2021年河北省石家庄市中考数学一模试卷

这是一份2021年河北省石家庄市中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算：|﹣|＝（ ）
A．﹣B．﹣5C．5D．
2．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
3．（3分）0.00007用科学记数法表示为a×10n，则（ ）
A．a＝7，n＝﹣5B．a＝7，n＝5C．a＝0.7，n＝﹣4D．a＝0.7，n＝4
4．（3分）如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置，∠ABC＝90°，则超市C在蕾蕾家的（ ）
A．北偏东55°的方向上B．南偏东55°的方向上
C．北偏东65°的方向上D．南偏东65°的方向上
5．（3分）a12可以写成（ ）
A．a6+a6B．a2•a6C．a6•a6D．a12÷a
6．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．﹣＝﹣1C．×＝D．÷＝
8．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体
D．100名考生是样本的容量
9．（3分）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
10．（3分）观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明AB＞AC的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
11．（2分）分式可变形为（ ）
A．B．﹣C．D．
12．（2分）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（ ）
A．m3﹣3m2+2mB．m3﹣2mC．m3+m2﹣2mD．m3+m2﹣m
13．（2分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则该正六边形的边长是（ ）
A．6B．C．D．12
14．（2分）定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．或10C．10D．或
15．（2分）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤4B．5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6D．3≤t≤4或5≤t≤6
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）用代数式表示：x与y的和的．所列代数式为 ．
18．（3分）如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝ °．
19．（6分）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，0），点C（0，6），已知双曲线L1：y＝（x＜0）经过点（﹣1，6），双曲线L2：y＝（x＜0）．
（1）k1的值为 ；
（2）把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”．
①当k2＝﹣12时，L2和坐标轴之间（不含边界）有 个“优点”；
②当﹣12≤k2≤﹣2，则L1和L2之间（不含边界）最多有 个“优点”．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．
（1）沿过原点O且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示﹣3的点与表示 的点重合；
（2）M为数轴上一点，沿过点M且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示﹣3的点与表示1的点重合时，
①点M所表示的数为 ；
②若数轴上的A，B两点也同时重合，且AB＝9，求点A所表示的数．
21．（8分）如图，是一道例题及部分解答过程，其中A、B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果；
（2）求多项式A与B的平方差．
22．（9分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．
23．（9分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN，设BM＝x．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）当时，求MN的长；
（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．
24．（10分）某市在全体居民居家封闭抗击疫情期间，需从甲、乙两家超市紧急调配生鲜食品供应A、B两个小区．已知甲、乙超市现存生鲜食品分别是200kg和300kg，A、B两个小区分别急需生鲜食品240kg和260kg，所需配送费如下表中的数据．设从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg．
（1）甲超市送往B小区的生鲜食品为 kg（用含x的式子表示）；
（2）求当甲、乙两个超市配送费相等时，x的值；
（3）设甲、乙两个超市的总配送费是y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣，）的抛物线y＝﹣+bx+2．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q是抛物线对称轴上一点，当BQ+CQ取得最小值时，求点Q的坐标．
（3）当M（m，0），N（0，n）两点满足：﹣＜m＜0，n＞0，且∠PMN＝90°时，若符合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围．
26．（12分）如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝AB＝10，∠ADG＝60°．射线DM自DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM交于点H，与直线DG交于点F，其中0°＜α＜180°，且α≠90°．
（1）当α＝20°时，的长为 ；
（2）当AF⊥DG时，求旋转角α，并证明射线DM是⊙O的切线；
（3）当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度；
（4）直接写出线段OH的最大值．
2021年河北省石家庄市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算：|﹣|＝（ ）
A．﹣B．﹣5C．5D．
【分析】直接利用绝对值的法则得出答案．
【解答】解：，
故选：D．
2．（3分）如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ ）
A．4条B．3条C．2条D．1条
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，
即与直线a相交的直线至少有3条，
故选：B．
3．（3分）0.00007用科学记数法表示为a×10n，则（ ）
A．a＝7，n＝﹣5B．a＝7，n＝5C．a＝0.7，n＝﹣4D．a＝0.7，n＝4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.00007用科学记数法表示为7×10﹣5．
故选：A．
4．（3分）如图，学校A在蕾蕾家B南偏西25°的方向上，点C表示超市所在的位置，∠ABC＝90°，则超市C在蕾蕾家的（ ）
A．北偏东55°的方向上B．南偏东55°的方向上
C．北偏东65°的方向上D．南偏东65°的方向上
【分析】直接利用方向角的定义得出∠2的度数即可．
【解答】解：如图所示：由题意可得：∠1＝25°，∠ABC＝90°，
则∠2＝65°，
故超市（记作C）在蕾蕾家的南偏东65°的方向上．
故选：D．
5．（3分）a12可以写成（ ）
A．a6+a6B．a2•a6C．a6•a6D．a12÷a
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a6+a6＝2a6，故本选项不合题意；
B、a2•a6＝a8，故本选项不合题意；
C、a6•a6＝a12，故本选项符合题意；
D、a12÷a＝a11，故本选项不合题意；
故选：C．
6．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．+＝B．﹣＝﹣1C．×＝D．÷＝
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；利用二次根式的乘法法则对C进行判断；利用二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项正确；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：C．
8．（3分）要想了解九年级1000名考生的数学成绩，从中抽取了100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这100名考生是总体的一个样本
B．每位考生的数学成绩是个体
C．1000名考生是总体
D．100名考生是样本的容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A、这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故本选项不合题意；
B、每位考生的数学成绩是个体，故本选项符合题意；
C、1000名考生的数学成绩是总体，故本选项不合题意；
D、样本的容量是100，故本选项不合题意．
故选：B．
9．（3分）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质，确定y1，y2的值的大小亦可）．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，
当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．
∵﹣3＞﹣8，
∴y1＞y2．
故选：B．
10．（3分）观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明AB＞AC的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，三边关系，作一条线段等于已知线段判断即可．
【解答】解：如图①中，由作图可知，EB＝EC，
∵EA+EC＞AC，
∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．
如图③中，由作图可知，AT＝AC，
∵点T在线段AB上，
∴AB＞AT，即AB＞AC．
故选：C．
11．（2分）分式可变形为（ ）
A．B．﹣C．D．
【分析】利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：＝﹣．
故选：B．
12．（2分）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（ ）
A．m3﹣3m2+2mB．m3﹣2mC．m3+m2﹣2mD．m3+m2﹣m
【分析】根据三视图确定长方体的尺寸，从而求得体积即可．
【解答】解：观察三视图发现该长方体的长、宽、高分别为m+2、m、m﹣1，
依题意可求出该几何体的体积为（m+2）•m•（m﹣1）＝m3+m2﹣2m．
故选：C．
13．（2分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，扇形AOE的面积是12π，则该正六边形的边长是（ ）
A．6B．C．D．12
【分析】先求出中心角∠AOF＝60°，证得△OAF是等边三角形，得到AF＝R，根据扇形的面积求出圆的半径，即可得到正六边形的边长．
【解答】解：连接OF，
设⊙O的半径为R，
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴∠AOF＝∠EOF＝＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴AF＝OA＝R，
∵扇形AOE的面积是12π，
∴＝12π，
∴R2＝36，
∴AF＝R＝6，
∴正六边形的边长是6，
故选：A．
14．（2分）定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．或10C．10D．或
【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．
【解答】解：若5＞x，即x＜5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（5﹣x）得：
5＝2（5﹣x），
解得：x＝，
经检验：x＝是原方程的解，
且＜5，
即x＝符合题意，
若5＜x，即x＞5时，
原方程可整理得：
＝2，
方程两边同时乘以（x﹣5）得：
x＝2（x﹣5），
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原方程的解，
且10＞5，
即x＝10符合题意，
故选：B．
15．（2分）将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，MN，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD为正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确
【分析】先设AB＝BC＝CD＝AD＝x，接着求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若四边形PQMN为正方形根据边的关系可以求出AB＝BC＝CD＝AD，且四个角都是直角即可证明乙是否正确．
【解答】解：若ABCD是正方形，可设AB＝BC＝CD＝AD＝x，
∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，
∴PQ2＝AQ2+AP2，
即PQ＝＝＝，
x取值不同则PQ的长度不同，
∴甲不正确，
若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（ASA），
∴QD＝AP，
同理QD＝AP＝MC＝BN，
又∵BP＝MD＝AQ，
∴QD﹣AD＝PA﹣AB，
∴AB＝CD，
同理AB＝CD＝AD＝BC，
∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，
则四边形ABCD为正方形，
∴乙正确，
故选：B．
16．（2分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（ ）
A．3≤t≤4B．5≤t≤6
C．3≤t≤4，t＝6D．3≤t≤4或5≤t≤6
【分析】把A、B的坐标分别代入抛物线解析式得到关于t的方程，解方程求得t的值，即可得到符合题意的t的取值范围．
【解答】解：把A（4，2）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得2＝（4﹣t）2+t，
解得t＝3或t＝6；
把B（4，4）代入y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0）得4＝（4﹣t）2+t，
解得t＝4或t＝5；
∴当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是3≤t≤4或5≤t≤6，
故选：D．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）
17．（3分）用代数式表示：x与y的和的．所列代数式为 ．
【分析】根据加减运算法则，即可求解．
【解答】解：x与y的和为x+y，
和的即，
故答案是：．
18．（3分）如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝ 140 °．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠BAE＝70°，求出∠ABE＝40°，连接AE，EF，DF，由三角形外心的性质求出∠EBF＝∠FCB＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：∵∠DAE＝40°，AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE＝70°，
∴∠ABE＝40°，
连接AE，EF，DF，
∵点F为△ADE的外心，
∴AF＝EF，AF＝DF，
∴点F在AE的垂直平分线上，
同理点B在AE的垂直平分线上，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠EBF＝∠ABE＝20°，
同理∠FCB＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
故答案为：140．
19．（6分）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，0），点C（0，6），已知双曲线L1：y＝（x＜0）经过点（﹣1，6），双曲线L2：y＝（x＜0）．
（1）k1的值为 ﹣6 ；
（2）把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“优点”．
①当k2＝﹣12时，L2和坐标轴之间（不含边界）有 15 个“优点”；
②当﹣12≤k2≤﹣2，则L1和L2之间（不含边界）最多有 6 个“优点”．
【分析】（1）（﹣1，6）代入L1即可；
（2）①L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象；
②画出y＝﹣和y＝﹣的图象．
【解答】解：（1）∵y＝（x＜0）经过点（﹣1，6），
∴k1＝﹣6，
故答案为：﹣6，
（2）①当k2＝﹣12时，y＝﹣经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3），
如图，画出L2的图象，
由图可知：L2和坐标轴之间（不含边界）有15个优点，
故答案为：15．
②当﹣12≤k2≤﹣2时，在①中继续画出y＝﹣的图象，
由图象可知：L1与y＝﹣之间有4个优点（不含边界），
L1与y＝﹣之间有6个优点（不含边界），
∴则L1和L2之间（不含边界）最多有6个优点．
故答案为：6．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）如图，已知在一张纸条上画有一条数轴．
（1）沿过原点O且垂直于数轴的直线折叠纸条，则表示﹣3的点与表示 3 的点重合；
（2）M为数轴上一点，沿过点M且垂直于数轴的直线折叠纸条，当表示﹣3的点与表示1的点重合时，
①点M所表示的数为 ﹣1 ；
②若数轴上的A，B两点也同时重合，且AB＝9，求点A所表示的数．
【分析】（1）因为沿过原点O且垂直于数轴的直线折叠纸条，所以重合的点位于原点的两侧，到原点的距离相等，它们互为相反数；
（2）①当表示﹣3的点与表示1的点重合时，对称中心在表示﹣3与1的点的中点；②由于没有说明A点在B点的左侧还是右侧，所以需要分类讨论．
【解答】解：（1）∵沿过原点O且垂直于数轴的直线折叠纸条，
∴表示﹣3的点与表示3的点重合．
故答案为：3．
（2）①∵表示﹣3的点与表示1的点重合，
∴点M表示的数是，
故答案为：﹣1．
②∵AB＝9，点M表示的数是﹣1，
∴或．
∴A点表示的数为3.5或﹣5.5．
21．（8分）如图，是一道例题及部分解答过程，其中A、B是两个关于x，y的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）直接写出多项式A和B，并求出该例题的运算结果；
（2）求多项式A与B的平方差．
【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得A和B，然后合并同类项可得答案；
（2）直接根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）A＝2x﹣3y，B＝2x+3y，
原式＝4x﹣6y﹣6x﹣9y＝﹣2x﹣15y．
（2）A2﹣B2＝（2x﹣3y）2﹣（2x+3y）2＝（2x﹣3y+2x+3y）（2x﹣3y﹣2x﹣3y）＝4x⋅（﹣6y）＝﹣24xy．
22．（9分）某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
已知甲组的平均成绩为8.7分．
甲组成绩统计表：
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 3 ，甲组成绩的中位数是 8.5 ，乙组成绩的众数是 8 ；
（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
S甲2＝＝0.81．
（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．
【分析】（1）用总人数减去其他成绩的人数，求出m，再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的中位数和乙组成绩的众数；
（2）先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案；
（3）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率．
【解答】解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），
把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是＝8.5（分），
乙组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，
则乙组成绩的众数是8分．
故答案为：3，8.5，8；
（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），
乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵S乙2＝＜S甲2，
∴乙组的成绩更加稳定．
（3）列表如下：
∵一共有20种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有6种等可能的结果，
∴P（选中的两人都是男生）＝＝．
23．（9分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN，设BM＝x．
（1）求证：△ABM≌△ADN；
（2）当时，求MN的长；
（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，推导出△MDN是直角三角形，利用勾股定理求得MN的长度；
（3）正确，抓住全等特征分析出AM⊥BD，得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，
由旋转的性质知：AM＝AN，
∵∠BAD＝∠MAN＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS）．
解：（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，且AB＝6，
∴，∠ADB＝45°，
∴，
由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，
∴∠MDN＝∠ADB+∠AND＝45°+45°＝90°，
在Rt△MDN中，．
（3）正确；．
理由如下：
如图：当AM⊥BD，易得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，
∴∠NDA＝∠ABM＝45°，AN＝AM，
∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠NDM＝90°，
∵∠NAM＝∠AMD＝∠∠NDM＝90°，
∴四边形AMDN为矩形，
又∵AN＝AM，
∴矩形AMDN为正方形，
∴△NMD≌△DAN（SAS），
∴△NMD≌△ABM（全等传递性），
此时AM＝＝＝3．
当△ABM与△MND全等时x＝3．
24．（10分）某市在全体居民居家封闭抗击疫情期间，需从甲、乙两家超市紧急调配生鲜食品供应A、B两个小区．已知甲、乙超市现存生鲜食品分别是200kg和300kg，A、B两个小区分别急需生鲜食品240kg和260kg，所需配送费如下表中的数据．设从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg．
（1）甲超市送往B小区的生鲜食品为 （x﹣40） kg（用含x的式子表示）；
（2）求当甲、乙两个超市配送费相等时，x的值；
（3）设甲、乙两个超市的总配送费是y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg，A小区急需生鲜食品240kg，可得甲运往A小区的生鲜食品是（240﹣x）kg，则甲运往小区的生鲜食品是[200﹣（240﹣x）]kg；
（2）分别用x的代数式表示甲、乙两个超市的配送费，列方程即可得x的值；
（3）分别用x的代数式表示甲、乙两个超市的配送费，可列出y与x的函数关系式，由配送的生鲜食品质量为非负数即可得自变量范围．
【解答】解：（1）∵从乙超市送往A小区的生鲜食品为xkg，A小区急需生鲜食品240kg，
∴甲运往A小区的生鲜食品是（240﹣x）kg，
而甲超市现存生鲜食品分别是200kg，
∴甲运往小区的生鲜食品是[200﹣（240﹣x）]＝（x﹣40）kg，
故答案为：（x﹣40）；
（2）当甲、乙两个超市配送费相等时，列方程得：
0.2（240﹣x）+0.25（x﹣40）＝0.15x+0.18（300﹣x），
解得x＝200，
答：当甲、乙两个超市配送费相等时，x的值是200；
（3）由题意得，y＝0.2（240﹣x）+0.25（x﹣40）+0.15x+0.18（300﹣x），
化简得y＝0.02x+92，
自变量x的取值范围是40≤x≤240．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点P（﹣，）的抛物线y＝﹣+bx+2．分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点Q是抛物线对称轴上一点，当BQ+CQ取得最小值时，求点Q的坐标．
（3）当M（m，0），N（0，n）两点满足：﹣＜m＜0，n＞0，且∠PMN＝90°时，若符合条件的M点的个数有2个，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）求出抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点A，B两点的坐标，根据对称性可得A，B两点关于对称轴l对称，连接AC，交对称轴l于点Q，连接BQ，此时BQ+CQ取得最小值，求出直线AC的函数表达式即可得点Q的坐标；
（3）分别求出PM2、MN2、PN2，∠PMN＝90°时，根据勾股定理可得PM2+MN2＝PN2，化简可得关于m的一元二次方程，由符合条件的M点的个数有2个可得△＞0，解不等式结合已知条件n＞0即可求解．
【解答】解：（1）∵点P（﹣，）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴＝﹣×（﹣）2﹣b+2，解得：b＝﹣．
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴l为x＝﹣1．
由﹣x2﹣x+2＝0，得x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
∵A，B两点关于对称轴l对称，
∴连接AC，交对称轴l于点Q，连接BQ，
此时BQ+CQ取得最小值，即为AC的长．
设直线AC的函数表达式为y＝kx+c，
∴，解得．
∴y＝x+2，
当x＝﹣1时，y＝，
∴点Q的坐标为（﹣1，）；
（3）（3）∵M（m，0），N（0，n），P（﹣，），
∴PM2＝（）2+（m+）2，PN2＝（）2+（n﹣）2，MN2＝m2+n2，
∵∠PMN＝90°，
∴PM2+MN2＝PN2，
∴（）2+（m+）2+m2+n2＝（）2+（n﹣）2，
整理得：2m2+5m+n＝0，
∵符合条件的M点的个数有2个，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＝25﹣4×1×n＞0，解得：n＜，
∵n＞0，
∴n的取值范围为0＜n＜．
26．（12分）如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝AB＝10，∠ADG＝60°．射线DM自DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM交于点H，与直线DG交于点F，其中0°＜α＜180°，且α≠90°．
（1）当α＝20°时，的长为 ；
（2）当AF⊥DG时，求旋转角α，并证明射线DM是⊙O的切线；
（3）当tan∠BAC＝时，求线段HF的长度；
（4）直接写出线段OH的最大值．
【分析】（1）根据圆的性质及弧长公式可得答案；
（2）①当AF⊥DG时，∠AFD＝90°，根据圆周角定理可得答案；②过点O作OQ⊥DM于点Q（如图2），根据特殊直角三角形的性质及切线的判定可得结论；
（3）情况1：当点H在AD右侧时：过点F作FT⊥AD于点T（如图2），设TD＝t，根据三角函数及勾股定理可得AF、DF的长，再由相似三角形的判定与性质可得答案；当点H在AD左侧时：过点F作FK⊥AD的延长线于点K（如图3），设DK＝t，由∠FDK＝∠ADG＝60°，同理可得，AK＝5t，由勾股定理可得答案；
（4）当点H在AD右侧时，∠AHD＝120°，当点H在AD左侧时，∠AHD＝60°，所以，点H在以AD为弦，圆心角为120°的⊙E上运动，当O、E、H点三点共线，且点E在线段OH上时，OH最大，此时，，OE＝10，所以可得OH最大值．
【解答】（1）∵α＝20°，∠BOC＝2α，
∴∠BOC＝40°，r＝AB＝10，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）①解：当AF⊥DG时，∠AFD＝90°，
∵∠ADG＝60°，∴∠BAC＝30°，
∵∠BOC＝2∠BAC，即2α＝2×30°，
∴α＝30°．
②证明：过点O作OQ⊥DM于点Q（如图2），
∵∠ADM＝∠ADG﹣α＝60°﹣30°＝30°，
∴，
∵，
∴OQ＝OB，
∴DM是⊙O的切线．
（3）情况1：当点H在AD右侧时：
过点F作FT⊥AD于点T（如图2），
设TD＝t，由∠ADG＝60°可得，，
又∵，即，
∴AT＝5t．
∴AD＝AT+TD＝5t+t＝30，
∴t＝5，
∴，DF＝2TD＝2t＝10，
又∠DHF＝∠ADM+∠BAC＝（60°﹣α）+α＝60°＝∠ADF，
∴△DHF～△ADF，
∴DF2＝AF⋅HF，
即，
∴．
情况2：当点H在AD左侧时：
过点F作FK⊥AD的延长线于点K（如图3），
设DK＝t，由∠FDK＝∠ADG＝60°，
同理可得，AK＝5t，
∴AD＝AK﹣DK＝5t﹣t＝30，
∴．
类比情况1，
得，DF＝15，
又DF2＝AF⋅HF，
即，
∴．
（4）．
（提示：当点H在AD右侧时，∠AHD＝120°，当点H在AD左侧时，∠AHD＝60°，所以，点H在以AD为弦，圆心角为120°的⊙E上运动，当O、E、H点三点共线，且点E在线段OH上时，OH最大，此时，，OE＝10，所以：OH最大值为．）
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
配送费（元/kg）
A小区
B小区
甲超市
0.2
0.25
乙超市
0.15
0.18
成绩
7
8
9
10
人数
1
9
5
5
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男1男2
男1男3
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2男3
男2女1
男2女2
男3
男3男1
男3男2
男3女1
男3女2
女1
女1男1
女1男2
女1男3
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2男3
女2女1
配送费（元/kg）
A小区
B小区
甲超市
0.2
0.25
乙超市
0.15
0.18