2021年高考艺术生数学基础复习 考点37 利用导数求单调性（教师版含解析）

考点37  利用导数求单调性

一．函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，

(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；

(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则

二．已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立；

(2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立；

(3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解；

(4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解．

考向一  求单调区间(无参)

【例1-1】(2020·江苏)函数的单调增区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得，

由得，解得，

因此函数的单调增区间是.

故选：C.

【例1-2】(2021·湖北高二开学考试)函数的单调递减区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

当时，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.

【举一反三】

1．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　　　 B.

C．(－∞，－1)   D.

【答案】B

【解析】由y＝4x2＋，得y′＝8x－，

令y′>0，即8x－>0，解得x>，

∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.

故选B.

2．(2021·全国课时练习)函数的单调递增区间为(    )

A． B．

C．和 D．和

【答案】B

【解析】函数的定义域为，且.

由，可得，解得.

所以，函数的单调递增区间为.

故选：B.

3．(2021·江苏常州市·)设函数，若函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，则函数的增区间为(    )

A．(0，1) B．(0，) C．(，) D．(，1)

【答案】C

【解析】的定义域为，

∵函数的图象在点(1，)处的切线方程为y=x，

∴解得：

∴

欲求的增区间

只需，解得：

即函数的增区间为(，)

故选：C

考向二 已知单调性求参数

【例2-1】(2020·河南新乡市·高三一模(理))已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为的定义域为，，

由，得，解得，所以的递增区间为．

由于在区间上单调递增，则，

所以，解得.

因此，实数的取值范围是．

故选：A.

【例2-2】(2021·陕西西安市·长安一中)若函数在上为减函数，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因为在的最大值为，所以.故选：A.

【例2-3】．(2020·江西省修水县英才高级中学高三月考(文))若函数存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，

由题意可得存在，使得，

即存在，使得，等价于，由对勾函数性质易得，

故选B.

【举一反三】

1．(2020·安徽高三月考(文))设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数在上单调递减，

当时，

，

在时恒成立，

即，，

又在单调递减，

故，

故．

故选：B．

2．(2020·安徽高三月考(文))若函数在上是减函数，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，

∵，∴，

故选：A.

3．(2021·山东高三专题练习)函数是上的单调函数，则的范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立

，解得

故选：D

4．(2021·南昌市新建一中高二期末(理))已知函数，若函数在上单调递减，则a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，因为函数在上单调递减，

所以，即，

令，由于在都是增函数，

所以在单调递增，所以，

所以，又，解得.

故选：D.

考向三 单调性的应用

【例3-1】(2021·河南高三期末(文))已知函数，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，是偶函数，

，设，则，

所以是增函数，时，，即时，，

所以在上，是增函数．

又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或．

故选：A．

【例3-2】(2021·湖北开学考试)已知且，且，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设，则，

令，解得，令，解得，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，即，

因为，所以，

因为，，

所以，，，

结合函数的单调性易知，即，

因为，所以，，

故选：A.

【举一反三】

1．(2021·江苏启东市·高三期末)已知，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，

，

时，，则在上递减，

时，，则在上递增，

由可得，

化为

∴，则，

同理，；，，

因为，所以，

可得，

因为在上递减，，

∴，

故选：C．

考向四 图像问题

【例4】(2021·广西百色市=)的导函数的图象如下图所示，则函数的图象最有可能是图中的(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由的图象可知：

当时，，

当时，，

所以在和单调递减，在单调递增，

可排除B、C、D．

故选：A．

【举一反三】

1．(2021·陕西咸阳市)已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由导函数得图象可得：时，，所以在单调递减，

排除选项A、B，

当时，先正后负，所以在先增后减，

因选项C是先减后增再减，故排除选项C，

故选：D.

2．(2021·江苏南通市)己知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则的图象是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】函数的图象可知在上，，逐渐变大，

故函数单调递增，增加速度越来越快；

在上，，逐渐变小，

故函数单调递增，增加速度越来越慢；

在上，，逐渐变小，函数单调递减，递减速度越来越快；

在上，，逐渐变大，函数单调递减，递减速度越来越慢；

故选：A.

3．(2021·天津河东区)若函数图象如图所示，则图象可能是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图象可得：在上，在上，

根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D，

且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B，

故选：C

1．(2020·重庆市凤鸣山中学高三月考)函数的一个单调递减区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，该函数的定义域为，

，

，可得，

令，可得，即，解得.

所以，函数的单调递减区间为.

当时，函数的一个单调递减区间为，

，

对任意的，，，，

故函数的一个单调递减区间为.

故选：A.

2．(2021·石嘴山市第三中学高三月考(理))若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递减区间为(    )

A． B．，(-1，0)

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以切线的斜率，

又曲线在点处的切线过点，

所以，所以，解得，

所以,,

由得且，

所以函数的单调递减区间为，.

故选：D

3．(2020·江苏淮安市·高三期中)若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为(    )

A． B．和

C． D．

【答案】B

【解析】因为为幂函数，且过点，所以设，所以，所以，所以，

所以，则，

当或时，；当时，，

所以的递减区间为和，

故选：B.

4．(2021·全国课时练习)若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，

函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

5．(2020·浙江高三月考)已知函数的单调递增区间是，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可得，则的解集为，即，，可得，∴，

故选:C．

6．(2020·盂县第三中学校高三月考(理))已知函数在上单调增函数，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，

又因为在上是单调增函数，

只需在上恒成立，

又在上单调递增，

所以

故的取值范围为，

故选：D

7．(2021·全国高二课时练习)已知函数的单调递减区间为，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题得的解集为，

所以不等式的解集为，

所以

故选：B

8．(2021·全国高三开学考试(文))“”是“函数在上单调递增”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若在上单调递增，则对任意的恒成立，

∴有对任意的恒成立，即，而当且仅当时等号成立，则.

∴“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A．

9．(2021·江西赣州市)已知函数，若在R上为增函数，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】在R上为增函数，故在R上恒成立，即恒成立，

而，故.

故选：D.

10．(2021·全国课时练习)导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(    )

A．B．
C． D．

【答案】D

【解析】由图可知当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，D选项符合.

故选：D.

11．(2021·山东滨州市·)若定义在上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为(    )．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由图像可知：在(-3，-1)，(1，+∞)为正，在(-∞，-3)，(-1,1)为负.

可化为:或

解得:-2<x<-1或x>1或x<-3

故不等式的解集为：.

故选：A

12．(2021·陕西西安市·长安一中)已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是(    )

A．函数在上单调递减 B．函数在处取得极大值

C．函数在上单调递减 D．函数共有个极值点

【答案】C

【解析】

对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，故错误；

对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，在上单调递增，所以不是的极值点，故错误；

对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递减，故正确；

对于选项，由导函数的图象得函数共有个极值点，是极小值点，是极大值点，故错误.

故选：C.

13．(2021·西安市第八十三中学)函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，求函数的单调减区间，

根据图象，解集为，故选：A．

14(多选)．(2020·江苏盐城市·高三期中)函数单调递增的必要不充分条件有(    )

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由函数在区间单调递增，

则在区间恒成立，

即在区间恒成立，

①当时，，不满足题意；

②当时，，

又，

即，不满足题意；

③当时，，

又， 在区间恒成立，

则，

综上：函数单调递增的充要条件为，

故选：AC.

15．(2021·全国课时练习)若函数的单调递减区间为，则_________．

【答案】

【解析】由题意，所以的两根为和3，

所以，所以，

．

故答案为：．

16．(2020·广西桂林市·逸仙中学)函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由在上单调递增可知，即

设，则，即，解得

综上所述，

故答案为：

17．(2021·西安市第八十三中学)若函数在区间(-1，1)上存在减区间，则实数的取值范围是________ .

【答案】

【解析】，则，

函数在区间(-1，1)上存在减区间，

只需在区间上有解，，

记，对称轴，开口向下，

只需，

所以，解得，

故答案为：

18．(2021·全国课时练习)已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.

【答案】和

【解析】由y＝f ′(x)的图象可得当和时，，此时单调递增，

所以函数f (x)的单调递增区间是和.

故答案为：和.