2021年高考艺术生数学基础复习 考点15 递推公式求通项（教师版含解析）

考点15  递推公式求通项

一．公式法求通项

1.   使用特征：前n项和与项数或项的关系
2.   公式为：通项=前n项和-前n-1项和
3.   解题思路

二．累加法求通项

1.使用特征：

2.解题思路

三．累乘法求通项

1.使用特征：

2.解题思路

四．构造法求通项

五．倒数法求通项

考向一  公式法求通项

【例1】(1)(2020·广西民族高中)数列的前n项和，则它的通项公式是__________.

(2)(2020·广东深圳市·明德学校高三月考)设是数列的前n项和，且，则的通项公式为__________．

(3)(2020·榆林市第十中学高三月考)已知数列满足，则________，________．

【答案】(1)(2)(3)3     

【解析】(1)时，；

且时，，易见，也适合该式.故.故答案为：.

(2)当时，

当时，，∴，∴，

∵，∴，∴．故答案为：.

(3)当时，，

当时，由题意可得：

，

，

两式作差可得：，

故，

因为，不满足，所以.

故答案为：3；.

【举一反三】

1．(2020·西藏昌都市第一高级中学)已知数列的前项和，则＝________.

【答案】

【解析】由于数列的前项和.

当时，；

当时，.

满足.因此，对任意的，.故答案为：.

2．(2020·全国高三专题练习)数列的前项和为，则_________________.

【答案】

【解析】当时，;

 而不适合上式，.故答案为：.

3．(2020·河北保定市·高碑店一中)已知数列的前项和为，，，则______.

【答案】

【解析】因为，故，故即.

又，故当时，，

故.故答案为：.

4．(2020·全国高三专题练习)若数列的前项和，则的通项公式是________．

【答案】

【解析】当时，，，

当时，，，

∴，是首项为，公比为的等比数列，．故答案为：

5．(2020·安徽省舒城中学)若数列是正项数列，且，则_______．

【答案】

【解析】数列是正项数列，且所以，即

时

两式相减得，

所以( )当时，适合上式，所以

考向二 累加法求通项

【例2】(2020·成都市·四川电子科大实验中学)设数列满足，，则数列的通项公式为        

【答案】

【解析】，所以当时，，，，，

将上式累加得：，

，即，

又时，也适合，．

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足：，，则       

【答案】

【解析】∵数列满足：，，∴，

∴当n≥2时，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝ =，

2．(2020·全国高三专题练习)已知在数列的前项之和为，若，则_______．

【答案】

【解析】 .

.

3．(2020·通榆县第一中学校高三期中)已知数列满足，，则          。

【答案】

【解析】由，可得，

所以

，

考向三  累乘法求通项

【例3】(2020·江西九江市)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________.

【答案】

【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.

∴当n≥2时，an＝，a1＝2也符合上式，则an＝.

故答案为：.

【举一反三】

1．(2020·苏州市相城区陆慕高级中学)已知在数列中，，则=      

【答案】

【解析】，即，

，

2．(2020·安徽省泗县第一中学)已知，，则数列的通项公式是   

【答案】

【解析】由得：，即，

则，，，……..，，

由累乘法可得，又因为，所以.

考向四 构造法求通项

【例4】(2020·全国高三专题练习)若，，则_______________.

【答案】

【解析】原式可化为()，

因为，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，即.故答案为：.

【举一反三】

1．(2020·静宁县第一中学高三月考)已知数列中，，(且)，则数列通项公式为           

【答案】

【解析】由，知：且()，而，，

∴是首项、公比都为3的等比数列，即，

2．(2021·怀仁市第一中学校)已知数列满足，则数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】因为，所以，所以，

所以数列是一个以为首项，以2为公比的等比数列，

所以.所以数列的通项公式为.故答案为：

3．(2020·广东清远市·高三月考)若数列满足，，则数列的通项公式________.

【答案】

【解析】由，可得，设

则，则

所以是以1为首项，3为公比的等比数列.

则，则，所以

故答案为：

考向五 倒数法求通项

【例5】(2020·四川省阆中东风中学校高三月考)已知数列满足：，．则          

【答案】

【解析】因为，所以两边取倒数得，则，

所以数列为等比数列，则，

【举一反三】

1．(2020·湖南娄底市)在数列中，已知，，，则等于     

【答案】

【解析】  ，

所以是以 为首项，公差为的等差数列， ，

2．(2020·四川成都市·)若数列满足(，)，且，则       

【答案】

【解析】当且，在等式两边取倒数得，

，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，

因此，.

1．(2020·宁夏长庆高级中学高三月考)已知数列的前项和为，若，()，则______.

【答案】

【解析】当时，；

当时，，，

数列从第二项开始为等比数列，；

经检验：不满足.

综上所述：.

故答案为：.

2．(2020·江苏宿迁市)已知数列的前项和，则的通项公式为     

【答案】

【解析】，当时，，

当时，，上式也成立，，

3．(2020·江苏高三)已知，，则数列的通项公式是       

【答案】

【解析】由得：，即，

则，，，……..，，

由累乘法可得，又因为，所以.

4．(2020·全国)已知数列满足，，则数列的通项公式________．

【答案】

【解析】易知，由，得，

∴，∴．

∴当时，有，，．．．．．．，

将以上个等式相加得，．

又，∴，经验证，当时符合上式，∴．

5．(2020·岑溪市第一中学)若数列满足，则数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】，

当时，；

当时，

故当时，，

所以

故答案为：

6．(2020·全国高三专题练习)在数列中，，则        .

【答案】

【解析】因为,

,

.

7．(2020·四川遂宁市·射洪中学)若数列满足：，，则_______.

【答案】

【解析】由，，，，…，，

累加可得，得，

当时，，也符合，故.故答案为：

8．(2020·吉林长春市·长春外国语学校)设数列中，，则通项 ___________．

【答案】

【解析】∵ ∴，，

，，，，

将以上各式相加得：

故应填；

9．(2020·吉林市第二中学)在数列中，，，则数列的通项公式为_________

【答案】

【解析】由题意，数列中，，

可得

，

即数列的通项公式为.

故答案为：.

10．(2020·全国高三专题练习)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝________．

【答案】

【解析】由题得a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，(1)a1·2a2·3a3·…·(n-1)an-1＝2n-1,n≥2，(2)

两式相除得nan＝2，所以.由题得,满足.故.故答案为

11．(2020·兴仁市凤凰中学)设数列中，，，则通项___________．

【答案】

【解析】因为，所以.

即，所以数列是以首项为，公差为的等差数列.

故，所以.

故答案为：

12．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足，，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以===

13．(2020·全国高三专题练习)为数列的前项和，若，则________.

【答案】

【解析】当时，，

因为，所以，

当时，，

即，

因为，所以，

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，

所以；

故答案为：.

14(2020·全国)若数列的前项和，则的通项公式是________．

【答案】

【解析】当时，，，

当时，，，

∴，是首项为，公比为的等比数列，．

故答案为：

15．(2020·宁夏长庆高级中学高三月考)已知数列的前项和为，若，()，则______.

【答案】

【解析】当时，；

当时，，，

数列从第二项开始为等比数列，；

经检验：不满足.

综上所述：.

故答案为：.

16．(2020·湖南高三期中)设数列的前项和为，且，则__________.

【答案】

【解析】，当时，，解得；

当时，，即，

故，验证时成立，故.

故答案为：.

17．(2020·罗山县楠杆高级中学高三月考)已知数列的首项，，则的通项公式______．

【答案】

【解析】，，

所以，.故答案为：.

18．(2020·全国)若数列满足，且，则__________．

【答案】5050

【解析】因为，

所以，

所以故答案为：5050

19.(2020·广州市天河外国语学校)若数列满足则数列的通项公式

【答案】

【解析】，

故答案为：

20．(2020·江苏省海头高级中学)已知数列的首项，则_____；_______.

【答案】       

【解析】(1)，，，

；

(2)，，

，

数列是公差为1的等差数列，首项，

，

.

故答案为：；

21．(2020·海原县第一中学)(1)已知数列满足，求；

(2)已知数列满足，求；

【答案】(1)(2)

【解析】(1)当时，由得，即，即，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，所以.

(2)因为，所以，且，

所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以.