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2021年河北省石家庄市中考摸底数学试卷 解析版
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这是一份2021年河北省石家庄市中考摸底数学试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省石家庄市中考数学摸底试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖
C．今天是星期六，明天就是星期一
D．在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球
3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
5．反比例函数y＝的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
10．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
11．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）
12．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝15，则点P的个数为0；
乙：若b＝9，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
14．（2分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
15．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（ ）
A．①较长 B．②较长
C．①②一样长 D．以上皆有可能
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分；18～19小题各有两个空，每空2分）
17．计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°＝ ．
18．（4分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 ．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 ；△CDE面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出OA扫过的面积．
（2）若△A'B'C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 ．
22．（9分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
23．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
24．（10分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．
25．（11分）某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x天之间的关系满足y＝x2﹣4x+100，该商品售价p（元/件）与保存的时间第x天之间满足一次函数关系，其对应数据如下表：
x/天
…
5
7
…
p（元/件）
…
248
267
…
（1）求商品的售价p（元/件）与保存的时间第x天之间的函数关系式；
（2）求保存第几天时，该商品不赚也不亏；
（3）请你帮该公司确定该商品在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润？此时每件商品的售价是多少？
26．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求的长．
（sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
2021年河北省石家庄市中考数学摸底试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖
C．今天是星期六，明天就是星期一
D．在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，不合题意；
B、某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖，是随机事件，不合题意；
C、今天是星期六，明天就是星期一，是不可能事件，符合题意；
D、在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球，是必然事件，不合题意．
故选：C．
3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：根据题意，从上面看原图形可得到在水平面上有一个由两个小正方形和两个小长方形组成的长方形．
故选：B．
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
5．反比例函数y＝的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，1），
∴k＝2×1＝2，故说法A正确；
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；
故选：C．
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解答】解：∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E＝∠FOB＝70°
故选：D．
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：A．
10．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
11．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）
【分析】根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为（2，4），
∴点A1的坐标为（2×2，4×2）或（2×（﹣2），4×（﹣2）），即（4，8）或（﹣4，﹣8），
故选：D．
12．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝15，则点P的个数为0；
乙：若b＝9，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．
【解答】解：∵点P（a，b），
当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，
∵△＝36﹣4×15＜0，
∴点P的个数为0；
当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，
∵△＝36﹣4×9＝0，
∴a有两个相同的值，
∴点P的个数为0；
当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，
∵△＝36﹣4×3＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点P的个数为2；
故甲错，乙对，丙错，
故选：C．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
14．（2分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
15．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（ ）
A．①较长 B．②较长
C．①②一样长 D．以上皆有可能
【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．
【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：
BE+EC+CD+DA；
②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：
BE++DA；
连接OC、OD、OE，如图：
∵AC，BC是⊙O的切线，切点分别为D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴S四边形ODCE＝CD•OD+CE•OE
＝（CD+CE）•r，
∵S扇形DOE＝•r，S四边形ODCE＞S扇形DOE，
∴（CD+CE）•r＞•r，
∴EC+CD＞，
∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，
即①＞②．
故选：A．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据图象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x＝2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x＝4时，得出16a+4b+c＝0，变形为a＝，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤．
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x＝2右侧，即，
∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；
∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，
可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，
则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，
∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，
当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，
当x＝4时，16a+4b+c＝0，
∴a＝，
则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，
﹣2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个．
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分；18～19小题各有两个空，每空2分）
17．计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°＝ 5 ．
【分析】利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的锐角三角函数值分别化简得出答案即可．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+2+3﹣3
＝5．
故答案为：5．
18．（4分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为 P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75分钟 ．
【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故答案为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，3.75分钟．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 2 ；△CDE面积的最大值为 7 ．
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定D（0，﹣3），D（4，0），则AB＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴AB＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，
故答案为：2；7．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 原方程没有化成一般形式 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原方程化为：x2﹣5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出OA扫过的面积．
（2）若△A'B'C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 （1，0） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，利用扇形的面积公式计算即可．
（2）对应点连线的交点，即为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，OA扫过的面积＝＝．
（2）对称中心T的坐标为（1，0）．
22．（9分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是 不可能 事件，“小悦被抽中”是 随机 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，
故答案为：不可能、随机、；
（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，
列表如下：
A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，
所以小惠被抽中的概率为＝．
23．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
【分析】（1）根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；
（2）在Rt△BMC中，CM＝60米，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15（米），
∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
24．（10分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b＝﹣，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
25．（11分）某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x天之间的关系满足y＝x2﹣4x+100，该商品售价p（元/件）与保存的时间第x天之间满足一次函数关系，其对应数据如下表：
x/天
…
5
7
…
p（元/件）
…
248
267
…
（1）求商品的售价p（元/件）与保存的时间第x天之间的函数关系式；
（2）求保存第几天时，该商品不赚也不亏；
（3）请你帮该公司确定该商品在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润？此时每件商品的售价是多少？
【分析】（1）设p＝kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据售价等于成本列出方程并求解即可；
（3）设每件商品所获利润为w元，依题意得w关于x的二次函数，写成顶点式，按照二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）设p＝kx+b，将x＝5，p＝248和x＝7，p＝264分别代入表达式，
得，
解得，
∴p＝8x+208；
（2）依题意，得方程：8x+208＝x2﹣4x+100．
整理方程，得 x2﹣12x﹣108＝0．
解得x1＝18，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：该商品保存第18天时，不赚也不亏；
（3）设每件商品所获利润为w元，
依题意，得：w＝8x+208﹣（x2﹣4x+100）
＝﹣x2+12x+108
＝﹣（x﹣6）2+144，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝6时，w最大＝144，
∴p＝8x+208＝8×6+208＝256（元）．
答：该商品在第6天卖出时，每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价为256元．
26．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求的长．
（sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
【分析】思考：作ON⊥BD，证△ADB∽△NDO得，据此求得ON＝，再根据勾股定理求得NH的长，继而由GH＝2NH可得答案；
探究：（1）过F′作F′Q⊥AD于Q，分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围；
（2）分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解，求出所对圆心角度数即可得出答案．
【解答】解：思考：如图1，过O作ON⊥BD于N，
∴HN＝GN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，
又∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO，
∴△ADB∽△NDO，
∴，
∴ON＝，
连接OH，
∵OH＝3，
∴HN＝，
∴GH＝2HN＝；
探究：（1）如图2，过F′作F′Q⊥AD于Q，
当F′到AD的距离为时，有F′Q＝，
此时，
所以α＝30°，
如图3，当Q落在DA延长线时，
可求得α＝150°，
所以当时，α的取值范围为30°＜α＜150°；
（2）如图4，当半圆O′与AB相切，切点为R，连接O′R，
∴∠O′RA＝90°，
∵，
∴∠O′AR＝49°，
∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°，
∴＝＝；
如图5，当半圆O′与BC相切，切点为R，过点O′作O′P⊥AB于P，连接O′R，
∴∠O′RB＝90°，
易得四边形PBRO′是矩形，
∴O′R＝BP＝3，
∴AP＝3，
∴，
∴∠PO'A＝49°，
∴∠RO'F'＝41°，
∴．
2021年河北省石家庄市中考数学摸底试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖
C．今天是星期六，明天就是星期一
D．在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球
3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
5．反比例函数y＝的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
10．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
11．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）
12．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝15，则点P的个数为0；
乙：若b＝9，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
14．（2分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
15．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（ ）
A．①较长 B．②较长
C．①②一样长 D．以上皆有可能
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分；18～19小题各有两个空，每空2分）
17．计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°＝ ．
18．（4分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 ．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 ；△CDE面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出OA扫过的面积．
（2）若△A'B'C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 ．
22．（9分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
23．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
24．（10分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．
25．（11分）某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x天之间的关系满足y＝x2﹣4x+100，该商品售价p（元/件）与保存的时间第x天之间满足一次函数关系，其对应数据如下表：
x/天
…
5
7
…
p（元/件）
…
248
267
…
（1）求商品的售价p（元/件）与保存的时间第x天之间的函数关系式；
（2）求保存第几天时，该商品不赚也不亏；
（3）请你帮该公司确定该商品在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润？此时每件商品的售价是多少？
26．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求的长．
（sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
2021年河北省石家庄市中考数学摸底试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中9环
B．某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖
C．今天是星期六，明天就是星期一
D．在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分析得出答案．
【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，不合题意；
B、某种彩票中奖率为10%，买10张有1张中奖，是随机事件，不合题意；
C、今天是星期六，明天就是星期一，是不可能事件，符合题意；
D、在只装有10个红球的布袋中摸出1个球，这个球一定是红球，是必然事件，不合题意．
故选：C．
3．由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【解答】解：根据题意，从上面看原图形可得到在水平面上有一个由两个小正方形和两个小长方形组成的长方形．
故选：B．
4．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
5．反比例函数y＝的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，1），
∴k＝2×1＝2，故说法A正确；
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；
故选：C．
6．如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是（ ）
A．众数是9 B．中位数是8.5
C．平均数是9 D．方差是7
【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．
【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；
B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；
C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；
D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2]＝，故本选项错误；
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠E的度数是（ ）
A．40° B．50° C．55° D．70°
【分析】连接FB，得到∠FOB＝140°，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解．
【解答】解：∵∠AOF＝40°，
∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠E＝∠FOB＝70°
故选：D．
8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
【解答】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．
故选：B．
9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.82 B．0.84 C．0.85 D．0.90
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：A．
10．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
11．（2分）在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（2，4），则其对应点A1的坐标是（ ）
A．（4，8） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，2）或（﹣1，﹣2） D．（4，8）或（﹣4，﹣8）
【分析】根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△A1B1C1是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为（2，4），
∴点A1的坐标为（2×2，4×2）或（2×（﹣2），4×（﹣2）），即（4，8）或（﹣4，﹣8），
故选：D．
12．（2分）如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，
甲：若b＝15，则点P的个数为0；
乙：若b＝9，则点P的个数为1；
丙：若b＝3，则点P的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断甲、乙、丙的判断对与错．
【解答】解：∵点P（a，b），
当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，
∵△＝36﹣4×15＜0，
∴点P的个数为0；
当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，
∵△＝36﹣4×9＝0，
∴a有两个相同的值，
∴点P的个数为0；
当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，
∵△＝36﹣4×3＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点P的个数为2；
故甲错，乙对，丙错，
故选：C．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（ ）
A．50° B．70° C．110° D．120°
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故选：D．
14．（2分）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，
∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
15．（2分）如图，A、B两地相距am，它们之间有一半径为r的圆形绿地（r＜），绿地圆心位于AB连线的中点O处，分别过A、B作⊙O的切线相交于C，切点分别为D、E．现规划两条驾车路径：①B→E→C→D→A；②B→E→（沿）→D→A，则下列说法正确的是（ ）
A．①较长 B．②较长
C．①②一样长 D．以上皆有可能
【分析】分别写出①和②的路线组成，只需比较不同的部分，即EC+CD与的大小即可．
【解答】解：如图，①B→E→C→D→A，所走的路程为：
BE+EC+CD+DA；
②B→E→（沿）→D→A，所走的路程为：
BE++DA；
连接OC、OD、OE，如图：
∵AC，BC是⊙O的切线，切点分别为D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴S四边形ODCE＝CD•OD+CE•OE
＝（CD+CE）•r，
∵S扇形DOE＝•r，S四边形ODCE＞S扇形DOE，
∴（CD+CE）•r＞•r，
∴EC+CD＞，
∴BE+EC+CD+DA＞BE++DA，
即①＞②．
故选：A．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（ ）
①abc＞0；
②4a+b＞0；
③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；
④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据图象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x＝2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x＝4时，得出16a+4b+c＝0，变形为a＝，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤．
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x＝2右侧，即，
∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；
∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，
可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，
则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，
∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，
当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，
当x＝4时，16a+4b+c＝0，
∴a＝，
则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，
﹣2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个．
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共11分。17小题3分；18～19小题各有两个空，每空2分）
17．计算：（）﹣1++|﹣2|﹣6sin45°＝ 5 ．
【分析】利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的锐角三角函数值分别化简得出答案即可．
【解答】解：原式＝3+3+2﹣6×
＝3+2+3﹣3
＝5．
故答案为：5．
18．（4分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：min）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到P与t的解析式为 P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9 ；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为 3.75分钟 ．
【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故答案为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，3.75分钟．
19．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 2 ；△CDE面积的最大值为 7 ．
【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定D（0，﹣3），D（4，0），则AB＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MP、NH的长，当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，然后计算出S△NED和S△MED得到S的范围，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直角作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴AB＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝，
∴S△NED＝×5×＝2，S△MED＝×5×＝7，
设△CDE面积为S，
当C点与M点重合时，S最大；C点与N点重合时，S最小，
∴S的范围为2≤S≤7，
∴△CDE面积的最小值为2，△CDE面积的最大值为7，
故答案为：2；7．
三、解答题（本大题有7个小题，共67分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴x＝（第三步）
∴x1＝，x2＝（第四步）
（1）小明解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 原方程没有化成一般形式 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原方程化为：x2﹣5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
故答案为：一，原方程没有化成一般形式；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴x＝
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并求出OA扫过的面积．
（2）若△A'B'C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为 （1，0） ．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可，利用扇形的面积公式计算即可．
（2）对应点连线的交点，即为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，OA扫过的面积＝＝．
（2）对称中心T的坐标为（1，0）．
22．（9分）今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是 不可能 事件，“小悦被抽中”是 随机 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为，
故答案为：不可能、随机、；
（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，
列表如下：
A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，
所以小惠被抽中的概率为＝．
23．（9分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
【分析】（1）根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可．
【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，
∴∠AMC＝∠BMC＝90°，
在Rt△AMC中，CM＝60米，∠ACM＝30°，
tan∠ACM＝，
∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），
答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；
（2）在Rt△BMC中，CM＝60米，∠BCM＝14°，
tan∠BCM＝，
∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15（米），
∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）
答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．
24．（10分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b＝﹣，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
25．（11分）某公司购进一批受环境影响较大的商品，需要在特定的环境中才能保存．已知该商品成本y（元/件）与保存的时间第x天之间的关系满足y＝x2﹣4x+100，该商品售价p（元/件）与保存的时间第x天之间满足一次函数关系，其对应数据如下表：
x/天
…
5
7
…
p（元/件）
…
248
267
…
（1）求商品的售价p（元/件）与保存的时间第x天之间的函数关系式；
（2）求保存第几天时，该商品不赚也不亏；
（3）请你帮该公司确定该商品在哪一天卖出，每件商品能获得最大利润？此时每件商品的售价是多少？
【分析】（1）设p＝kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据售价等于成本列出方程并求解即可；
（3）设每件商品所获利润为w元，依题意得w关于x的二次函数，写成顶点式，按照二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）设p＝kx+b，将x＝5，p＝248和x＝7，p＝264分别代入表达式，
得，
解得，
∴p＝8x+208；
（2）依题意，得方程：8x+208＝x2﹣4x+100．
整理方程，得 x2﹣12x﹣108＝0．
解得x1＝18，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：该商品保存第18天时，不赚也不亏；
（3）设每件商品所获利润为w元，
依题意，得：w＝8x+208﹣（x2﹣4x+100）
＝﹣x2+12x+108
＝﹣（x﹣6）2+144，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝6时，w最大＝144，
∴p＝8x+208＝8×6+208＝256（元）．
答：该商品在第6天卖出时，每件商品能获得最大利润，此时每件商品的售价为256元．
26．（11分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求的长．
（sin49°＝，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
【分析】思考：作ON⊥BD，证△ADB∽△NDO得，据此求得ON＝，再根据勾股定理求得NH的长，继而由GH＝2NH可得答案；
探究：（1）过F′作F′Q⊥AD于Q，分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围；
（2）分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解，求出所对圆心角度数即可得出答案．
【解答】解：思考：如图1，过O作ON⊥BD于N，
∴HN＝GN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，
又∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO，
∴△ADB∽△NDO，
∴，
∴ON＝，
连接OH，
∵OH＝3，
∴HN＝，
∴GH＝2HN＝；
探究：（1）如图2，过F′作F′Q⊥AD于Q，
当F′到AD的距离为时，有F′Q＝，
此时，
所以α＝30°，
如图3，当Q落在DA延长线时，
可求得α＝150°，
所以当时，α的取值范围为30°＜α＜150°；
（2）如图4，当半圆O′与AB相切，切点为R，连接O′R，
∴∠O′RA＝90°，
∵，
∴∠O′AR＝49°，
∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°，
∴＝＝；
如图5，当半圆O′与BC相切，切点为R，过点O′作O′P⊥AB于P，连接O′R，
∴∠O′RB＝90°，
易得四边形PBRO′是矩形，
∴O′R＝BP＝3，
∴AP＝3，
∴，
∴∠PO'A＝49°，
∴∠RO'F'＝41°，
∴．
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