2021年高考艺术生数学基础复习 考点36 利用导数求切线方程（教师版含解析）

考点36  利用导数求切线方程

一．在型求切线方程

二．过型求切线方程

考向一 在某点处的切线方程

【例1-1】(2020·江苏期中)曲线在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由函数，则

所以曲线在点处的切线的斜率为

所以切线方程为：，即

故选：B

【例1-2】(2020·广东深圳市·明德学校高三月考)函数在点处的切线方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，有，则所求切线方程为．

故选：B.

【举一反三】

1．(2020·北京市第十三中学高三期中)曲线在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】求导得斜率，代点检验即可选B.

，，故选：B

2．(2021·辽宁高三其他模拟)已知函数，曲线在点处的切线方程为_______．

【答案】

【解析】，，

，即切线斜率为，

又，

切线方程为，即.

故答案为：.

3．(2021·江西吉安市·高三期末(文))曲线在点处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】，曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：

考向二 过某点处的切线方程

【例2】(2021·山东聊城市)过点且与曲线相切的直线方程是( )

A． B． C． D．或

【答案】A

【解析】因为所以，曲线在处的切线斜率为－2，故由直线方程的点斜式得曲线方程为，选A．

【举一反三】

1．(2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考)函数过点的切线方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设切点为

因为

因此切线方程为

故选：D

2．(2020·河南高三月考)过点且与曲线相切的直线方程为______.

【答案】

【解析】设切点为，因为，所以，

所以过切点的切线方程为.

因为切线过点，所以，即，解得，

所以所求切线方程为，即切线方程为

故答案为：

3．(2021·全国课时练习)已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为______．

【答案】或

【解析】

【解析】设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠2)，则k=，

∵y0=x02+2，且∵k=y′=2x0，∴=2x0，∴x02﹣4x0﹣5=0，

∵x0=-1，或x0=5，∴k=2x0=-2或，

故直线l的方程或.

故答案为：或．

4．(2020·海林市朝鲜族中学)过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线的方程为________

【答案】.

【解析】设切点为，所以切点为，由点可知直线方程为

考向三 求参数

【例3】(2021·山西晋中市·高三二模(理))曲线与直线相切，则______．

【答案】1

【解析】由题意，函数，可得，

设切点为，则，

因为曲线与直线相切，可得，即，①

又由，即切点为，可得，②

联立①②，可得．

故答案为：1

【举一反三】

1．(2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试(理))已知直线是曲线的一条切线，则_________．

【答案】．

【解析】对，，由，得时， ，

所以，．

故答案为：．

2．(2021·山西吕梁市·高三一模(理))已知曲线与轴相切，则___________.

【答案】

【解析】设曲线上切点坐标为，

因为，所以，解得，.

故答案为：

3．(2021·江西赣州市·高三期末(文))若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.

【答案】；

【解析】由题意得，，所以，

因为切线与直线垂直，

所以，且，解得.

故答案为：．

4．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考(文))若直线：是曲线的切线，则实数(    )

A．-4 B．-2 C． D．

【答案】A

【解析】设：与曲线相切于点，

则， 所以的方程为，

则，故，解得，

则直线：，所以，

故选：A.

1．(2021·安徽芜湖市·高三期末(理))已知，则曲线在点处的切线方程为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意得：，

令，可得，解得，

根据导数的几何意义可得，在点处切线斜率，

又，

所以，即切点为，

所以切线方程为，整理得：.

故选：D

2．(2021·内蒙古包头市·高三期末(理))若直线为曲线的一条切线，则实数的值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设切点为，

由得，

所以，得，得，

所以切点为，

所以，得.

故选：D

3．(2020·全国高三月考)曲线在点处的切线方程为，则(    )．

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】由题意得，

所以，

因为直线的斜率为3，

所以，故，

故切点为，代入切线方程为得．

故选：D.

4(2021·全国高三专题练习)已知函数，，若曲线在点处的切线是曲线的所有切线中斜率最小的，则(    )

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】因为，定义域为，

所以，

由导数的几何意义可知：当时取得最小值，

因为，，所以，

当且仅当即时取得最小值，

又因为时取得最小值，所以，

故选：D

5．(2020·全国高三专题练习(文))曲线上的点到直线的最短距离是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，将直线平移至与函数图象相切时，

切点到直线的距离最短,设切点坐标为，

,令得，，则切点坐标为，

所以切点到直线的距离为：.

故选：A.

6．(多选)(2020·全国高三专题练习)曲线在点P处的切线平行于，则点P的坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】因，令，故或，所以或，

经检验，点，均不在直线上，

故选：AB

7．(2021·全国高三开学考试(文))曲线在点处的切线与曲线相切，则___________.

【答案】

【解析】由求导得，

∴曲线在点处的切线方程为，即.

设与相切于点，

由求导得，

∴，

∴，即切点为.

它在切线上，

∴，

∴.

故答案为：-2

8．(2021·安徽安庆市·高三一模(文))函数在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】因为，

所以，

则，，

所以在处的切线方程为.

9．(2021·内蒙古包头市·高三期末(文))曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______．

【答案】

【解析】因为，

所以，

设切点为，

因为切线的斜率为4，

所以，

解得，

所以该切线的方程是，即

故答案为：

10．(2021·安徽安庆市·高三一模(理))函数在处的切线经过点 ，则实数___________.

【答案】

【解析】由，

得，，，

而切线过点，从而有，

解得，

故答案为：.

11．(2021·宁夏吴忠市·高三一模(文))曲线在处的切线方程为_________．

【答案】

【解析】由得：

，，

因为切点在曲线上，

所以所求切线方程为，即．

故答案为：.

12．(2021·山西吕梁市·高三一模(文))曲线在点处的切线方程为________．

【答案】

【解析】为切点时，由时，斜率k=1，所以切线方程：y -1=x – 1;

故答案为：

13．(2021·六盘山高级中学高三期末(文))曲线在点处的切线方程为______.

【答案】

【解析】，切线的斜率为

则切线方程为，即

故答案为：

14．(2020·湖北高三月考)函数在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】因为，所以，，

因为，所以切线方程为，即，

故答案为：.

15．(2021·江苏泰州市·高三期末)函数(其中e为自然对数的底数)的图象在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】因为，所以，

所以切线方程为：，即，

故答案为：.

16．(2020·贵州铜仁伟才学校高三月考(文))曲线在点处的切线方程为________.

【答案】

【解析】由，得，则时，

即切线斜率，故切线方程为，即.

故答案为：.

17．(2020·吉林油田第十一中学高三月考(文))曲线在点处的切线方程为______．

【答案】

【解析】因为，

所以。

所以，

所以函数在点处的切线方程为，

故答案为：

18．(2020·河南高三期中)曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为2，则实数的值为______.

【答案】

【解析】，

∴切线过点，且斜率为，

所以切线方程为，

与交点的横纵标为，解得.

故答案为:

19．(2020·广州市·广东实验中学)已知圆的方程为，则过点且与圆C相切的直线l的方程______.

【答案】和

【解析】将点代入圆的方程得，所以点在圆外，

所以过点的圆C切线有两条，

当过点的直线斜率不存在时，直线方程为：，此时满足与圆相切；

当过点的直线斜率存在时，设切线斜率为，

则切线方程为：，即 ，

圆心到切线的距离等于半径1，即，

整理得：，即，解得： ，

所以切线方程为： ，

所以直线l的方程为: 和，

故答案为：和

20．(2020·江西省修水县英才高级中学高三月考(文))过原点作曲线的切线，则切线的方程为___________.

【答案】

【解析】因为

所以

设切点为，

因为切线过原点，

所以，

解得，

所以，

所以切线方程是，

故答案为：

21．(2020·梅河口市第五中学高三其他模拟(理))经过原点作函数图像的切线，则切线方程为__________．

【答案】y=0或9x+4y=0

【解析】∵f′(x)＝3x2+6x，

①若原点(0，0)是切点，则切线的斜率为f′(0)＝0，则切线方程为y＝0；

②若原点(0，0)不是切点，设切点为P(x0，y0)，

则切线的斜率为，因此切线方程为，

因为切线经过原点(0，0)，∴，∵x0≠0，解得．

∴切线方程为，化为9x+4y＝0．

∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．

故答案为y＝0或9x+4y＝0．

22．(2020·四川泸州市·泸县五中高三开学考试(文))已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为____________.

【答案】2

【解析】由于，则，

由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，

曲线的一条切线斜率是3，

令导数，可得，

所以切点的横坐标为2.

故答案为：2．

23．(2020·福建省长乐第一中学高三期中)已知曲线在点处的切线平行于直线，则______.

【答案】－1

【解析】

的导数为，
即在点处的切线斜率为，
由切线平行于直线，
则，即，
解得或.
若，则切点为，满足直线，不合题意.
若，则切点为，不满足直线，符合题意.
故答案为.

24．(2020·甘肃张掖市第二中学高三月考(理))已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.

【答案】-1

【解析】因为点是切点，所以点M在切线上，所以，

因为函数的图象在点处的切线的方程是，斜率为，所以，所以.

故答案为：

25．(2020·北京市第三十九中学高三期中)过原点作曲线的切线，则切点坐标为________，切线方程为________.

【答案】(e，1)    x-ey=0   

【解析】设切点坐标为：，

因为，

所以，

因为切线过原点，

所以切线的斜率为：，

解得， ，

所以切点坐标为：，

切线方程为：，即x-ey=0，

故答案为：； x-ey=0.