60°，得到线段NE，点N的横坐标是否发生改变．若不改变，直接写出点N的横坐标；若改变，请说明理由．
14．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点是AC边上一点（不与点A，C重合），连接BD，以点D为中心，将线段DB顺时针旋转90°，得到线段DE，连接EC并延长交AB边于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）①求证：EC＝CF；
②用等式表示线段CD与AF之间的数量关系，并证明．

16．（12分）对于给定的⊙M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⊙M上，且MP≥MR（规定当点R，M重合时，MR＝0），称点P为⊙M的“远圆点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．
①在点A（，1），B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⊙O的“远圆点”是　 　；
②已知直线l：y＝x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于点F，G，且线段FG上存在⊙O的“远圆点”，直接写出b的取值范围．
（2）线段HI上的所有点都是以M（1，0）为圆心，以r为半径的⊙M的“远圆点”，已知H（﹣1，0），I（0，1），直接写出r的取值范围是　 　．

2021年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共20分，每小题4分）下面1-5题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个.
1．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，则∠CBD的度数为（　　）

A．12° B．13° C．14° D．15°
【分析】可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD＝∠ECD，由角平分线到角两边的距离相等可得DF＝DE，进而的△CED≌△CFD，由对应边又可得Rt△CDF≌Rt△BDF，进而可得出结论．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F．
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACE＝60°，且CE＝AC，
∵AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝75°，
∴∠FCD＝90°﹣∠ACD＝15°，∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝15°，
在△CED和△CFD中，
，
∴△CED≌△CFD（AAS），
∴CF＝CE＝AC＝BC，
∴CF＝BF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDF（HL），
∴BD＝CD，
∴∠DCB＝∠CBD＝15°，
故选：D．

2．（4分）已知三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，当x＝时，代数式x19﹣x+2的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．5
【分析】根据三个有理数a，b，c的积是负数，它们的和是正数，可以得到x的值，然后代入代数式x19﹣x+2，即可解答本题．
【解答】解：∵三个有理数a，b，c的积是负数，
∴这三个数是两正一负或三负，
又∵这三个数的和是正数，
∴这三个数是两正一负，
不妨设a＞0，b＞0，则c＜0，
∴x＝＝1+1﹣1＝1，
∴x19﹣x+2
＝119﹣1+2
＝1﹣1+2
＝2，
故选：B．
3．（4分）小天计算一组数据92，90，94，86，100，88的方差为S02，则数据46，45，47，43，50，44的方差为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据两组数据得出新数据是将原数据分别乘所得，再根据方差的性质求解即可得出答案．
【解答】解：原数据重新排列为86，88，90，92，94，100，
新数据重新排列为43，44，45，46，47，50，
所以新数据是将原数据分别乘所得，
∵原数据的方差为S02，
∴新数据的方差为（）2×S02＝S02，
故选：C．
4．（4分）如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（　　）

A．1 B． C． D．2
【分析】连接AE，AD，作AH⊥BC于H，因为DE与⊙A相切于E，所以AE⊥DE，可得DE＝，当D与H重合时，AD最小，此时DE最小，求出AH的长，即可得出DE的最小值．
【解答】解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE＝，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH＝CH＝1，
∴AH＝，
∴DE的最小值为：．
故选：B．

5．（4分）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E，这只小虫子的不同走法共有（　　）

A．12种 B．13种 C．14种 D．15种
【分析】根据题意按照顺序列举即可求解．
【解答】解：这只小虫子的不同走法有ABCDE，ABCDPE，ABCDPFE，ABPDE，ABPE，ABPFE，APBCDE，APDE，APE，APFE，AGFBCDE，AGFPDE，AGFPE，AGFE，共有14种．
故选：C．
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6．（4分）如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线交点，∠CAB的度数为　45°　．

【分析】连接BC，过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB＝2，AC＝3．利用割补法求出S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×6×2﹣×4×3＝15，根据三角形的面积公式求出CD＝．在Rt△ACD中求出sin∠CAB＝＝，即可得出∠CAB＝45°．
【解答】解：如图，连接BC，过C作CD⊥AB于D，
根据勾股定理，得AB＝＝2，AC＝＝3．
∵S△ABC＝6×6﹣×6×3﹣×6×2﹣×4×3＝15，
S△ABC＝AB•CD＝×2•CD＝CD，
∴CD＝15，
∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°．
故答案为：45°．

7．（4分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为　2　．

【分析】延长BA和CE交于点F，根据已知条件证明△FBE≌△CBE，可得EF＝CE＝1，得CF＝2，再证明△ABD≌△ACF，进而可得结果．
【解答】解：如图，延长BA和CE交于点F，

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF＝CE＝1，
∴CF＝EF+EC＝2，
∵∠BEF＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝2，
∴BD＝2．
故答案为：2．
8．（4分）在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，点F在边AB上，BD与FC相交于点G，连接EG，若BF＝AB，则＝　　．

【分析】取AF的中点H，连接DH，可得G为BD的中点．通过相似和等底等高的三角形的面积相等的关系，分别得出S△BFG和S△BEG与S△ABC的关系，结论可求．
【解答】解：取AF的中点H，连接DH，如图：

∵BF＝AB，H为AF的中点，
∴BF＝FH＝AH．
∵D为AC的中点，H为AF的中点，
∴DH∥FC．
∵BF＝FH，
∴G为BD的中点．
∵E为BC的中点，
∴EG∥AC．
∴△BGE∽△BDC．
∴．
∴．
∵D为AC的中点，
∴．
∴．
设S△BFG＝a，则S△ABD＝6a．
∵D为AC的中点，
∴．
∴S△ABC＝12a．
∴．
∴．
故答案为．
9．（4分）已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为　﹣＜m＜0　．
【分析】根据关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可以得到m的取值范围，再根据x1＜2＜x2和一元二次方程和二次函数的关系，可以利用分类讨论的方法求出m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴，
解得，﹣＜m＜0或0＜m＜，
∵x1＜2＜x2，
∴当﹣＜m＜0时，m×22+2×2+5m＞0，
解得﹣＜m＜0；
当0＜m＜时，m×22+2×2+5m＜0，
解得m无解；
故答案为：﹣＜m＜0．
10．（4分）阅读下面材料：
分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
因为x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
设x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．
比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．
所以x2+3xy+2y2+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．
解答下面问题：
在有理数范围内，分解因式2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝　（2x+y﹣3）（x﹣11y+1）　．
【分析】先十字相乘法得到2x2﹣21xy﹣11y2＝（2x+y）（x﹣11y），设2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝（2x+y+m）（x﹣11y+n），比较系数得，m+2n＝﹣1，﹣11m+n＝34，解方程组即可求解．
【解答】解：因为2x2﹣21xy﹣11y2＝（2x+y）（x﹣11y），
设2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝（2x+y+m）（x﹣11y+n）．
比较系数得，m+2n＝﹣1，﹣11m+n＝34．
解得m＝﹣3，n＝1．
所以2x2﹣21xy﹣11y2﹣x+34y﹣3＝（2x+y﹣3）（x﹣11y+1）．
故答案为：（2x+y﹣3）（x﹣11y+1）．
三、解答题（本题共60分，第11题8分，12-15题，每小题8分，16题12分）
11．（8分）游船在湖面A处时，望见正北方向和北偏西60°方向各有1个灯塔，继续乘船向正西方向航行1海里到达B处，这时两个灯塔分别在它的东北、西北方向，求这两个灯塔之间的距离．（≈1.73，结果保留一位小数）
【分析】如图所示：过点D作DE⊥AB延长线于点E，根据题意可知：∠1＝60°，∠2＝∠3＝45°，∠CBA＝∠DBE＝45°，可得AC＝AB＝1海里，BE＝DE，∠DBC＝90°，∠DAE＝30°，然后利用特殊角三角函数和勾股定理即可求出结果．
【解答】解：如图所示：过点D作DE⊥AB延长线于点E，

根据题意可知：∠1＝60°，∠2＝∠3＝45°，∠CBA＝∠DBE＝45°，
∴AC＝AB＝1海里，BE＝DE，∠DBC＝90°，∠DAE＝30°，
∴BC＝＝，tan30°＝＝，
设BE＝x，则ED＝x，
故＝，
解得：x＝，
则BD2＝2x2＝2×（）2＝2+，
∵BC2＝2，
∴CD2＝BD2+BC2＝4+≈5.73，
则CD＝≈2.4（海里），
答：这两个灯塔间的距离为2.4海里．
12．（10分）在几何的证明中，经常可以通过“作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段”或者“过一点作已知直线的平行线，过一点作已知直线的垂线”的方式添加辅助线，解决问题．
例如，证明“等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半”．
即“已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB．求证：∠DCB＝∠A”．
证明的两种方法虽然不同，但总体思路基本一致．
方法一
如图，作∠BAC的平分线AE交BC于点E．通过作等角，利用等腰三角形“三线合一”的性质和“三角形内角和定理”，即可证明．

方法二
如图，过点C作射线CE交AB于点E，使∠DCE＝∠DCB，通过作等角，利用“全等三角形对应角相等”，“等腰三角形的两个底角相等”和“三角形内角和定理”即可证明．

参考以上内容，求证“若三角形的两边不等，则大边同这边上的高的和，一定大于小边同这边上的高的和”．

【分析】先写出已知，求证，根据AAS证明△AFH≌△ACE，再根据全等三角形的性质和平行四边形判定与性质即可求解．
【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，BD，CE分别为AB，AC边上的高．求证：AB+CE＞AC+BD．
证明：如图，在AB上截取AF＝AC，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠AHF＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，AF＝AC，
∴△AFH≌△ACE（AAS），
∴FH＝CE，
过点F作FG⊥BD于点G，
∴四边形FGDH是平行四边形，
∴FH＝GD，
∴BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC，
BG＝BD﹣GD＝BD﹣CE，
在Rt△BGF中，BF＞BG，
∴AB﹣AC＞BD﹣CE，
∴AB+CE＞AC+BD．

13．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线顶点P的坐标；
（2）连接BC与抛物线对称轴交于点D，连接PC．
①求证：△PCD是等边三角形．
②连接AD，与y轴交于点E，连接AP，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等．若存在，直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M是直线BC上任意一点，连接ME，以点E为中心，将线段ME逆时针旋转60°，得到线段NE，点N的横坐标是否发生改变．若不改变，直接写出点N的横坐标；若改变，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①利用勾股定理，求出PC，PD，CD，可得结论．
②存在．在对称轴上取一点Q，使得DQ＝AD，连接AQ．证明△ADP≌△QDC（SAS），可得Q（，2），根据对称性可知，当点Q′与Q关于A对称时，△Q′CD≌△ADP．
（3）设EN交DM于J．利用全等三角形的性质证明点N在对称轴上即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3．
顶点P（，﹣4）．

（2）①∵C（0，﹣3），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴D（，﹣2），
∴PD＝2，CD＝＝2，PC＝＝2，
∴CD＝PD＝PC，
∴△PCD是等边三角形．

②存在．
理由：在对称轴上取一点Q，使得DQ＝AD，连接AQ．
∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∵DA＝DB，DQ⊥AB，
∴∠DAB＝30°，∠ADB＝120°，
∴∠ADQ＝∠BDQ＝60°，
∵∠ADQ＝∠CDP＝60°，
∴∠ADP＝∠CDQ，
∵DA＝DQ，DP＝DC，
∴△ADP≌△QDC（SAS），
∵AD＝DQ＝4，
∴Q（，2），
根据对称性可知，当点Q′与Q关于A对称时，△Q′CD≌△ADP，
∴Q′（﹣3，﹣2），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，2）或（﹣3，﹣2）．

（3）设EN交DM于J．
∵∠MEN＝∠CED＝60°，
∴∠MEC＝∠NED，
∵ME＝NE，EC＝ED，
∴△MEC≌△NED（SAS），
∴∠EMC＝∠END，
∵∠EJM＝∠DJN，
∴∠MEJ＝∠JDN＝60°，
∴∠CDP＝∠CDN＝60°，
∴点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为．

14．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
（1）求b，c的值；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使当m≤x≤n时，二次函数的最小值是4m，最大值是4n．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据对称轴求得b，进而把点（1，16）代入解析式即可求得c；
（2）分三种情况：a、若n≤1，有：﹣m2+2m+15＝4m①，﹣n2+2n+15＝4n②，m＜n③，由此求出m、n的值相同，不合题意；b、若m≥1，有：﹣m2+2m+15＝4n①，﹣n2+2n+15＝4m②，m＜n③，由此确定m＝n＝3，不合题意；c、若m＜1，n＞1，此时函数的最大值为16，4n＝16，得出n＝4，再由最小值是4m，确定m＜1，且﹣m2+2m+15＝4m，解得符合条件的m的值，便可得出结果．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，16）．
∴﹣＝1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+c，
把（1，16）代入得，16＝﹣1+2+c，
∴c＝15；
（2）存在，理由如下，
分三种情况：
a、n≤1，有：﹣m2+2m+15＝4m①，﹣n2+2n+15＝4n②，m＜n③，
解得m＝n，不合题意；
b、m≥1，有：﹣m2+2m+15＝4n①，﹣n2+2n+15＝4m②，m＜n③，
①﹣②得：（n﹣m）（m+n）＝6（n﹣m），n﹣m＞0，
∴m+n＝6，
代入①解得：m＝3，n＝3；
不合题意，
c、若m＜1，n＞1，
∵此时函数的最大值为16，
∴4n＝16，
∴n＝4，
∴当x＝m时，﹣m2+2m+15＝4m，
解得m1＝﹣5，m2＝3（舍去），
当x＝n时，﹣n2+2n+15＝4m，
∴﹣16+8+15＝4m，
解得m＝（舍去），
综上所述：m＝﹣5，n＝4．
15．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点是AC边上一点（不与点A，C重合），连接BD，以点D为中心，将线段DB顺时针旋转90°，得到线段DE，连接EC并延长交AB边于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）①求证：EC＝CF；
②用等式表示线段CD与AF之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE，据此画图即可；
（2）①依据SAS判定∴△ECG≌△FCA，再根据全等三角形对应边相等，即可得到EC＝CF；
②过F作FM⊥AC于点M，证明△EMC≌△EHC，得FM＝EH﹣CD，即可求得AF＝FM．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图；

（2）证明：延长AC到G，使得CG＝AC，过E作EH⊥CG于点H，连接EG，

由题意知，∠BDE＝90，
∵∠BDC+∠EDC＝90°，
又∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDC＝∠DBC，
∵EH⊥CG，
∴∠EHD＝∠C＝90，

∴△BDC≌△DEH（AAS）．
∴EH＝CD，DH＝BC，
∴AD+CD＝CH+CD
∴AD＝CH，
又∵CG＝AC，
∴CH+HG＝AD+CD．
∴HG＝CD＝EH．
∴∠G＝∠A＝45°，
又，
∴△ECG≌△FCA（AAS）．
∴EC＝CF．
（3）AF＝CD．
证明：过F作FM⊥AC于点M，

∵∠A＝45°，
∵AM＝MF，
∵FM⊥MC，
∵∠FMC＝∠EHC＝90°，
，
∴△FMC≌△GHC（AAS）
∴FM＝EH﹣CD，
∵AF＝FM．
∴AF＝CD．
16．（12分）对于给定的⊙M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⊙M上，且MP≥MR（规定当点R，M重合时，MR＝0），称点P为⊙M的“远圆点”．
（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．
①在点A（，1），B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⊙O的“远圆点”是　A，C，D　；
②已知直线l：y＝x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于点F，G，且线段FG上存在⊙O的“远圆点”，直接写出b的取值范围．
（2）线段HI上的所有点都是以M（1，0）为圆心，以r为半径的⊙M的“远圆点”，已知H（﹣1，0），I（0，1），直接写出r的取值范围是　1≤r≤+　．
【分析】（1）①根据“等边远点”的定义即可作图，求出“等边远点”到圆心的距离范围，故可进行判断；
②找出满足条件的“等边远点”的分界点，即可求解；
（2）求出⊙M经过点O时的半径r，以及点I是以r为半径的⊙M的“远圆点”时半径的最大值，可得结论．
【解答】解：（1）①观察图像可知，点A，C，D是⊙O的“远圆点”．

故答案为：A，C，D．

②如图2﹣1中，过点O作OP⊥FG于P，交⊙O于Q，当点P是⊙O的“远圆点”且PQ＝1，△PQM是⊙O的“关联三角形”时，OP＝PQ+OQ＝1+．

在Rt△OPG中，∠OGP＝30°，
∴OG＝2OP＝2+2，
∴b＝2+2，
如图2﹣2中，过点G作GM⊥FG，方GM＝1，△MGP是⊙O的“关联三角形”时，四边形OPMG是菱形，此时OG＝1，可得b＝1，

观察图像可知满足条件的b的范围为：1≤b≤2+2，
再根据对称性可知，﹣2﹣2≤b≤﹣1也满足条件，
综上所述，b的取值范围为：1≤b≤2+2或﹣2﹣2≤b≤﹣1．

（2）如图3﹣1中，当⊙M经过点O时，线段IH上的所有的点是以r为半径的⊙M的“远圆点”，此时r＝1．

如图3﹣2中，当点I是以r为半径的⊙M的“远圆点”时，△DEI是等边三角形，边长为1，JM＝DM＝

连接EM交DI于J，
∵EI＝ED，MI＝MD，
∴EM垂直平分线段DI，
∴DJ＝IJ＝，EJ＝，JM＝＝＝，
∴r＝EJ+JM＝+，
观察图像可知，满足条件的半径r的取值范围为：1≤r≤+．
故答案为：1≤r≤+．