2021年高考数学考前30天《大题专练》精选题十四(含答案详解)

2021年高考数学考前30天

《大题专练》精选题十四

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB=2acosA.

(1) 求角A的大小；

(2) 若·=，求△ABC的面积．

2.已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=，Sn为数列{bn}的前n项和，求S100的值．

3.2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立．

（1）求该学生进入省队的概率．

（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望．

4.如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，二面角F­AB­D是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF=AB=BC=2，AD=1.

(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；

(2)求二面角F­CD­A的余弦值.

5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.

6.已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：．

7.已知点M的球坐标为，求它的直角坐标．

8.已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+k|,g(x)=x+4.

(1)当k=-3时,求不等式f(x)≥4的解集;

(2)设k>-1,且当x∈-,时,都有f(x)≤g(x),求k的取值范围.

0.答案详解

1.解：

（1）在△ABC中，由余弦定理及bcosC＋ccosB=2acosA，得

b·＋c·=2a·，

所以a2=b2＋c2－bc，

所以cosA==，

因为A∈(0，π)，所以A=.

(2) 由·=cbcosA=，得bc=2，

所以△ABC的面积为

S=bcsinA=×2sin60°=.

2.解：

(1)设等差数列{an}的公差为d，则an=a1＋(n－1)d.∵a3是a1和a9的等比中项，

∴a=a1a9，即(2＋2d)2=2(2＋8d)，解得d=0(舍)或d=2.∴an=a1＋(n－1)d=2n.

(2)bn===.

∴S100=b1＋b2＋…＋b100

=×

=×

=.

3.解：（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，

则．

∴．

（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2，3，4，5．

，，

．

．

故的分布列为：

．

4.解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，AF⊂平面AFD，BE⊄平面AFD，

∴BE∥平面AFD.

同理可得，BC∥平面AFD.

又BE∩BC=B，∴平面BCE∥平面AFD.

设平面DFC∩平面BCE=l，则l过点C.

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面AFD=DF，

∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.

(2)∵平面ABEF⊥平面ABCD，FA⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

又∠FAB=90°，∴AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD，

∵AD⊂平面ABCD，∴AF⊥AD.∵∠DAB=90°，

∴AD⊥AB.

以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴=(－1,0,2)，=(1,2,0)．

设平面DFC的法向量为n=(x，y，z)，

则⇒，不妨取z=1，则n=(2，－1,1)，

不妨取平面ACD的一个法向量为m=(0,0,1)，

∴cos〈m，n〉===，

由于二面角F­CD­A为锐角，

因此二面角F­CD­A的余弦值为.

5.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,

即x2+4y2=4b2.

因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,

所以椭圆方程为+=1.

(2)设l的方程为y=x+m,

代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,

所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0⇒m2<4.

则|AB|=×=.

点P到直线l的距离d==.

因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.

当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值2.

6.解：（1）由题易知，

当时，，当时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）的定义域为，要证，即证．

由（1）可知在上递减，在上递增，所以．

设，，因为，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，而，所以．

7.解：

∵M的球坐标为(5，，)，

∴r＝5，φ＝，θ＝.

由变换公式

得

故它的直角坐标为(－，－，－)．

8.解:(1)当k=-3时,f(x)=

故不等式f(x)≥4可化为或或

解得x≤0或x≥,所以所求解集为{xx≤0或x≥}.

(2)当x∈[-,)时,由k>-1有3x-1<0,3x+k≥0,

所以f(x)=1+k,

不等式f(x)≤g(x)可变形为1+k≤x+4,

故k≤x+3对x∈[-,)恒成立,即k≤-+3,

解得k≤,而k>-1,故-1<k≤.

所以k的取值范围是(-1,].