2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十三(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题十三

1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+=.

(1)求A;

(2)若BC边上的中线AM=2,高线AH=,求△ABC的面积.

2.已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1-bn）an}的前n项和为2n2+n．

（1）求q的值；

（2）求数列{bn}的通项公式．

3.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．

（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；

（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望．

4.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

5.如图，椭圆C：＋=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，

且|AB|=|BF|.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.

6.已知，且曲线在点处的切线斜率为1．

（1）求实数的值；

（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，，

且，已知，若不等式恒成立，求的范围．

7.如图，请你说出点M的球坐标．

8.选修4-5：不等式选讲

已知a，b，c为正实数，且a3+b3+c3=a2b2c2，求证：a+b+c≥．

0.答案详解

1.解:(1)因为1+=,所以1+=,即=,

因为sin(A+B)=sin C≠0,sin B≠0,

所以cos A=,又因为A∈(0,π),所以A=.

(2)由M是BC中点,得=(+),

即=(++2·),所以c2+b2+bc=32,①

由S=AH·BC=AB·AC·sin A,得bc=a,即bc=2a,②

又根据余弦定理,有a2=b2+c2-bc,③

联立①②③,得()2=32-2bc,解得bc=8.

所以△ABC的面积S=bcsin A=2.

2.解：（1）由是的等差中项得，

所以，解得.

由得，因为，所以.

（2）设，数列前n项和为.

由解得.

由（1）可知，

所以，故，

        .

设，

所以，

因此，又，所以.

3.解：（1）∵甲每天生产的次品数为，∴损失元，

则其生产的正品数为，获得的利润为元，

因而与的函数关系式为，其中，．

（2）同理，对于乙来说，，，．由，得，

∴是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴的可能值为0，1，2，

又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为，

乙1天中生产的次品数不超过1的概率为，

∴，，，

∴随机变量的分布列为

∴．

4.解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

所以||==.

(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，

所以=(1，－1,2)，=(0,1,2)，·=3，||=，||=，

所以cos〈，〉==.

(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M，

=(－1,1，－2)，=，所以·=－＋＋0=0，

所以⊥，即A1B⊥C1M.

5.解：(1)由已知|AB|=|BF|，

得 =a，即4a2＋4b2=5a2,4a2＋4(a2－c2)=5a2，

所以e==.

(2)由(1)知a2=4b2，

所以椭圆C的方程可化为＋=1.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由＋=1，＋=1，可得＋=0，

即＋=0，

即＋(y1－y2)=0，从而kPQ==2，

所以直线l的方程为y－=2，

即2x－y＋2=0.

联立消去y，得17x2＋32x＋16－4b2=0.

则Δ=322＋16×17×(b2－4)>0⇔b>，x1＋x2=－，x1x2=.

因为OP⊥OQ，·=0，即x1x2＋y1y2=0，

x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)=0，

5x1x2＋4(x1＋x2)＋4=0，

从而－＋4=0，解得b=1，

所以椭圆C的方程为＋y2=1.

综上，直线l的方程为2x－y＋2=0，椭圆C的方程为＋y2=1.

6.解:（1），

由题意知，即：，解得．

（2）因为等价于．

由题意可知，分别是方程即的两个根，

即，，

所以原式等价于，

因为，，所以原式等价于．

又由，作差得，，即．

所以原式等价于，

因为，原式恒成立，即恒成立．

令，，则不等式在上恒成立．

令，又，

当时，可见时，，所以在上单调增，

又，在恒成立，符合题意．

当时，可见时，，时，

所以在时单调增，在时单调减，又，

所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以．

7.解：由球坐标的定义，记|OM|=R，OM与z轴正向所夹的角为φ，

设M在Oxy平面上的射影为Q，

Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.

这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．

∴M点的球坐标为：M(R，φ，θ)．

8.证明：