2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题二(含答案详解)

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这是一份2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题二(含答案详解)，共7页。试卷主要包含了997 3等内容，欢迎下载使用。

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，a+c=3,.
⑴求b的最小值;
⑵若a 设数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和．
某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25),该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩;
(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.
附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-3σ 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP=AB=AD=1，
直线PB与CD所成角的大小为．
（1）若Q是BC的中点，求三棱锥D－PQC的体积；
（2）求二面角B－PD－A的余弦值．
已知抛物线上点处的切线方程为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设和为抛物线上的两个动点，其中且，
线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．
设函数f(x)=6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
(1)若函数f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2=1，求实数a的值．
(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
已知圆C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋6cs α，,y＝－2＋6sin α))(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6eq \r(2)=0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
选修45：不等式选讲
已知函数f(x)=|x＋1|＋m|x－1|(m∈R)．
(1)当m=2时，求不等式f(x)＜4的解集；
(2)当m＜0时，f(x)≥2m恒成立，求m的最小值.
\s 0 答案详解
解：⑴由题意
由弦定理得,
得
因为,且,
所以,因为,所以.
所以.当且仅当时取等号.
故b的最小值为1.5.
⑵由正弦定理知,,
由,得,
整理可得,由,所以,
故,所以.
解：（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
解:(1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为：
1-10× (0.010+0.024+0.030+0.016+0.008)=0.12,
该校高三年级数学的平均成绩为
90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08= 112(分).
(2)由于=0.001 3,由正态分布得P(120-3×5故P(X≥135)==0.001 35,即0.001 35×10 000≈14,
所以前13名的成绩全部在135分以上,由频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×0.08=4人,而在[125, 145)的学生有50×(0.12+0.08)=10人,
所以X的取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
X的分布列为
数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.
解：（1）以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．
因为AP=AB=AD=1，所以A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）．
设C（1，y，0），则=（1，0，－1），=（－1，1－y，0）．
因为直线PB与CD所成角大小为，所以，
即，解得y=2或y=0（舍），
所以C（1，2，0），所以BC的长为2．
∴．
（2）设平面PBD的一个法向量为n1=（x，y，z）．
因为=（1，0，－1），=（0，1，－1），
则，即，
令x=1，则y=1，z=1，所以n1=（1，1，1）．
因为平面PAD的一个法向量为n2=（1，0，0），
所以，
所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为．
解：（1）设点，由得，求导，
因为直线的斜率为，所以且，解得，
所以抛物线的方程为．
（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由解得）
（2）设线段中点，则，，
，
∴直线的方程为，
即，过定点．
联立，
得，
，
设到的距离，
，
当且仅当，即时取等号，
的最大值为．
解：f′(x)=18x2＋6(a＋2)x＋2a.
解：
(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6eq \r(2)=0的距离d=eq \f(6\r(2),\r(2))=6，
恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6φ－sin φ，,y＝61－cs φ))(φ为参数)．
解：(1)当m=2时，
f(x)=|x＋1|＋2|x－1|=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3x，x＜－1，,3－x，－1≤x≤1，,3x－1，x＞1.))
由f(x)的单调性及f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)))=f(－1)=4，
得f(x)＜4的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(5,3))))).
(2)由f(x)≥2m，得|x＋1|≥m(2－|x－1|)，
因为m＜0，
所以－eq \f(1,m)|x＋1|≥|x－1|－2，
在同一直角坐标系中画出y=|x－1|－2及y=－eq \f(1,m)|x＋1|的图象，
如图所示，根据图象可得－eq \f(1,m)≥1，所以－1≤m＜0，
故m的最小值为－1.

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