2021年高考艺术生数学基础复习 考点38 单调性的分类讨论（教师版含解析）

考点38  单调性的分类讨论

讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；

(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．

注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

考向一 定义域为R

【例1-1】(2021·内蒙古)设函数.求函数的单调区间。

【答案】(1)的减区间为，增区间为，

【解析】的定义域为，∵，

当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

故的减区间为，增区间为，极小值为。

【例1-2】已知函数，讨论函数的单调性；

【答案】见解析

【解析】因为，

所以.

令，解得或.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

若，则，

当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；

时，函数单调递增区间为；

时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

【举一反三】

1.(2021年广东湛江)已知函数判断函数的单调性。

【答案】见解析

【解析】由题意可求，

1.当时，在上为减函数，无极值；

2.当时，令，解得, 令，解得

于是在为增函数，在为减函数；

2．(2021年河北)若定义在上的函数，，求函数的单调区间；

【答案】见解析.

【解析】函数，求导得到，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由，得到，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；

3．(2021年广东梅州)已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】，

当时，，∴在上单调递减.

当时，令，得；令，得.

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时，令，得；令，得.

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

4．(2021年湖南)已知函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】因为，所以，

即.由，得，.

①当时，，当且仅当时，等号成立.故在为增函数.

②当时，，

由得或，由得；

所以在，为增函数，在为减函数.

③当时，，

由得或，由得；

所以在，为增函数，在为减函数.

综上，当时，在为增函数；

当时，在，为增函数，在为减函数；

当时，在，为增函数，在为减函数.

5．设函数，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】(1)由题意得，

当时，当；当时，；

在单调递减，在单调递增，

当时，令得，

当时，；当时，；

当时，；

所以在单调递增，在单调递减；

②当时，，所以在单调递增，

③当时，；

当时，；当时，；

∴在单调递增，在单调递减；

考向二 定义域非R

【例2-1】已知函数，，讨论的单调性；

【答案】见解析

【解析】由已知可知函数的定义域为，

由,

当时，所以在为增函数,

当时，,

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.

【例2-2】已知，求单调区间

【答案】见解析

【解析】该函数定义域为(第一步：对数真数大于0求定义域)

令，解得(第二步，令导数等于0，解出两根)

(1)当时，单调增，单调减

(第三步，在不在进行分类，当其不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负)

(2)当时即单调增，

(第五步，x1在区间时，进行比较大小，当得到第四步图像判断正负)

①当时，即

单调增，单调减

(当得到；第四步图像判断正负)

②当时，即

单调增，单调减

(得到；第四步图像判断正负)

综上可知：

，单调增，单调减；

，单调增

单调增，单调减

，单调增， 单调减

【举一反三】

【例3】已知函数.讨论函数的单调性；

【答案】见解析

【解析】由题意知，的定义域为，

由，

得.

①当时，令，可得，，得，故函数的增区间为，减区间为；

②当时，，令，可得，，得或，故的增区间为，减区间为、；

③当时，，故函数的减区间为；

④当时，，令，可得，，得，或，故的增区间为，减区间为，.

综上所述：当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数；当时，在为减函数；当时，在，上为减函数，在上为增函数.

2.(2021重庆月考)已知函数讨论的单调性.

【答案】见解析

【解析】因为，定义域为，所以，

当时，，则在上单调递增.

当时，

所以当时，；当时，.

综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

1.(2021·全国课时练习)设函数，讨论函数的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】

当时，，∴在上单调递减；

当时，令，则，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间；

当时，单调递减区间是，单调递增是

2．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.

【答案】当在 上单调递增；

当在上单调递增，在上单调递减.

【解析】的定义域为，.

当，则x∈时，，故在单调递增.

当a＜0，则x∈时，；x∈时，

故在单调递增，在单调递减.

综上所述, 当在上单调递增；

当在上单调递增，在上单调递减.

3．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.

【答案】当，在单调递增；

当，在单调递减，在单调递增.

【解析】定义域为，

因为，

若，则，所以在单调递增，

若，则当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增.

综上，当，在单调递增；

当，在单调递减，在单调递增.

4．(2021·全国课时练习)已知函数，实数，讨论函数在区间上的单调性.

【答案】时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

【解析】由题知的定义域为，

.

∵，，∴由可得.

(i)当时，，当时，单递减；

(ii)当时，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上所述，时，在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

5．(2021·全国课时练习)设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数，讨论的单调性.

【答案】当时， 在 上单调递减；

当时， 在 上单调递减，在上单调递增.

【解析】

当时，<0，在内单调递减.

当时，由=0有.

当时，<0，单调递减；

当时，＞0，单调递增.

综上，当时， 在 上单调递减；

当时， 在 上单调递减，在上单调递增.

6．(2021·全国课时练习)求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间.

【答案】递增区间为，递减区间为.

【解析】f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，

则f ′(x)＝6x－＝，

由f ′(x)＞0，解得x＞.由f ′(x)＜0，解得0＜x＜.

∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，

单调递减区间为.

7．(2021·全国课时练习)设函数讨论的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】定义域为，，

令，

①当时，，，故在上单调递增，

②当时，，的两根都小于零，在上，，

故在上单调递增，

③当时，，的两根为，

当时，；当时，；当时，；

故分别在上单调递增，在上单调递减.

综上可得：①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递增；③当时，分别在上单调递增，在上单调递减.

8．(2021·全国课时练习)已知函数.讨论的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】因为，所以定义域为，所以.

当时，恒成立，在上单调递减；

当时，由，得；由，得.

故在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

9．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】函数，定义域为，，

当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.

当时，令，得；

当时，，故单调递增；

当时，，故单调递减.

综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

10．(2021·全国课时练习)已知函数.讨论函数的单调性.

【答案】答案见解析.

【解析】因为，所以的定义域为，，

当时，，则在上是增函数；

当时，，

所以；

或；

，

所以在上是减函数，在和上是增函数.

11．(2021·全国课时练习)已知函数，讨论的单调性．

【答案】答案见解析

【解析】的定义域为，，

若，则恒成立，故在上为减函数；

若，则当时，，当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，

综上，当时，在上为减函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数．