2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题五(含答案详解)

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已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数y=f(x)的最小正周期以及单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f(C)=1，c=2，sinC+sin(B-A)=2sin2A，求△ABC的面积．
已知在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn=an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.
为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.
(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；
(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列及数学期望.
如图，在四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值.
已知椭圆的离心率为，且C过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．
已知函数f(x)=lnx-mx2，g(x)=0.5mx2+x，mϵR,令F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.
由抛物线y2=2x上各点做y轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程(参数形式)．
选修45:不等式选讲:
已知函数f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.
(1)若关于x的不等式f(x)(2)若关于x的不等式f(x) \s 0 答案详解
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即函数最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上： SKIPIF 1 < 0 ．
解：
(1)由题意，得2a2=a1＋a3－1，
即2a1q=a1＋a1q2－1，整理得2q=q2.
又q≠0，解得q=2，所以an=2n－1.
(2)当n=1时，b1=a1=1；
当n≥2时，nbn=an－an－1=2n－2，
即bn=eq \f(2n－2,n)，所以bn=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,\f(2n－2,n)，n≥2.))
解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，
送考2次的有100人，送考3次的有80人，
∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为eq \f(20×1＋100×2＋80×3,200)=2.3.
(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，
另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，
“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，
“这两人送考次数相同”为事件D，
由题意知X的所有可能取值为0,1,2，
P(X=1)=P(A)＋P(B)=eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,100),C\\al(2,200))＋eq \f(C\\al(1,100)C\\al(1,80),C\\al(2,200))=eq \f(100,199)，
P(X=2)=P(C)=eq \f(C\\al(1,20)C\\al(1,80),C\\al(2,200))=eq \f(16,199)，P(X=0)=P(D)=eq \f(C\\al(2,20)＋C\\al(2,100)＋C\\al(2,80),C\\al(2,200))=eq \f(83,199)，
∴X的分布列为
E(X)=0×eq \f(83,199)＋1×eq \f(100,199)＋2×eq \f(16,199)=eq \f(132,199).
解：(1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)．
设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，
且eq \(AS,\s\up6(→))=(x－2，y－2，z)，eq \(BS,\s\up6(→))=(x，y－2，z)，eq \(DS,\s\up6(→))=(x－1，y，z)．
由|eq \(AS,\s\up6(→))|=|eq \(BS,\s\up6(→))|，得eq \r(x－22＋y－22＋z2)=eq \r(x2＋y－22＋z2)，解得x=1.
由|eq \(DS,\s\up6(→))|=1，得y2＋z2=1. ①
由|eq \(BS,\s\up6(→))|=2，得y2＋z2－4y＋1=0. ②
由①②，解得y=eq \f(1,2)，z=eq \f(\r(3),2).
∴Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(AS,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BS,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(DS,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∴eq \(DS,\s\up6(→))·eq \(AS,\s\up6(→))=0，eq \(DS,\s\up6(→))·eq \(BS,\s\up6(→))=0，
∴DS⊥AS，DS⊥BS，
∴SD⊥平面SAB.
(2)设平面SBC的法向量为n=(x1，y1，z1)，
则n⊥eq \(BS,\s\up6(→))，n⊥eq \(CB,\s\up6(→))，∴n·eq \(BS,\s\up6(→))=0，n·eq \(CB,\s\up6(→))=0.
又eq \(BS,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(CB,\s\up6(→))=(0,2,0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－\f(3,2)y1＋\f(\r(3),2)z1＝0,2y1＝0))，取z1=2，得n=(－eq \r(3)，0,2)．
∵eq \(AB,\s\up6(→))=(－2,0,0)，∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉=eq \f(\(AB,\s\up6(→))·n,|\(AB,\s\up6(→))||n|)=eq \f(－2×－\r(3),\r(7)×2)=eq \f(\r(21),7).
故AB与平面SBC所成角的正弦值为eq \f(\r(21),7).
解:（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，
由消去整理得，
直线与椭圆交于两点，
．
设点P，Q的坐标分别为，，
则，，
．
直线，，的斜率成等比数列，
，
整理得，，又，，
结合图形可知，故直线的斜率为定值．
解：

解：∵抛物线的方程为y2=2x，
∴可设抛物线上任一点的坐标为(2t2,2t)，向y轴作垂线，垂足为(0,2t)，
∴它们中点的坐标为(t2,2t)，
∴中点的轨迹方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t2，,y＝2t))(t为参数)，轨迹为一条抛物线．
解:(1)f(x)令H(x)=|x+1|+|x-2|+|x-3|.
则H(x)=
由H(x)图象知,H(x)min=H(2)=4,
所以a>4,即a的取值范围为(4,+∞).
(2)由(1)f(x)则则a=H()=,
若b>3,由3b-4=得b==(不合题),
若2若-1则a+b=-=6.
X
0
1
2
P
eq \f(83,199)
eq \f(100,199)
eq \f(16,199)