2021年高考艺术生数学基础复习 考点29 单调性与奇偶性（教师版含解析）

考点29  单调性与奇偶性

一．单调性

（一）增函数、减函数的定义

1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

数学符号：：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数

2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

（二）判断单调性的方法

1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

4.性质法：

(三)复合函数的单调性

y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”

二．单调性的应用

(一)最值

1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

(二)解不等式

(三)比较大小

三．函数的奇偶性

(一)奇函数、偶函数定义

1.奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。

          奇函数的图像关于原点对称

2.偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

          偶函数的图像关于y轴对称

(二)注意事项

1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件

2.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

3.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

四．判断函数奇偶性的3种常用方法

1.定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．

2.图象法：

3.性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

考向一 无参数函数的单调性

【例1】(1)函数的单调递减区间为         

(2)(2020·荆州市沙市第四中学)函数的单调减区间为______.

(3)(2021·北京市)函数的单调递增区间是_____．

(4)(2020·甘肃省民乐县第一中学)已知函数，则单调递增区间是       

(5)(2021·重庆北碚区·西南大学附中)函数的单调递增区间是      

【答案】(1)(2)、(3)(4)(5)

【解析】(1)函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，

二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 ．

(2)由知，即的定义域为，作出的图像如图所示：

由图可知： 的单调递减区间为和.故答案为：、.

(3)因为，所以，令，解得，即函数的单调递增区间为.

(4)函数的定义域为R，

因为，所以函数是奇函数；

又，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；

又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.

(5)对于函数，，解得或，

所以，函数的定义域为.

内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.

故选：D.

【举一反三】

1．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A. y＝1    B. y＝－ ＋2    C. y＝－x2－2x－1    D. y＝1＋x2

【答案】B

【解析】y=1 在区间(－∞,0)上不增不减; y=－+2在区间(－∞,0)上单调递增; y=－x2－2x－1在区间(－∞,0)上有增有减; y=1+x2在区间(－∞,0)上单调递减;所以选B.

2．(2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校)函数的单调区间为__________.

【答案】减区间为

【解析】的定义域是，是增函数，在和上都是减函数，∴的单调减区间是和．故答案为：减区间和．

3．(2021·邗江区赤岸中学)函数的单调减区间为______.

【答案】

【解析】当时，由二次函数图象可知，此时函数在上单调递减

当时，由二次函数图象可知，此时函数单调递增

综上所述，的单调减区间为本题正确结果：

4.(2021·黑龙江高考模拟)函数的单调减区间为      

【答案】

【解析】函数,所以 或，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为。

5．(2020·江苏)函数的单调增区间为___________.

【答案】

【解析】由得，函数的定义域是R，

设，则在上是减函数，在上是增函数，

∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是故答案为：

6．(2020·四川达州市)函数的单调递增区间是      

【解析】由可得，解得：或，

所以函数的定义域为，

因为是由和复合而成，

因为在定义域内单调递增，

对称轴为，开口向上，

所以在单调递减，在单调递增，

根据复合函数同增异减可得：

在单调递减，在单调递增，

所以函数的单调递增区间是，

考向二 含参函数的单调性

【例2】(1)(2020·云南省镇雄县第四中学)若函数在上单减，则k的取值范围为__________.

(2)(2020·陕西西安市·西安一中)如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是       

(3)(2020·江苏课时练习)若f(x)＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.

(4)(2020·全国)函数在上为减函数，则的取值范围是   

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】(1)因为函数在上单减，

所以，得，所以k的取值范围为.故答案为：

(2)二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，

函数在，上单调递减，要使在区间，上单调递减，则对称轴，解得．

(3)若f(x)＝ 是R上的单调减函数，得则 ，解得，

故答案为：.

(4)由题意得：且为上的减函数

若在上为减函数，则，解得：

【举一反三】

1．(2021·陕西省黄陵县中学)设函数是R上的增函数，则有(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数是R上的增函数,则，即 故选：A

2．(2021·广西钦州市)函数在单调递增，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在单调递增，则，解得.故选：A.

3．(2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中)已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令，易知在其定义域上单调递减，

要使在上单调递减，则在单调递增，

且，即，所以，即.

因此，实数的取值范围是.故选：C.

4．(2020·全国)若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.

考向三  函数的奇偶性

【例3】(2020·全国高一课时练习)判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝2x＋；　　　　　　(2)f(x)＝2－|x|；

(3)f(x)＝＋；  (4)f(x)＝.

【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既是奇函数又是偶函数；(4)非奇非偶函数.

【解析】(1)函数的定义域为，由，

所以函数为奇函数

(2)函数的定义域为由所以函数为偶函数

(3)由，所以函数的定义域为

又，所以函数既是奇函数又是偶函数

(4)由，所以函数的定义域为

因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.

【举一反三】

1．(多选)(2021·浙江衢州市)下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有(    )

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】，的图象关于原点对称，，因此ABD都是奇函数，

，C不是奇函数，实质上也不是偶函数，排除C，

又在上有增有减，只有和是增函数．故选：BD．

2．(2021·沙坪坝区·重庆南开中学)(多选)下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称

A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.

故选：AC

考向四 函数的奇偶性的应用

【例4】(1)(2020·陕西渭滨.高二期末(文))已知是上的奇函数，且当时，，则当时，      。

(2)(2020·全国课时练习)函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.

(3)(2020·全国课时练习)若函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，则实数a的值为           。

【答案】(1)(2)a＝1或a(3)0

【解析】(1)由题意，设，则，则，

因为函数为上的奇函数，则，得，

 即当时，.

(2)：∵函数f(x)＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1为偶函数，∴f(﹣x)＝f(x)，

即f(﹣x)＝ax2﹣(2a2﹣a﹣1)x+1＝ax2+(2a2﹣a﹣1)x+1，

即﹣(2a2﹣a﹣1)＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，

(3)由题意，函数是定义域R上的奇函数，

根据奇函数的性质，可得，代入可得，解得.

【举一反三】

1．(2020·全国课时练习)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．

【答案】

【解析】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；

则当时，.故答案为：.

2．(2021·江苏沭阳.高三期中)已知函数为偶函数，则的值为__________.

【答案】

【解析】因为函数为偶函数,

故,故恒成立.故.故,则.故答案为：

3．已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．

【答案】0

【解析】根据题意，已知f(x)=(a-1)x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数，

有b+2+b=0，解可得b=-1， 则f(x)=(a-1)x3-x2，

若f(x)为[-1，1]上的偶函数，则有f(-x)=f(x)，

即(a-1)(-x)3-(-x)2=(a-1)x3-x2， 分析可得：a=1， 则a+b=0； 故答案为：0．

考向五  函数的单调性与奇偶性的应用

【例5】(1)(2021·河南高三月考)设奇函数在定义域上单调递减，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

(2)．(2021·云南师大附中高三月考)已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则(    )

A． B． C． D．

(3)(2021·河北石家庄市·石家庄一中)已知，则___________.

【答案】(1)C(2)D(3)-18

【解析】因为是奇函数，因此原不等式变形为，

又在上单调递减，所以，解得，所

以原不等式的解集为.故选：C.

(2)，所以，，①，，②，

因为、是定义在上的偶函数和奇函数，由②可得，

则有，解得.故选：D.

(3)由，

得，

则，则；故答案为：.

【举一反三】

1．(2021·陕西咸阳市·高三一模)已知函数，且，则实数的取值范围是(    )．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以函数在上单调递减，

由于所以，得 故选：D

2．(2021·兴义市第二高级中学)偶函数在区间上单调递减，则有(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为为偶函数，所以，所以，，

因为在区间上单调递减，且，

所以，即.故选：A

3．(2021·江西赣州市·高三期末)设定义域为R的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数为奇函数，则

若，则等价于，

因为，在上为增函数，

则在上为增函数，

所以由得；

若，则等价于，

由题知在上单调递增，

所以由得；

.综上，的解集为.故选：C.

4．(2021·江苏南通市)设，若，则不等式的解集为____________.

【答案】

【解析】因为，且，，所以，解得.

，在R上单增.可化为：解得：.不等式的解集为故答案为：

1．(2020·江苏课时练习)函数与的单调递增区间分别为(    )

A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)

C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)

【答案】A

【解析】 ，在上单调递增，，在上单调递增，故选：A.

2．(2020·江苏课时练习)函数的单调递减区间为(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，，可得或，函数的定义域为，

令，则外层函数在上单调递增，内层函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数的单调递减区间为.故选：D.

3．(2021·北京石景山区)下列函数中，在区间上为减函数的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；

由指数函数单调性知在区间上单调递增；

由在区间上为增函数， 为增函数，可知在区间上为增函数；

知在区间上为减函数.故选：D

4．(2020·四川成都市·成都实外)已知函数，则该函数的单调递减区间是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】要使函数有意义，则，

解得，即函数的定义域为，

因为在上递增，在递减，在递增，

所以在上递减，故选：C.

5．(2021·江西景德镇市·景德镇一中)函数的单调递增区间是________.

【答案】

【解析】由解得，即函数的定义域为，

的对称轴为，开口向下，在单调递增，

则的单调递增区间是.故答案为：.

6．(2020·四川省绵阳南山中学高三月考(理))函数的单调递减区间是________.

【答案】

【解析】由

当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增.

当时，开口向下，对称轴方程为

所以此时在上单调递增，在上单调递减.故答案为：

7．(2021·黑龙江大庆市·铁人中学)函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】因为函数在区间上单调递减，所以，即，

则实数的取值范围为；故答案为：.

8．(2021·长宁区·上海市延安中学)若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.

【答案】

【解析】函数在是减函数，在是增函数，

若函数在区间是增函数，则.故答案为：

9．(2021·浙江期末)若函数在区间上单调递增，实数的取值范围是________．

【答案】

【解析】设，则其在区间上单调递增；

设，其开口向上，对称轴为直线；在区间上单调递减、在区间上单调递增.

由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增.

所以要使函数在区间上单调递增，

则需，同时还得保证其真数大于，即令：，

解得.故答案为：.

10．(2020·江苏单元测试)若(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为，(且)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知在区间(－1，＋∞)上是增函数，且，故是增函数，

所以，解得.故a的取值范围是．

故答案为：．

11．(2021·浙江=期末)已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为_________．

【答案】

【解析】因为函数在区间上单调递增，

故只需在上单调递减，且.

则且，

解得且.

故.

故答案为：

12．(2021·广西河池市)若函数在上单调递增，则实数的取值范围为     

【答案】

【解析】任取，且，

因为函数在上单调递增，

所以，即，

所以，，

因为，所以，，，

所以．

故选：D

13．(2021·四川成都市树德协进中学)若函数在是增函数，则a的取值范围是  

【答案】

【解析】，

令，

要使函数在是增函数，

则有在上恒成立，

即，即在上恒成立，

令，，所以在上单调递减，

故，所以

故选：D.

14．(2021·沙坪坝区·重庆八中)已知，，，则、、的大小关系为    

【答案】

【解析】构造函数，则，

当时，，所以，函数在区间上为减函数，

，则，即.

15．(2021·沙坪坝区·重庆一中)设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是          

【答案】

【解析】因为，所以，

所以函数的周期为2，

因为函数是定义在上的偶函数，

所以，

，

因为，在上单调递增，

所以，

所以，

16．(2021·安徽芜湖市)已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为       

【答案】-6

【解析】是定义在上的奇函数，

则，解得，

当时，，

所以.

17.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则的值为      

【答案】-4

【解析】∵是上的奇函数，∴，即，．

，∴．

18．(2021·广西)已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则      

【答案】10

【解析】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，

则，故.

20．(2021·江苏南通市·海门市第一中学)已知定义在R上的奇函数y=f(x)，当x>0时，，则关于x的不等式的解集为___________.

【答案】

【解析】和都是增函数，所以在上增函数，而,

即在上是增函数，又是奇函数，所以在是递增，也即在上是增函数，因此由得，解得或．

故答案为：．

21．(2021·苏州市苏州高新区第一中学)若是以2为周期的偶函数，且当时，，则______．

【答案】

【解析】由，则，

因为是以2为周期的偶函数，且，

所以.故答案为：

22．(2021·广东广州市第二中学)已知函数为R上的奇函数，则n的值为___________.

【答案】2

【解析】∵函数为R上的奇函数，∴，即，解得，

当时，，，所以为奇函数，符合题意.故答案为：2.