2023年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省佛山市禅城区华英学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达人次．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  代数式有意义时，应满足的条件为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象可得不等式的解集为(    )

A.  B. 或
C. 或 D. 或

6.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连结，则的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，，，，则的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形中，，，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：______．

10.  分式方程的解是          ．

11.  将字母“”，“”按照所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中“”的个数是        ．
 

12.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是______．

13.  如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆与、边分别相切于点、，与边交于点、，连接、，已知，，则图中两部分阴影面积的和为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

14.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：
体重频数分布表

填空：______直接写出结果；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数等于______度；
如果该校九年级有名学生，请估算九年级体重低于千克的学生大约有多少人？

16.  本小题分
如图，已知，，，且、、三点共线，
证明：≌；
证明：．

17.  本小题分
已知．
化简；
若关于的方程有两个相等的实数根，求的值．

18.  本小题分
某工厂计划招聘、两个工种的工人共人，已知、两个工种的工人的月工费分别为元和元．
若工厂每月付、两个工种的总工费为元，那么两个工种的工人各招聘多少人．
若生产需要，要求工种的人数不少于工种人数的倍，那么招聘工种的人数为多少时，可使每月支付的、两个工种的总工资最少．

19.  本小题分
如图，中，，以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点．
试说明是的切线；
若，求．

20.  本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点点在点左边，与轴交于点，直线经过、两点，点是抛物线上一动点．
求抛物线的解析式；
当点在下方运动时，求面积的最大值；
把抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，使顶点落在内部，求直接写出点的取值范围．
 

21.  本小题分
如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．

求线段的长；
求证四边形为菱形；
如图，，分别是线段，上的动点与端点不重合，且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
故选：．
根据两直线平行，内错角相等分别求出、，再根据平角的概念计算即可．
本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关知识点是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有种结果，
所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象，函数和的交点横坐标为，，
当或时，，即，
故选：．
结合图象，数形结合分析判断即可．
本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出长是解题的关键．
在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理求得的长，即可求解．
【解答】
解：，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，连接，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在中，，，
，
的半径为．
故选：．
根据圆周角定理及推论解答即可．
本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
设点坐标为，则点坐标为，
则，，
，
，
，
整理得，解得舍去，，
点坐标为；
，
故选：．
设点坐标为，则点坐标为，根据三角形面积公式得到，根据反比例函数的几何意义得到，由于，列方程即可得到结论．
本题考查了反比例函数的几何意义和矩形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案是：．
根据观察可知公因式是，因此提出即可得出答案．
此题考查的是对公因式的提取．通过观察可以得出公因式，然后就可以解题．观察法是解此类题目常见的办法．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解法，一定要注意解分式方程必须检验．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】
解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解，
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，

第个图中的个数为，
故答案为：．
列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答案．
本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多个是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由作图可得，，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．
由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：以为圆心的半圆与、边分别相切于点、，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
图中两部分阴影面积的和，
故答案为：．
首先可知四边形是正方形，再利用∽，可得的长，从而得出的长，最后根据图中两部分阴影面积的和求解即可．
本题考查了切线的性质，扇形的面积计算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上各性质定理是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式


． 

【解析】

【分析】
根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直接计算即可．
【解答】
解：原式


．
【点评】
本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握知识点，正确计算．  

15.【答案】解：；．
九年级体重低于千克的学生大约有人． 

【解析】

【分析】
本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．各部分扇形圆心角的度数部分占总体的百分比．
根据组的人数及百分比可得总人数，减去其他组人数即可得到的值；
根据组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；
根据体重低于千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于千克的学生数量．
【解答】
解：调查的人数为：人，
；
组所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为：，；
见答案．  

16.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌；
由可知，≌，
，
． 

【解析】先证明，再由证明≌即可；
由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；

关于的方程有两个相等的实数根，

，
，
，
． 

【解析】根据整式的混合运算的法则计算即可；
根据一元二次方程根的判别式求得，代入中即可得到结论．
本题考查了根的判别式，整式的化简，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设工种的工人为人，则工种的工人为人，由题意，得
，
解得：，
．
答：工种的工人招聘了人，工种的工人招聘人；
设工种的工人为人，则工种的工人为人，由题意，得
，
解得：，
为整数，
，，，，，．
招聘工种工人的方案有：
、工种工人人，工种工人人，每月支付的、两个工种的总工资为：元；
、工种工人人，工种工人人，每月支付的、两个工种的总工资为：元；
、工种工人人，工种工人人，每月支付的、两个工种的总工资为：元；

由上可得，每月支付的、两个工种的总工资最少元． 

【解析】设工种的工人为人，则工种的工人为人，根据题意建立方程求出的值就可以求出结论；
设工种的工人为人，则工种的工人为人，根据题意建立不等式组，然后求出其解就可以得出结论．
本题考查了列一元一次方程组解决实际问题的运用及一元一次方程组的解法和列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用．
 

19.【答案】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，点在上，
是的切线；

连接，
是直径，
，
，，
，，
，
在中，． 

【解析】连接，求出，求出，根据切线的判定得出即可；
由可得，；连结，由是直径可知，根据勾股定理求出，解直角三角形求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等，是一道综合题，难度中等．
 

20.【答案】解：对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点，坐标代入抛物线，得：
，
解得，
抛物线的解析式为：；

过点作轴交于点，

设，则，
，
，
当时，的值最大，最大值为；

，
顶点坐标为，
则平移后的顶点坐标为，
令，则，
解得，，
，，

设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
即，
解得：，
当时，，
，
即，
解得：，
综上所述，的取值范围为：． 

【解析】先求出，两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式；
过点作轴交于点，设，则，表示长，进而表示面积求最大值；
平移后的抛物线顶点坐标，然后求得直线的解析式为，顶点落在内部即可求出的取值范围．
本题考查一次函数的应用，二次函数的解析式，平移变换，三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
证明：四边形是矩形，
，
∽，
，
由得：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
在中，，，
，，
，
如图，

当时，
在中，
，
在中，
，
，，
，
如图，

当时，，
，
，
，
，
在中，
，
综上所述：或． 

【解析】在直角三角形中，由勾股定理求出，进而求得，设，则，在直角三角形，根据勾股定理累出关于的方程；
根据得出∽，从而得出，求出；
先求得的正切和正弦值，当时，解直角三角形和直角三角形；当时，解直角三角形和直角三角形．
本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类，考虑全面，充分利用解直角三角形或相似三角形的知识．