2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十一(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题十一

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.

（1）求角A的大小；

（2）已知△ABC外接圆半径,求△ABC的周长.

2.在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，a2，a4，a8成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=2an，Tn=b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

3.某学校依次进行A、B两科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．

（1）求甲恰好3次考试通过的概率；

（2）记甲参加考试的次数为X，求X的分布列和均值．

4.如图1所示，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图2所示.

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.

5.已知直线x＋ky－3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知圆O：x2＋y2=1，直线l：mx＋ny=1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围.

6.已知函数．

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

7.P为椭圆＋=1上的点，求P到直线l：3x－4y－24=0的距离的取值范围．

8.设不等式0<|x＋2|－|1－x|<2的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：∣a+b∣<.

(2)比较|4ab－1|与2|b－a|的大小，并说明理由.

0.答案详解

1.解：

2.解：

(1)设等差数列{an}的公差为d，

则依题意有

解得d=1或d=0(舍去)，∴an=1＋(n－1)=n.

(2)由(1)得an=n，∴bn=2n，

∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴Tn==2n＋1－2.

3.解：（1）甲恰好3次通过考试有两种情况，

第一种情况是第一次A科通过，第二次B科不过，第三次B科通过；

第二种情况是第一次A科没通过，第二次A科通过，第三次B科通过，

．

（2）由题意得、、，；

；

，

则的分布列为：

．

4.解：(1)AB∥平面DEF，理由如下：

在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.

又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，

∴AB∥平面DEF.

(2)以D为原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，

易知平面CDF的法向量为=(0,0,2)，

设平面EDF的法向量为n=(x，y，z)，

则即取n=(3，－，3)，

则cos〈，n〉==，

∴二面角E-DF-C的余弦值为.

(3)存在.证明如下：设P(x，y,0)，则·=y－2=0，

∴y=.又=(x－2，y,0)，=(－x,2－y,0)，

∵∥，∴(x－2)(2－y)=－xy，∴x＋y=2.

把y=代入上式得x=，∴P，∴=，

∴点P在线段BC上.

∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE.

5.解：(1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，

直线x＋ky－3=0所经过的定点是(3,0)，

即点F(3,0).

因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，

所以a＋3=8，a=5，所以b2=52－32=16，

所以椭圆C的方程为＋=1.

(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，

所以＋=1，即n2=16－.

又原点到直线l：mx＋ny=1的距离d==<1，

所以直线l：mx＋ny=1与圆O：x2＋y2=1恒相交.

则l2=4(12－d2)=4，

因为－5≤m≤5，所以≤l≤.

故直线l被圆O所截得的弦长l的取值范围为.

6.解：（1），

（ⅰ）若，

当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

当时，令，则，；

（ⅱ）若， ，恒成立，在上为增函数；

（ⅲ）若，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

（ⅳ）若，，

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当，，为增函数；

综上所述：当，在上为减函数，

在上为增函数；

当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，

在上为减函数，在上为增函数；

当时，在上为增函数，

在上为减函数，在上为增函数．

（2）（ⅰ）当时，，令，，

此时1个零点，不合题意；

（ⅱ）当时，由（1）可知，

在上为减函数，在上为增函数，

因为有两个零点，必有，即，

注意到，

所以，当时，有1个零点；

当时，，

取，则，

所以当时，有1个零点；

所以当时，有2个零点，符合题意；

（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；

（ⅳ）当时，在上为增函数，

在上为减函数，在上为增函数；

，

因为，所以，

此时，最多有1个零点，不合题意；

（ⅴ）当时，在上为增函数，

在上为减函数；在上为增函数，

因为，

此时，最多有1个零点，不合题意；

综上所述，若有两个零点，则的取值范围是．

7.解：设P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，

则P到l的距离为

d===

当cos (θ＋)=－1时，d取最大值为；

当cos (θ＋)=1时，d取最小值为.

所求的取值范围为[，]．

8.解：(1)证明：记f(x)=|x＋2|－|1－x|=

所以由0<2x＋1<2，解得－<x<，所以M=(－，)，

所以∣a+b∣≤|a|＋|b|<＋×=.

(2)由(1)可得a2<，b2<，

所以(4ab－1)2－4(b－a)2=(4a2－1)(4b2－1)>0，

所以|4ab－1|>2|b－a|.