2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题九(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题九

1.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2=ac，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.

2.已知等差数列{an}满足a3=6，前7项和为S7=49.

（1）求{an}的通项公式

（2）设数列{bn}满足bn=(an-3)·3n，求{bn}的前n项和Tn.

3.是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶）．

（1）在这18个数据中随机抽取3个数据，求其中恰有2个数据为空气质量达到一级的概率；

（2）在这18个数据中随机抽取3个数据，用表示其中不超标数据的个数，求的分布列及数学期望；

（3）以这18天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中约有多少天的空气质量为二级．

4.如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)所示.

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

5.已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，

对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

6.已知函数f(x)=xex+a(lnx+x).

（1）若a=-e，求f(x)的单调区间；

（2）当a<0时，记f(x)的最小值为m，求证:m≤1．

7.已知椭圆C：＋=1与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，动点P是椭圆上任一点，求△PAB面积的最大值．

8.已知12<a<60,15<b<36，求a－b和的取值范围.

0.答案详解

1.

2.解：（1）由，得

因为所以

（2）

3.解：（1）概率；

（2）由题意，服从超几何分布：其中，，，

的可能取值为0、1、2、3．由，

得，，

，；

所以的分布列为：

得期望或用公式．

（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率，，

所以一年（按天计算）中约有天的空气质量为二级．

4.解：(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，

所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩DC=D，

所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.

又因为A1C⊥CD，DE∩CD=D，

所以A1C⊥平面BCDE.

(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0).

设平面A1BE的法向量为n=(x，y，z)，则n·=0，n·=0.

又因为=(3,0，－2)，=(－1,2,0)，

所以令y=1，则x=2，z=，所以n=(2,1，).

设CM与平面A1BE所成的角为θ.

因为=(0,1，)，

所以sinθ=|cos〈n，〉|===.

所以CM与平面A1BE所成角的大小为.

(3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3].

设平面A1DP的法向量为m=(x1，y1，z1)，则·m=0，·m=0，

∵=(0,2，－2)，=(p，－2,0)，

∴∴z1=y1，x1=y1.

设y1=6，则m=(3p,6,2)，

∵平面A1DP与平面A1BE垂直，则m·n=0，

∴6p＋6＋6=0，p=－2，∵0≤p≤3，

∴线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直.

5.解：（1）由得点横坐标为，

由抛物线定义及得，，所以，

所以抛物线的方程为．

（2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有，

设，，，

联立，得，

则，，，

由，得

[:.]

，

所以，，，当时不满足题意，所以，

即存在及点，对任意实数，都有．

6.解：（1）当时，，的定义域是，

，

当时，；当时，．

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：由（1）得的定义域是，，

令，则，在上单调递增，

因为，所以，，

故存在，使得．

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

故时，取得最小值，即，

由，得，

令，，则，

当时，，单调递增，

当时，， 单调递减，

故，即时，取最大值1，．

7.解：∵P在椭圆上，可设P(4cos α，3sin α)，

又lAB：＋=1，P到lAB距离

d==≤(＋1)，

∴(S△PAB)max=6(＋1)．

8.解：∵15<b<36，

∴－36<－b<－15.

∴12－36<a－b<60－15.

∴－24<a－b<45.

又<<，

∴<<.∴<<4.

综上，－24<a－b<45，<<4.