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2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）（word版含答案）
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这是一份2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）（word版含答案），共32页。
2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在国内疫情持续好转、旅游产业复工复产的当下，迎来了2020中秋国庆黄金周．据统计，本次黄金周全国出游人数约为637000000人次．把数据637000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.37×107 B．6.37×108 C．0.637×109 D．63.7×106
2．（2分）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图（从正面看）是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
4．（2分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为﹣1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2：翻转3次后，点A所对应的数为3：翻转4次后，点B所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
6．（2分）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）一元二次方程x2+5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．体育场离文具店1千米
C．张强在文具店逗留了15分钟
D．张强从文具店回家的平均速度是千米/分
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在二次根式中，x的取值范围 ．
10．（2分）估算≈ ．（精确到0.1）
11．（2分）如果：□+□+△＝14，□+□+△+△+△＝30，那么□＝ ．
12．（2分）圆心角为90°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm（结果保留π）．
13．（2分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 ．
14．（2分）抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是 ．
15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系 ．
16．（2分）在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如表：
交通工具
所需时间（单位：min）
自行车
14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15
公共汽车
10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19
下面有四个推断：
①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短
②骑自行车上学所需的时间比较容易预计
③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车
④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车
其中合理的是 （填序号）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（﹣1）2020﹣﹣（3﹣π）0+|3﹣|+（tan30°）﹣1．
18．（5分）解不等式组
19．（5分）解方程：1﹣＝．
20．（5分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．
21．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝ ．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，tan∠AEB＝，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC．
（1）求BE的值；
（2）求sin∠EDC．
23．（5分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝（k≠0）．
（1）当k＝1时，
①求出两个函数图象的交点坐标；
②根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5，求k值．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠Q＝∠DCQ；
（2）若sin∠Q＝，AP＝4，MC＝6，求PB的长．
25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ ，n＝ ；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 ．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 种橙子的质量较好，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
26．（6分）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．
（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
27．（7分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
28．（7分）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．
（1）观察猜想：
图①中线段AD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
（3）拓展延伸：
若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．
2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在国内疫情持续好转、旅游产业复工复产的当下，迎来了2020中秋国庆黄金周．据统计，本次黄金周全国出游人数约为637000000人次．把数据637000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.37×107 B．6.37×108 C．0.637×109 D．63.7×106
【解答】解：637000000＝6.37×108，
故选：B．
2．（2分）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图（从正面看）是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，3，2个正方形．
故选：B．
3．（2分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BAC＝70°，
故选：B．
4．（2分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（2分）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为﹣1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2：翻转3次后，点A所对应的数为3：翻转4次后，点B所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【解答】解：∵每4次翻转为一个循环组依次循环，
∴2019÷4＝504…3，
∴翻转2019次后点A在数轴上，点A对应的数是2019﹣3＝2016，数轴上数2019所对应的点是点A．
故选：A．
6．（2分）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；故①错误，②正确；
第一次摸出的球是红球的概率是，故③正确；
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，故④正确；
其中正确的结论个数为3个，
故选：C．
7．（2分）一元二次方程x2+5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：∵x2+5x+3＝0，
∴Δ＝52﹣4×1×3＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8．（2分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．体育场离文具店1千米
C．张强在文具店逗留了15分钟
D．张强从文具店回家的平均速度是千米/分
【解答】解：观察图象可知：体育场离张强家2.5千米，体育场离文具店1千米，张强从文具店回家的平均速度＝＝千米/分，张强在文具店逗留了20分钟，
故A，B，D正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在二次根式中，x的取值范围 x≤4 ．
【解答】解：由题意得：4﹣x≥0，
解得：x≤4，
故答案为：x≤4．
10．（2分）估算≈ 3.6 ．（精确到0.1）
【解答】解：因为＜＜，
所以3.6＜＜3.65，
所以≈3.6．
故答案为：3.6．
11．（2分）如果：□+□+△＝14，□+□+△+△+△＝30，那么□＝ 3 ．
【解答】解：设□表示的数为x，△表示的数为y，
由题意列出方程组得：，
②﹣①得：2y＝16，
解得：y＝8，
把y＝8代入①得：x＝3，
则□表示的数为3，
故答案为：3
12．（2分）圆心角为90°，半径为6cm的扇形的弧长是 3π cm（结果保留π）．
【解答】解：扇形的弧长＝＝3π（cm），
故答案为：3π．
13．（2分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6 ．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC
则＝
∴＝
解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP
则＝
∴＝
解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．
故答案为：2.8或1或6．
14．（2分）抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是 x＞2或x＜﹣4 ．
【解答】解：∵y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，
∴抛物线向左平移3个单位得到y＝（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c，
∴A（﹣1，t），B（5，t）的对应点为（﹣4，t）、（2，t），
∵a2+2＞0，
∴抛物线开口向上，
∴（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c＞t，即（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是x＞2或x＜﹣4．
故答案为x＞2或x＜﹣4．
15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系 BE＝（AC﹣CD） ．
【解答】解：在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA），
∴AD＝AB，BE＝ED，∠ABD＝∠ADB，
∴CD＝AC﹣AD，
∵∠ADB＝∠ACB+∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACB+∠DBC，
∵∠ABC＝3∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACB+2∠DBC＝3∠ACB，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴BD＝CD，
∴BE＝（AC﹣CD），
故答案为：BE＝（AC﹣CD）．
16．（2分）在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如表：
交通工具
所需时间（单位：min）
自行车
14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15
公共汽车
10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19
下面有四个推断：
①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短
②骑自行车上学所需的时间比较容易预计
③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车
④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车
其中合理的是 ①②③ （填序号）．
【解答】解：骑自行车上学的平均时间＝（14+14+14+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15）＝14.8min
乘坐公共汽车上学的平均时间＝（10+10+11+11+11+12+12+12+12+13+15+16+17+17+19）＝13.2min．
∴①②③正确，④错误，
故答案为①②③．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（﹣1）2020﹣﹣（3﹣π）0+|3﹣|+（tan30°）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣3﹣1+3﹣+（）﹣1
＝1﹣3﹣1+3﹣+
＝0．
18．（5分）解不等式组
【解答】解：
解不等式①得：x＜2，
解不等②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
19．（5分）解方程：1﹣＝．
【解答】解：等式两边同时乘x（x﹣1）得：x2﹣x﹣x2＝2x﹣2，
解得：x＝，
检验，把x＝代入得：x（x﹣1）＝﹣≠0，
则x＝是原方程的根．
20．（5分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣2（a2﹣4）
＝4a2+4a+1﹣2a2+8
＝2a2+4a+9，
∵a为方程2x2+4x﹣3＝0的解，
∴2a2+4a＝3，
∴原式＝3+9＝12．
21．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝ ∠BPC ．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），
∴∠ABP＝∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，tan∠AEB＝，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC．
（1）求BE的值；
（2）求sin∠EDC．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝＝，
设AB＝3a（a＞0），则BE＝4a，
∴AE＝＝＝5a＝10，
∴a＝2，
∴AB＝6，BE＝8；
（2）由（1）得：AB＝6，BE＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴sin∠EDC＝＝＝．
23．（5分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝（k≠0）．
（1）当k＝1时，
①求出两个函数图象的交点坐标；
②根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5，求k值．
【解答】解：（1）k＝1时，y1＝x﹣3，y2＝，
①由得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（1，﹣2）或（2，﹣1）；
②图象大致如图：
由图可得：当x＜0或1＜x＜2时，y1＜y2；
（2）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，
∴△≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0总有实数解，
∴两个函数图象总有交点；
（3）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，解得x＝2或x＝k，
∴A（2，﹣k），B（k，﹣2），
∵AB＝5，
∴（2﹣k）2+（﹣k+2）2＝（5）2，
解得k＝﹣3或k＝7．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠Q＝∠DCQ；
（2）若sin∠Q＝，AP＝4，MC＝6，求PB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DCQ+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠DCQ+∠B＝90°，
∵QP⊥AB，
∴∠B+∠Q＝90°，
∴∠Q＝∠DCQ；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPB＝90°，
∴∠Q+∠B＝90°，
∴∠A＝∠Q，
∵sin∠Q＝，
∴sin∠A＝＝，
∴设PM＝3a，AM＝5a，
∴AP＝＝4a，
∵AP＝4，
∴4a＝4，
∴a＝1，
∴AM＝5，
∴AC＝11，
在Rt△ACB中，sin∠A＝＝，
∴设BC＝3k，AB＝5k，
∴AC＝4k＝11，
∴k＝，
∴AB＝，
∴PB＝AB﹣AP＝．
25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 91 ，n＝ 90 ；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 s12＜s22 ．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 甲 种橙子的质量较好，理由为 甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解答】解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，
将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，
故答案为：91，90；
（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，
故答案为：s12＜s22；
（3）甲品种较好，理由为：①甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高；
②甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
26．（6分）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．
（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
【解答】解：（1）如图1中，过点B作BT⊥DA交DA的延长线于T．
∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴DT∥BC，
∴∠BAT＝∠ABC＝45°，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∵∠T＝90°，AB＝6，
∴BT＝AT＝3，
∴BD＝2BT＝6．
（2）如图2中，延长ED到R，使得DR＝DE，连接AR，BR，延长RB交CF的延长线于J．
∵∠ADE＝90°，
∴AD⊥ER，
∵DR＝DE，
∴AR＝AE，
∵AD＝DR＝DE，
∴∠RAE＝∠BAC＝90°，
∴∠RAB＝∠EAC，
∵AR＝AE．AB＝AC，
∴△RAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABR＝∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ＝180°，
∴∠ACJ+∠ABJ＝180°，
∴∠J+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠J＝90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFC＝∠J＝90°，
∴DF∥RJ，
∵DE＝DR，
∴EM＝BM．
（3）如图3﹣1中，取AB的中点Q，连接QN，QG，取QG的中点P，连接PA，PN，CE．
∵∠AEG＝∠ACG＝45°，
∴A，G，E，C四点共圆，
∴∠AEC＝∠AGC＝90°，
∴AE⊥EC，
∵BN＝NE，BG＝GC，BQ＝AQ，
∴NG∥EC，NQ∥AE，
∴QN⊥GN，
∵GA＝GB，AQ＝QB，∠AGB＝90°
∴GQ＝QA＝QB＝3，
∵PQ＝PG＝，
∴NP＝QG＝，PA＝＝，
∵AN≤PA+PN，
∴AN≤+，
∴A，P，N共线时，PA+PN的值最大（如图3﹣2中），最大值为+，过点G作GM⊥AC于M．
∵PN＝PG，
∴∠PNG＝∠PGN，
∵BQ＝QA，BG＝GC，
∴GQ∥AC，
∴∠PGN＝∠AKN，
∴∠ANK＝∠AKN，
∴AN＝AK＝+，
∵∠AGC＝90°，GA＝GC，GM⊥AC，
∴AM＝CM，
∴GM＝AC＝3，
∵PQ＝PG，
∴S△APG＝S△AQP＝×3×＝，
∴AP：AN＝：（+），
∴S△ANG＝•＝+，
∴S△ANK＝S△ANG+S△AGK＝++×（+）×3＝+．
27．（7分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b，
∵b＝2，
∴c＝4，
∴y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴抛物线的顶点为（﹣1，3）；
（Ⅱ）∵函数图象的顶点坐标是（m，n），
∴m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2＝﹣m2﹣4m，
∴n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣4m；
（Ⅲ）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴为直线x＝﹣，
当b≤0，c＝2b≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣3≤x≤4时，函数最小值是0，最大值是16，
∴最大值与最小值之差为16；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤﹣＜0，
当﹣3≤x≤4时，函数有最大值，即x＝4时，y＝16+6b，
①当﹣3≤﹣＜0时，函数有最小值﹣+2b：函数最大值为16+6b，
由题意，16+6b+﹣2b＝40，解得b＝4﹣8或b＝﹣4﹣8，
∵﹣3≤﹣＜0，即0＜b≤6，
∴b＝4﹣8；
②当﹣4≤﹣＜﹣3时，函数有最小值9﹣b；函数最大值为16+6b，
由题意，16+6b﹣9+b＝40，解得b＝，
∵6＜b≤8，
∴b＝（舍），
综上所述b＝4﹣8．
28．（7分）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．
（1）观察猜想：
图①中线段AD与CE的数量关系是 AD＝2DE ，位置关系是 AD⊥CE ；
（2）探究证明：
把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
（3）拓展延伸：
若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．
【解答】解：（1）∵AB＝2BC，BD＝2BE，
∴＝＝2，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴＝＝2，
∵∠B＝90°，
∴AD⊥CE，
故答案为：AD＝2DE，AD⊥CE；
（2）AD＝2DE，AD⊥CE，
理由：∵把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝2BC，BD＝2BE．
∴＝＝2，
∴△BCE∽△BAD，
∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，
∴AD＝2CE，
延长CE交AD于H，
∴∠CEB+∠BEH＝180°，
∴∠BEH+∠BDA＝180°，
∴∠DHE+∠DBE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴CE⊥AD；
（3）如图③，
过D作DG⊥AB于G，
由（2）知，△BCE∽△BAD，
∴，∠CBE＝∠ABD，
∵BC＝，BE＝1，
∴AB＝2，BD＝2，
∴AC＝＝5，
∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△DGB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BG＝，DG＝，
∴AG＝2﹣＝，
∴AD＝＝＝4．
2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在国内疫情持续好转、旅游产业复工复产的当下，迎来了2020中秋国庆黄金周．据统计，本次黄金周全国出游人数约为637000000人次．把数据637000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.37×107 B．6.37×108 C．0.637×109 D．63.7×106
2．（2分）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图（从正面看）是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
4．（2分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为﹣1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2：翻转3次后，点A所对应的数为3：翻转4次后，点B所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
6．（2分）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2分）一元二次方程x2+5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．体育场离文具店1千米
C．张强在文具店逗留了15分钟
D．张强从文具店回家的平均速度是千米/分
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在二次根式中，x的取值范围 ．
10．（2分）估算≈ ．（精确到0.1）
11．（2分）如果：□+□+△＝14，□+□+△+△+△＝30，那么□＝ ．
12．（2分）圆心角为90°，半径为6cm的扇形的弧长是 cm（结果保留π）．
13．（2分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 ．
14．（2分）抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是 ．
15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系 ．
16．（2分）在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如表：
交通工具
所需时间（单位：min）
自行车
14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15
公共汽车
10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19
下面有四个推断：
①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短
②骑自行车上学所需的时间比较容易预计
③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车
④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车
其中合理的是 （填序号）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（﹣1）2020﹣﹣（3﹣π）0+|3﹣|+（tan30°）﹣1．
18．（5分）解不等式组
19．（5分）解方程：1﹣＝．
20．（5分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．
21．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝ ．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ ）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，tan∠AEB＝，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC．
（1）求BE的值；
（2）求sin∠EDC．
23．（5分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝（k≠0）．
（1）当k＝1时，
①求出两个函数图象的交点坐标；
②根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5，求k值．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠Q＝∠DCQ；
（2）若sin∠Q＝，AP＝4，MC＝6，求PB的长．
25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ ，n＝ ；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 ．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 种橙子的质量较好，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
26．（6分）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．
（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
27．（7分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
28．（7分）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．
（1）观察猜想：
图①中线段AD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
（3）拓展延伸：
若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．
2022年北京市朝阳区中考数学模拟试卷（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）在国内疫情持续好转、旅游产业复工复产的当下，迎来了2020中秋国庆黄金周．据统计，本次黄金周全国出游人数约为637000000人次．把数据637000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.37×107 B．6.37×108 C．0.637×109 D．63.7×106
【解答】解：637000000＝6.37×108，
故选：B．
2．（2分）如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图（从正面看）是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，3，2个正方形．
故选：B．
3．（2分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠BAC＝140°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BAC＝70°，
故选：B．
4．（2分）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（2分）正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，B对应的数分别为﹣1和0，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为1；翻转2次后，点D所对应的数为2：翻转3次后，点A所对应的数为3：翻转4次后，点B所对应的数为4，…，则连续翻转2019次后，数轴上数2019所对应的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【解答】解：∵每4次翻转为一个循环组依次循环，
∴2019÷4＝504…3，
∴翻转2019次后点A在数轴上，点A对应的数是2019﹣3＝2016，数轴上数2019所对应的点是点A．
故选：A．
6．（2分）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．给出下列结论：①第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球；②第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；③第一次摸出的球是红球的概率是；④两次摸出的球都是红球的概率是．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球；故①错误，②正确；
第一次摸出的球是红球的概率是，故③正确；
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有1种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为，故④正确；
其中正确的结论个数为3个，
故选：C．
7．（2分）一元二次方程x2+5x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：∵x2+5x+3＝0，
∴Δ＝52﹣4×1×3＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
8．（2分）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中x表示时间，y表示张强离家的距离．则下列说法错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5千米
B．体育场离文具店1千米
C．张强在文具店逗留了15分钟
D．张强从文具店回家的平均速度是千米/分
【解答】解：观察图象可知：体育场离张强家2.5千米，体育场离文具店1千米，张强从文具店回家的平均速度＝＝千米/分，张强在文具店逗留了20分钟，
故A，B，D正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）在二次根式中，x的取值范围 x≤4 ．
【解答】解：由题意得：4﹣x≥0，
解得：x≤4，
故答案为：x≤4．
10．（2分）估算≈ 3.6 ．（精确到0.1）
【解答】解：因为＜＜，
所以3.6＜＜3.65，
所以≈3.6．
故答案为：3.6．
11．（2分）如果：□+□+△＝14，□+□+△+△+△＝30，那么□＝ 3 ．
【解答】解：设□表示的数为x，△表示的数为y，
由题意列出方程组得：，
②﹣①得：2y＝16，
解得：y＝8，
把y＝8代入①得：x＝3，
则□表示的数为3，
故答案为：3
12．（2分）圆心角为90°，半径为6cm的扇形的弧长是 3π cm（结果保留π）．
【解答】解：扇形的弧长＝＝3π（cm），
故答案为：3π．
13．（2分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6 ．
【解答】解：∵∠A＝∠B＝90°
①若△APD∽△BPC
则＝
∴＝
解得AP＝2.8．
②若△APD∽△BCP
则＝
∴＝
解得AP＝1或6．
∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．
故答案为：2.8或1或6．
14．（2分）抛物线y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，则不等式（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是 x＞2或x＜﹣4 ．
【解答】解：∵y＝（a2+2）x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（5，t）两点，
∴抛物线向左平移3个单位得到y＝（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c，
∴A（﹣1，t），B（5，t）的对应点为（﹣4，t）、（2，t），
∵a2+2＞0，
∴抛物线开口向上，
∴（a2+2）（x+3）2+b（x+3）+c＞t，即（a2+2）（x+3）2+bx＞﹣3b﹣c+t的解集是x＞2或x＜﹣4．
故答案为x＞2或x＜﹣4．
15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系 BE＝（AC﹣CD） ．
【解答】解：在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA），
∴AD＝AB，BE＝ED，∠ABD＝∠ADB，
∴CD＝AC﹣AD，
∵∠ADB＝∠ACB+∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACB+∠DBC，
∵∠ABC＝3∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACB+2∠DBC＝3∠ACB，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴BD＝CD，
∴BE＝（AC﹣CD），
故答案为：BE＝（AC﹣CD）．
16．（2分）在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如表：
交通工具
所需时间（单位：min）
自行车
14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15
公共汽车
10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，15，16，17，17，19
下面有四个推断：
①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短
②骑自行车上学所需的时间比较容易预计
③如果小军想在上学路上花的时间更少，他应该更多地乘坐公共汽车
④如果小军一定要在16min内到达学校，他应该乘坐公共汽车
其中合理的是 ①②③ （填序号）．
【解答】解：骑自行车上学的平均时间＝（14+14+14+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15+15）＝14.8min
乘坐公共汽车上学的平均时间＝（10+10+11+11+11+12+12+12+12+13+15+16+17+17+19）＝13.2min．
∴①②③正确，④错误，
故答案为①②③．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（﹣1）2020﹣﹣（3﹣π）0+|3﹣|+（tan30°）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣3﹣1+3﹣+（）﹣1
＝1﹣3﹣1+3﹣+
＝0．
18．（5分）解不等式组
【解答】解：
解不等式①得：x＜2，
解不等②得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
19．（5分）解方程：1﹣＝．
【解答】解：等式两边同时乘x（x﹣1）得：x2﹣x﹣x2＝2x﹣2，
解得：x＝，
检验，把x＝代入得：x（x﹣1）＝﹣≠0，
则x＝是原方程的根．
20．（5分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣2（a+2）（a﹣2），其中a为方程2x2+4x﹣3＝0的解．
【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣2（a2﹣4）
＝4a2+4a+1﹣2a2+8
＝2a2+4a+9，
∵a为方程2x2+4x﹣3＝0的解，
∴2a2+4a＝3，
∴原式＝3+9＝12．
21．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝ ∠BPC ．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），
∴∠ABP＝∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
22．（6分）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，tan∠AEB＝，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC．
（1）求BE的值；
（2）求sin∠EDC．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在Rt△ABE中，tan∠AEB＝＝，
设AB＝3a（a＞0），则BE＝4a，
∴AE＝＝＝5a＝10，
∴a＝2，
∴AB＝6，BE＝8；
（2）由（1）得：AB＝6，BE＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∴DE＝＝＝2，
∴sin∠EDC＝＝＝．
23．（5分）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数y2＝（k≠0）．
（1）当k＝1时，
①求出两个函数图象的交点坐标；
②根据图象回答：x取何值时，y1＜y2；
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点；
（3）若两个函数图象有两个不同的交点A、B，且AB＝5，求k值．
【解答】解：（1）k＝1时，y1＝x﹣3，y2＝，
①由得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（1，﹣2）或（2，﹣1）；
②图象大致如图：
由图可得：当x＜0或1＜x＜2时，y1＜y2；
（2）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，
∴△≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0总有实数解，
∴两个函数图象总有交点；
（3）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，解得x＝2或x＝k，
∴A（2，﹣k），B（k，﹣2），
∵AB＝5，
∴（2﹣k）2+（﹣k+2）2＝（5）2，
解得k＝﹣3或k＝7．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q，与AC相交于点M，CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠Q＝∠DCQ；
（2）若sin∠Q＝，AP＝4，MC＝6，求PB的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO＝90°，
∴∠DCQ+∠OCB＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠DCQ+∠B＝90°，
∵QP⊥AB，
∴∠B+∠Q＝90°，
∴∠Q＝∠DCQ；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPB＝90°，
∴∠Q+∠B＝90°，
∴∠A＝∠Q，
∵sin∠Q＝，
∴sin∠A＝＝，
∴设PM＝3a，AM＝5a，
∴AP＝＝4a，
∵AP＝4，
∴4a＝4，
∴a＝1，
∴AM＝5，
∴AC＝11，
在Rt△ACB中，sin∠A＝＝，
∴设BC＝3k，AB＝5k，
∴AC＝4k＝11，
∴k＝，
∴AB＝，
∴PB＝AB﹣AP＝．
25．（6分）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 91 ，n＝ 90 ；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 s12＜s22 ．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 甲 种橙子的质量较好，理由为 甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【解答】解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，
将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，
故答案为：91，90；
（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，
故答案为：s12＜s22；
（3）甲品种较好，理由为：①甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高；
②甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
26．（6分）已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以A为顶点作等腰直角△ADE，其中AD＝DE．
（1）如图1，点E在BA的延长线上，连接BD，若∠DBC＝30°，若AB＝6，求BD的值；
（2）将等腰直角△ADE绕点A顺时针旋转至图2，连接BE，CE，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于F，交BE于M，求证：BM＝BE；
（3）如图3，等腰直角△ADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC的中点G，连接BE，N为BE中点，连接AN，当AB＝6且AN最长时，连接NG并延长交AC于点K，请直接写出△ANK的面积．
【解答】解：（1）如图1中，过点B作BT⊥DA交DA的延长线于T．
∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴DT∥BC，
∴∠BAT＝∠ABC＝45°，∠ADB＝∠DBC＝30°，
∵∠T＝90°，AB＝6，
∴BT＝AT＝3，
∴BD＝2BT＝6．
（2）如图2中，延长ED到R，使得DR＝DE，连接AR，BR，延长RB交CF的延长线于J．
∵∠ADE＝90°，
∴AD⊥ER，
∵DR＝DE，
∴AR＝AE，
∵AD＝DR＝DE，
∴∠RAE＝∠BAC＝90°，
∴∠RAB＝∠EAC，
∵AR＝AE．AB＝AC，
∴△RAB≌△EAC（SAS），
∴∠ABR＝∠ACE，
∵∠ABR+∠ABJ＝180°，
∴∠ACJ+∠ABJ＝180°，
∴∠J+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠J＝90°，
∵DF⊥CF，
∴∠DFC＝∠J＝90°，
∴DF∥RJ，
∵DE＝DR，
∴EM＝BM．
（3）如图3﹣1中，取AB的中点Q，连接QN，QG，取QG的中点P，连接PA，PN，CE．
∵∠AEG＝∠ACG＝45°，
∴A，G，E，C四点共圆，
∴∠AEC＝∠AGC＝90°，
∴AE⊥EC，
∵BN＝NE，BG＝GC，BQ＝AQ，
∴NG∥EC，NQ∥AE，
∴QN⊥GN，
∵GA＝GB，AQ＝QB，∠AGB＝90°
∴GQ＝QA＝QB＝3，
∵PQ＝PG＝，
∴NP＝QG＝，PA＝＝，
∵AN≤PA+PN，
∴AN≤+，
∴A，P，N共线时，PA+PN的值最大（如图3﹣2中），最大值为+，过点G作GM⊥AC于M．
∵PN＝PG，
∴∠PNG＝∠PGN，
∵BQ＝QA，BG＝GC，
∴GQ∥AC，
∴∠PGN＝∠AKN，
∴∠ANK＝∠AKN，
∴AN＝AK＝+，
∵∠AGC＝90°，GA＝GC，GM⊥AC，
∴AM＝CM，
∴GM＝AC＝3，
∵PQ＝PG，
∴S△APG＝S△AQP＝×3×＝，
∴AP：AN＝：（+），
∴S△ANG＝•＝+，
∴S△ANK＝S△ANG+S△AGK＝++×（+）×3＝+．
27．（7分）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（Ⅲ）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b，
∵b＝2，
∴c＝4，
∴y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3，
∴抛物线的顶点为（﹣1，3）；
（Ⅱ）∵函数图象的顶点坐标是（m，n），
∴m＝﹣，n＝，
∴n＝，
∴n＝2b﹣m2＝﹣m2﹣4m，
∴n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣4m；
（Ⅲ）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，
对称轴为直线x＝﹣，
当b≤0，c＝2b≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣3≤x≤4时，函数最小值是0，最大值是16，
∴最大值与最小值之差为16；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤﹣＜0，
当﹣3≤x≤4时，函数有最大值，即x＝4时，y＝16+6b，
①当﹣3≤﹣＜0时，函数有最小值﹣+2b：函数最大值为16+6b，
由题意，16+6b+﹣2b＝40，解得b＝4﹣8或b＝﹣4﹣8，
∵﹣3≤﹣＜0，即0＜b≤6，
∴b＝4﹣8；
②当﹣4≤﹣＜﹣3时，函数有最小值9﹣b；函数最大值为16+6b，
由题意，16+6b﹣9+b＝40，解得b＝，
∵6＜b≤8，
∴b＝（舍），
综上所述b＝4﹣8．
28．（7分）如图①，Rt△ABC和Rt△BDE重叠放置在一起，∠ABC＝∠DBE＝90°，且AB＝2BC，BD＝2BE．
（1）观察猜想：
图①中线段AD与CE的数量关系是 AD＝2DE ，位置关系是 AD⊥CE ；
（2）探究证明：
把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，连接AD，CE，判断线段AD与CE的数量关系和位置关系如何，并说明理由；
（3）拓展延伸：
若BC＝，BE＝1，当旋转角α＝∠ACB时，请直接写出线段AD的长度．
【解答】解：（1）∵AB＝2BC，BD＝2BE，
∴＝＝2，
∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△BDE∽△BAC，
∴∠BDE＝∠A，
∴DE∥AC，
∴＝＝2，
∵∠B＝90°，
∴AD⊥CE，
故答案为：AD＝2DE，AD⊥CE；
（2）AD＝2DE，AD⊥CE，
理由：∵把△BDE绕点B顺时针旋转到图②的位置，
∴∠CBE＝∠ABD，
∵AB＝2BC，BD＝2BE．
∴＝＝2，
∴△BCE∽△BAD，
∴＝＝2，∠BEC＝∠BDA，
∴AD＝2CE，
延长CE交AD于H，
∴∠CEB+∠BEH＝180°，
∴∠BEH+∠BDA＝180°，
∴∠DHE+∠DBE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DHE＝90°，
∴CE⊥AD；
（3）如图③，
过D作DG⊥AB于G，
由（2）知，△BCE∽△BAD，
∴，∠CBE＝∠ABD，
∵BC＝，BE＝1，
∴AB＝2，BD＝2，
∴AC＝＝5，
∵∠CBE＝∠ACB＝∠ABD，∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△DGB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BG＝，DG＝，
∴AG＝2﹣＝，
∴AD＝＝＝4．
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