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广东省佛山市禅城区2021年中考数学一模试卷 解析版
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这是一份广东省佛山市禅城区2021年中考数学一模试卷 解析版，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
3．（3分）下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
5．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
9．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．15 B．17 C．21 D．27
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣6）÷（﹣）＝ ．
12．（4分）点P的坐标是（1，4），它关于y轴的对称点坐标是 ．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
14．（4分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ ．
15．（4分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
16．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．
三、解答题。（每题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
19．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
20．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
四、解答题（二）（每题8分，共24分）
21．（8分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
22．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
23．（8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．
五、解答题（三）（每题10分，共20分）
24．（10分）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
【实践探究】
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
2．（3分）石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．
故选：A．
3．（3分）下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项计算即可．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，因此选项A不符合题意；
B.3a3•2a2＝6a5，因此选项B不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3ab）2＝9a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据平行线的性质求出∠1，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠1＝∠C＝90°，
故选：C．
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．
故选：B．
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
【分析】由根的判别式△的符号判定．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、△＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；
C、△＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，没有实数根，故C符合题意；
D、△＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第二象限，
∴y2＞y1＞0．
故选：A．
9．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．15 B．17 C．21 D．27
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5＝3+2×1个，
第三个图形有7＝3+2×2个，
…
故第⑩个图形有3+2×9＝21（个），
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据函数的图象和性质逐个求解即可．
【解答】解：①若a+b+c＜0，则4a+2b+c＜0；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故①正确，符合题意；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，则c＝﹣a+b，
由﹣4≤c≤﹣3，得﹣4≤﹣a+b≤﹣3，
图象的对称轴为x＝1，故b＝﹣2a，得﹣4≤﹣3a≤﹣3，
故1≤a≤正确，符合题意；
③y＝ax2+bx+c的顶点为（1，m），即当x＝1时y有最小值m．
而y＝m﹣1和y＝ax2+bx+c无交点，即方程ax2+bx+c＝m﹣1无解，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根，故③正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣6）÷（﹣）＝ 18 ．
【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，依此即可求解．
【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝18．
故答案为：18．
12．（4分）点P的坐标是（1，4），它关于y轴的对称点坐标是 （﹣1，4） ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得答案．
【解答】解：∵点P的坐标是（1，4），
∴它关于y轴的对称点坐标是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
14．（4分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入a+b3中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+1＝0，b＝﹣1；
则a+b3＝（2﹣1）3＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 15.3 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD＝CE＝1.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为：15.3．
16．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 4π﹣4 ．
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积．
【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积＝×4×2＝4π﹣4，
故答案为：4π﹣4
17．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ﹣ ．
【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝OB＝2，
∴CD＝2﹣1，
∴OM＝CD＝﹣，
即OM的最小值为﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题。（每题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
【分析】先按分式的混合运算顺序化简分式，再代入求值．
【解答】解：原式＝1﹣×（a﹣1）
＝1﹣
＝．
当a＝3时，
原式＝．
19．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，证出AE＝CF，∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
20．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
【分析】（1）根据：总人数＝部门人数÷该部门人数占总人数的百分比，总人数＝各个部门人数的和，求出抽样人数和C组人数；
（2）根据中位数的定义，确定成绩在30、31名所在组数，可得结论；
（3）根据：部门人数＝总人数×部门人数所占百分比，计算得结论．
【解答】解：（1）由图知：B组有12人，占抽样人数的20%，A组有6人，D组有18人，
∴本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
（2）∵共抽样60人，由于成绩在A组的6人，在B组的12人，C组24人，
所以成绩位于第30、31的两位同学在C组．
即：所抽取学生成绩的中位数落在C这一组内；
故答案为：C．
（3）1500×＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A组的学生有150人．
四、解答题（二）（每题8分，共24分）
21．（8分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a≤1.8．
答：a的最大值为1.8．
22．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
【分析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得出＝，进一步求出三角形AOM的面积，求出k的值即可；
（2）求出一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N坐标，根据S△AOC＝S△CON+S△AON 计算结果即可．
【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴＝（）2＝，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝，
∵S△AOM＝|k|，k＜0，
∴|k|＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得，，解得，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝6×4+×2×6+×2×2+×4×4＝8．
23．（8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．
【分析】（1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO＝∠PAO＝90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到＝，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD＝2OC，由已知设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示：
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
在△PBO和△PAO中，，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
∵BC＝AC，OB＝OD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD＝2OC，
∵OC：BC＝2：3，
设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．
∵∠OBC+∠PBC＝90°，∠BOC+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝∠PBC，
∵∠OCB＝∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴，即，
∴PC＝t，OP＝t．
∴＝＝，
设EA＝8m，EP＝13m，则PA＝5m．
∵PA＝PB，
∴PB＝5m，
∴sinE＝＝．
五、解答题（三）（每题10分，共20分）
24．（10分）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
【实践探究】
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
【分析】（1）首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC＝AC′即可证明结论．
（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′＝BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′＝90°即可得出结论．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，证明△ACE∽△BCF，由相似三角形的性质得出，求出CE的长，则可求出CC'的长，可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC＝AC′，
∴四边形ACEC′是菱形．
（2）解：当α＝2∠BAC时，四边形BCC′D是矩形．
理由：如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，
由旋转的性质，得AC′＝AC，
∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC＝DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
又∵AE∥BC，∠AEC＝90°，
∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形BCC′D是矩形．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∵BA＝BC，
∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，
在Rt△BCF中，BF＝＝12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，
∴△ACE∽△BCF，
∴，即，
解得CE＝，
∵AC＝AC'，AE⊥CC'，
∴CC'＝2CE＝2×＝，
∴BD＝．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的解析式得到B（9，0），C（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO＝60°，得到PG＝t，AG＝t，于是得到P（t﹣3，t），把OQ＝9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣t2+t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据中点坐标公式得到F（﹣t+3，﹣t2+t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由y＝0得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝9，
∴B（9，0），
由x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝3．OC＝3，
∴tan∠CAO＝，
∴∠CAO＝60°，
∵AP＝t，
∴PG＝t，AG＝t，
∴OG＝3﹣t，
∴P（t﹣3，t），
∵DQ⊥x轴，BQ＝2t，
∴OQ＝9﹣2t，
∴D（9﹣2t，﹣t2+t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），
∴﹣t2+t＝2×t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，∴当PQ＝PD时，t的值是；
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）＝﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）＝﹣t2+t，
∴F（﹣t+3，﹣t2+t），
∵点F在直线BC上，
∴﹣t2+t＝﹣（﹣t+3）+3，
∴t＝3，
∴F（，）．
2021年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
3．（3分）下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
5．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
9．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．15 B．17 C．21 D．27
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣6）÷（﹣）＝ ．
12．（4分）点P的坐标是（1，4），它关于y轴的对称点坐标是 ．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
14．（4分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ ．
15．（4分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
16．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 ．
17．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ．
三、解答题。（每题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
19．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
20．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
四、解答题（二）（每题8分，共24分）
21．（8分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
22．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
23．（8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．
五、解答题（三）（每题10分，共20分）
24．（10分）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
【实践探究】
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：B．
2．（3分）石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034毫米．将0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A．3.4×10﹣7 B．3.4×10﹣8 C．34×10﹣8 D．0.34×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7．
故选：A．
3．（3分）下面是“北”“比”“鼎”“射”四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10 B．3a3•2a2＝6a6
C．a6÷a2＝a3 D．（﹣3ab）2＝9a2b2
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法逐项计算即可．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，因此选项A不符合题意；
B.3a3•2a2＝6a5，因此选项B不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3ab）2＝9a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【分析】根据平行线的性质求出∠1，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠B＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠1＝∠C＝90°，
故选：C．
6．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．
故选：B．
7．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝0 B．x2+2x+1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2﹣5x+2＝0
【分析】由根的判别式△的符号判定．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、△＝22﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根，故B不符合题意；
C、△＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0，没有实数根，故C符合题意；
D、△＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第二象限，
∴y2＞y1＞0．
故选：A．
9．（3分）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（ ）
A．15 B．17 C．21 D．27
【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可．
【解答】解：观察图形知：
第一个图形有3个正方形，
第二个有5＝3+2×1个，
第三个图形有7＝3+2×2个，
…
故第⑩个图形有3+2×9＝21（个），
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①a+b+c＜0；②1≤a≤；③关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据函数的图象和性质逐个求解即可．
【解答】解：①若a+b+c＜0，则4a+2b+c＜0；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故①正确，符合题意；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，则c＝﹣a+b，
由﹣4≤c≤﹣3，得﹣4≤﹣a+b≤﹣3，
图象的对称轴为x＝1，故b＝﹣2a，得﹣4≤﹣3a≤﹣3，
故1≤a≤正确，符合题意；
③y＝ax2+bx+c的顶点为（1，m），即当x＝1时y有最小值m．
而y＝m﹣1和y＝ax2+bx+c无交点，即方程ax2+bx+c＝m﹣1无解，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1﹣m＝0没有实数根，故③正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣6）÷（﹣）＝ 18 ．
【分析】有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，依此即可求解．
【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝18．
故答案为：18．
12．（4分）点P的坐标是（1，4），它关于y轴的对称点坐标是 （﹣1，4） ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得答案．
【解答】解：∵点P的坐标是（1，4），
∴它关于y轴的对称点坐标是（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
13．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
14．（4分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入a+b3中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+1＝0，b＝﹣1；
则a+b3＝（2﹣1）3＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 15.3 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD＝CE＝1.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为：15.3．
16．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是 4π﹣4 ．
【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积．
【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积＝×4×2＝4π﹣4，
故答案为：4π﹣4
17．（4分）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为 ﹣ ．
【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：∵A（2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝OB＝2，
∴CD＝2﹣1，
∴OM＝CD＝﹣，
即OM的最小值为﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题。（每题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值：1﹣÷，其中a＝3．
【分析】先按分式的混合运算顺序化简分式，再代入求值．
【解答】解：原式＝1﹣×（a﹣1）
＝1﹣
＝．
当a＝3时，
原式＝．
19．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF．连接EF，与对角线AC交于点O．
求证：OE＝OF．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，证出AE＝CF，∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AB+BE＝CD+DF，即AE＝CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E＝∠F，∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
20．（6分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A组（60≤x＜70）；B组（70≤x＜80）；C组（80≤x＜90）；D组（90≤x≤100），并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C组的有多少人？并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 C 组内；
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A组的学生有多少人？
【分析】（1）根据：总人数＝部门人数÷该部门人数占总人数的百分比，总人数＝各个部门人数的和，求出抽样人数和C组人数；
（2）根据中位数的定义，确定成绩在30、31名所在组数，可得结论；
（3）根据：部门人数＝总人数×部门人数所占百分比，计算得结论．
【解答】解：（1）由图知：B组有12人，占抽样人数的20%，A组有6人，D组有18人，
∴本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
（2）∵共抽样60人，由于成绩在A组的6人，在B组的12人，C组24人，
所以成绩位于第30、31的两位同学在C组．
即：所抽取学生成绩的中位数落在C这一组内；
故答案为：C．
（3）1500×＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A组的学生有150人．
四、解答题（二）（每题8分，共24分）
21．（8分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a≤1.8．
答：a的最大值为1.8．
22．（8分）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
【分析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得出＝，进一步求出三角形AOM的面积，求出k的值即可；
（2）求出一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N坐标，根据S△AOC＝S△CON+S△AON 计算结果即可．
【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴＝（）2＝，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝，
∵S△AOM＝|k|，k＜0，
∴|k|＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得，，解得，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝6×4+×2×6+×2×2+×4×4＝8．
23．（8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC：BC＝2：3，求sinE的值．
【分析】（1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO＝∠PAO＝90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到＝，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD＝2OC，由已知设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示：
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
在△PBO和△PAO中，，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图2所示：
∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
∵BC＝AC，OB＝OD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴AD＝2OC，
∵OC：BC＝2：3，
设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t．
∵∠OBC+∠PBC＝90°，∠BOC+∠OBC＝90°，
∴∠BOC＝∠PBC，
∵∠OCB＝∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴，即，
∴PC＝t，OP＝t．
∴＝＝，
设EA＝8m，EP＝13m，则PA＝5m．
∵PA＝PB，
∴PB＝5m，
∴sinE＝＝．
五、解答题（三）（每题10分，共20分）
24．（10分）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，求证四边形ACEC′是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，当α与∠BAC满足什么数量关系时，得到如图3所示的四边形BCC′D是矩形，请说明理由；
【实践探究】
（3）缜密小组在创样报小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，求BD的长．
【分析】（1）首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC＝AC′即可证明结论．
（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′＝BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′＝90°即可得出结论．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，证明△ACE∽△BCF，由相似三角形的性质得出，求出CE的长，则可求出CC'的长，可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′＝∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC＝AC′，
∴四边形ACEC′是菱形．
（2）解：当α＝2∠BAC时，四边形BCC′D是矩形．
理由：如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，
由旋转的性质，得AC′＝AC，
∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°，
∵BA＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC＝DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
又∵AE∥BC，∠AEC＝90°，
∴∠BCC′＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形BCC′D是矩形．
（3）过点A作AE⊥CC′于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∵BA＝BC，
∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，
在Rt△BCF中，BF＝＝12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，
∴△ACE∽△BCF，
∴，即，
解得CE＝，
∵AC＝AC'，AE⊥CC'，
∴CC'＝2CE＝2×＝，
∴BD＝．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）
②在点P、Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据函数的解析式得到B（9，0），C（0，3），解方程组即可得到结论；
（2）①过p作PG⊥x轴于G，解直角三角形得到∠CAO＝60°，得到PG＝t，AG＝t，于是得到P（t﹣3，t），把OQ＝9﹣2t代入二次函数的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣t2+t），②过P作PH⊥QD于H，得到四边形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；
（3）根据中点坐标公式得到F（﹣t+3，﹣t2+t），由点F在直线BC上，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由y＝0得﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝9，
∴B（9，0），
由x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）①过P作PG⊥x轴于G，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝3．OC＝3，
∴tan∠CAO＝，
∴∠CAO＝60°，
∵AP＝t，
∴PG＝t，AG＝t，
∴OG＝3﹣t，
∴P（t﹣3，t），
∵DQ⊥x轴，BQ＝2t，
∴OQ＝9﹣2t，
∴D（9﹣2t，﹣t2+t），
②过P作PH⊥QD于H，
则四边形PGQH是矩形，
∴HQ＝PG，∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，∵P（t﹣3，t），D（9﹣2t，﹣t2+t），
∴﹣t2+t＝2×t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，∴当PQ＝PD时，t的值是；
（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：（t﹣3+9﹣2t）＝﹣t+3，F的纵坐标为（t﹣t2+t）＝﹣t2+t，
∴F（﹣t+3，﹣t2+t），
∵点F在直线BC上，
∴﹣t2+t＝﹣（﹣t+3）+3，
∴t＝3，
∴F（，）．
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