2021年高考艺术生数学基础复习 考点46 三定问题（定点、定值、定直线）（教师版含解析）

考点46  三定问题(定点、定值、定直线)

一．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

二．直线定点问题的求解的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量)；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

考向一 定值

【例1】(2021·北京丰台区·高三一模)已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.

(ⅰ)求证：直线的斜率之积为定值；

(ⅱ)判断三点是否共线，并说明理由.

【答案】(1)；(2)(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)是，理由见解析.

【解析】(1)由题意得，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(2)(ⅰ)证明：设，

因为在椭圆上，所以.

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以直线的方程为.

所以点的坐标为.

所以直线的斜率为.

所以直线的斜率之积为：

.

(ⅱ)三点共线.

设直线斜率为，易得.

由(ⅰ)可知直线斜率为，所以直线的方程为.

联立可得.

解得点的纵坐标为，

所以点的坐标为.

所以，直线的斜率为，直线的斜率为.

因为直线的斜率等于直线的斜率，

所以三点共线.

【举一反三】

1．(2021·陕西宝鸡市·高三二模(文))已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)因为的周长为，

所以，即.

又离心率，解得，，

.

∴椭圆的方程为.

(2)设，，，

将代入

消去并整理得，

则，，

，

∵四边形为平行四边形，

∴，得，

将点坐标代入椭圆方程得，

点到直线的距离为，，

∴平行四边形的面积为

.

故平行四边形的面积为定值为.

2．(2021·四川遂宁市·高三二模(文))如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.

(1)求的值；

(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】(1)；(2)为定值5.

【解析】(1)设，则，由题意得焦点为

所以，.

当时，有.

联立得，，从而.

将代入，得，

所以，故.

(2)由(1)知，，椭圆：.

设：，代入椭圆：，

得.

而，即，

从而.

同理：，.

从而.

于是.

所以，的斜率之比为定值5.

考向二 定点

【例2】(2021·河南月考(文))已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点(均不是椭圆的右顶点)，且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析，定点坐标为．

【解析】(Ⅰ)由椭圆的对称性可知：当点落在椭圆的短轴的两个端点时的面积最大，此时，解得：．

由得：．

椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)设，，直线的方程为，

联立得：，

则，即，

，．

．

椭圆的右顶点为，，，

，即，

．

整理可得：，

解得：，，(，均满足)．

当时，的方程为，直线过右顶点，与已知矛盾；

当时，的方程为，过定点，

直线过定点，定点坐标为

【举一反三】

1．(2021·黑龙江大庆市·高三一模(理))已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．

【答案】(1)；(2)证明见解析，.

【解析】(1)由得，

所以椭圆的标准方程为.

(2)当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.

所以直线斜率存在，设直线的方程为.

设、，

由得，

所以，. 

因为，

所以，

即，整理得

化简得，

所以直线的方程为，

所以直线过定点.

2．(2021·全国高三月考(文))已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.

【答案】(1)；(2)过定点，.

【解析】设，

则，

且

两式相减得

即，

即，

所以

又直线的方程为，

令，得

所以，

所以椭圆的方程为.

(2)由题意得，直线的方程分别为，

设，联立，

得，

所以，

则

同理

所以

由

得，

所以直线的方程为

整理得，

所以直线过定点.

考向三 定直线

【例3】(2021·深圳实验学校高中部)如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.

(1)证明：；

(2)设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】1)设，，

把代入，得.

由韦达定理得，.

.

所以

(2)，，

故经过点的切线的方程为：，

即，①

同理，经过点的切线的方程为：，②

，得.

即点M在直线上.

【举一反三】

1．(2021·浙江温州市)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.

(i)求证：点在一条定直线上；

(ii)求面积的取值范围.

【答案】(1)；(2)(i)证明见解析；(ii).

【解析】(1)抛物线的焦点到准线的距离为2，

可得，所以抛物线的标准方程为.

(2)联立方程组消去得，，

∴，

由得，，所以切线方程为

切线方程为

联立直线､方程可解得，.

(i)所以点的坐标为.

所以点在定直线上

(ii)点到直线的距离为.

所以

的面积为

所以当时，有最小值.

面积的取值范围是.

2．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知点P是抛物线上的动点，且位于第一象限．圆，点P处的切线l与圆O交于不同两点A，B，线段的中点为D，直线与过点P且垂直于x轴的直线交于点M．

(1)求证：点M在定直线上；

(2)设点F为抛物线C的焦点，切线l与y轴交于点N，求与面积比的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】(1)设，其中，显然切线l的斜率存在且不为零，

由，求导得：，所以切线l的斜率为m，

因为D是弦的中点，所以，所以直线方程：，

联立方程，得，所以点M在定直线上．   

(2)由(1)知切线l的方程：，化简得：，

令，得，又，，

联立方程，得，

而，，

所以，令，得，

则，所以与面积比的取值范围为．

1．(2021·江苏常州市·高三一模)已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.

(1)过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；

(2)已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】(1)设过点的直线为交于椭圆

联立消去y得

又因为以线段为直径的圆经过原点，

则

则所求直线方程

(2)已知椭圆的离心率为，右准线直线n的方程为，

因为直线上只有一点到F的距离与到直线n的距离之比为，

所以直线与椭圆相切，

设直线的方程为，联立消去y得到：

①

联立点N坐标为

得到

,

由①

2(2021·山西临汾市·高三一模(理))已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)；(2)存在点，使得平分．

【解析】(1)由题意可得，

双曲线的焦点为，渐近线方程为：，

则焦点到渐近线的距离为，所以，

则椭圆的标准方程为；

(2)存在点使得平分，

由题知，直线的斜率存在且不为0，又直线过点，

则设直线的方程为，

，，，

联立方程，消去整理可得：

，

所以，，

因为，，，

所以，

即，

因为，所以

，

即，

则，

化简可得，因为，所以，

综上，存在点，使得平分．

3．(2021·漠河市高级中学高三月考(理))已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；(2)存在，定点为.

【解析】(1)由题意，抛物线，可得焦点为，所以，

又由双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率，

可得，解得，

即椭圆的标准方程为.

(2)由直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，其中，

设点､，则点，

联立直线与椭圆的方程，整理得，

由恒成立，且，，

由椭圆的对称性知，若存在定点，则点必在轴上，

故假设存在定点，使得､､三点共线，则，

即，可得.

故存在定点，使得､､三点共线.

4．(2021·山东烟台市·高三一模)已知分别是椭圆的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)；(2)是定值，定值为.

【解析】(1)由为直角三角形，故，

又，

可得

解得

所以，

所以椭圆的方程为；

(2)当切线的斜率不存在时，其方程为

将代入，得，不妨设，，又

所以

同理当时，也有.

当切线的斜率存在时，设方程为，

因为与圆相切，

所以

即，

将代入，

得，

所以

又

，

又

，

将代入上式，得，

综上，.

6．(2021·四川遂宁市·高三二模(理))如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.

(1)求的值；

(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)；(2)过定点，定点为.

【解析】(1)设，则，由题意得焦点为

所以，.

当时，有.

联立得，，从而.

将代入，得，即，

所以或(舍)，故.

(2)由(1)知，，椭圆：.

设：，代入椭圆：，

消去并整理得，

所以，

而，所以，

由韦达定理得，所以.

同理：，即，，

所以，

所以，

于是.

所以直线：.

令，得，

将代入得，

所以经过定点.

7．(2021·广东汕头市·高三一模)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．

(1)求动点的轨迹方程；

(2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；

①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．

②求四边形面积的最小值．

【答案】(1)；(2)①证明见解析，定点坐标为；②.

【解析】(1)设点，依题意，

，

所以动点的轨迹为椭圆(左、右顶点除外)，则，，，

动点的轨迹方程是；

(2)①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；

设直线的方程为，则直线的方程为，

直线、均过椭圆的焦点(椭圆内一点)，、与椭圆必有交点．

设、，由，

由韦达定理可得，则，

所以点的坐标为，同理可得点，

直线的斜率为，

直线的方程是，

即，

当时，直线的方程为，直线过定点．

综上，直线过定点；

②由①可得，，

，

同理可得，

所以，四边形的面积为，

当且仅当取等号．

因此，四边形的面积的最小值为.

8．(2021·河南平顶山市·高三二模(理))已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；(2)存在点，满足为定值．.

【解析】(1)由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组得．则，

所以．所以．

所以椭圆的方程为．

(2)当直线不与轴重合时，设，联立方程组

得．

设，，，则有，．

于是

，

若为定值，则有，得，．

此时：当直线与轴重合时，，，

也有．

综上，存在点，满足为定值．

9．(2021·北京平谷区·高三一模)已知椭圆的离心率为，并且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析．

【解析】(1)由已知解得所以椭圆：．

(2)证明：由已知斜率存在

以下给出证明：

由题意，设直线的方程为，，，则，由

得，

所以，

， ，，

所以，即，

直线的方程为，

令得所以，

令由得所以，

所以=.

10．(2021·河南新乡市·高三二模(理))已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.

(1)求的方程；

(2)为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】(1)；(2)是定值，.

【解析】(1)设，则，故，

∴，

又，

由题意知：，解得，

∴椭圆的方程为.

(2)根据椭圆的对称性，可知，，

∴四边形为平行四边形，所以.

设，的斜率分别为，，，，则①，②.

又，，即.

当的斜率不存在时，，.

由①②，得，结合，解得，.

∴.

当的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组得，得，则，即，.

∵，

∴，整理得：.

由直线过，，

将代入，整理得.

综上，四边形的面积为定值，且为.