2020-2021学年江苏省苏州市吴江区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市吴江区九年级上学期数学期中试题及答案，共25页。试卷主要包含了 方程的根是， 九年级及方差S2如下表， 根据下列表格的对应值，59＜x＜0等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. x+1＝0B. x2＝2x﹣1C. 2y﹣x＝1D. x2+3＝
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的定义进行分析即可．
【详解】解：A、x+1＝0是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、x2＝2x﹣1是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、含有2个未知数，2y﹣x＝1不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、含有分式，x2+3＝不是一元二次方程；故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：∵x2＝3x，
∴x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x＝3，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．
3. 如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）
A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°
【答案】B
【解析】
【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
【详解】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，
∴∠BAC=∠BOC=36°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
4. 九年级（1）班甲、乙、丙、丁四名同学几次数学测试成绩的平均数（分）及方差S2如下表：
老师想从中选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，那么应选（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】要选派一名成绩较好且状态稳定的同学参加省初中生数学竞赛，所以要平均成绩比较高的，应从乙、丁两为同学里面选，再根据方差越小越稳定，从而可以确定答案．
【详解】解：要选派一名成绩较好且状态稳定同学参加省初中生数学竞赛，所以要平均成绩比较高的，应从乙、丁两为同学里面选，再根据方差越小越稳定，丁的方差比乙更小，故应该选丁 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平均数以及方差，熟练方差越小越稳定是解决本题的关键．
5. 一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（ ）
A. 2B. ﹣2C. 3D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【详解】将代入方程有，解得，
故选A
6. 已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A. 18cm2B. C. 27cm2D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：底面周长是2×3π=6π，
则圆锥的侧面积是：×6π×6=18π（cm2）．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
7. 如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 S阴＝S△ABD﹣S扇形 BAE计算即可．
详解】，
故选．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割
法求阴影部分面积．
8. 10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．
【详解】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．
9. 根据下列表格的对应值：
判断方程x2+x－1＝0一个解的取值范围是（ ）
A. 0.59＜x＜0.60B. 0.60【答案】C
【解析】
【分析】由于x＝0.61时，x2＋x−1＝−0.0179；x＝0.62时，x2＋x−1＝0.0044，则在0.61和0.62之间有一个值能使x2＋x−1的值为0，于是可判断方程x2＋x−1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
【详解】解：∵x＝0.61时，x2＋x−1＝−0.0179；x＝0.62时，x2＋x−1＝0.0044，
∴方程x2＋x−1＝0一个解x的范围为0.61＜x＜0.62．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
10. 如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（ ）
A. 2.5B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AO，作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=10，面积为80，
∴AB•DH=80，
∴DH=8，
在Rt△ADH中，，
∴HB=AB-AH=4，
在Rt△BDH中，，
设⊙O与AB相切于F，与AD相切于J，连接OF，OJ，则OF⊥AB，OJ⊥AD，OF=OJ，
∴OA平分∠DAB，
∵AD=AB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴，
∴，
∴OF=．
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题
11. 方程x2=9的解为_____．
【答案】x1=3，x2=-3
【解析】
【分析】直接用开平方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴x=±3．
故答案为：x1=3，x2=-3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．
12. 若⊙O的半径为3，点P为平面内一点，OP＝2，那么点P在⊙O （填“上”、“内部”或“外部”）
【答案】内部
【解析】
【分析】根据点与圆心之间的距离和半径的关系即可判断点与圆的位置关系.
【详解】∵⊙O的半径r＝3，
∵OP＝2，
∵
∴点P在⊙O内部，
故答案为：内部．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键.
13. 一组数据4，1，7，4，5，6则这组数据的极差为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】用最大的的数7减去最小的数1即可求解．
【详解】解：数据4，1，7，4，5，6极差为：7-1=6．
故答案为：6
【点睛】本题考查了极差的概念，极差指一组数据中最大值与最小值的差，极差反映了一组数据的波动范围．
14. 三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】先求出一元二次方程的两个根，然后结合三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：方程可变形为，解得，
当第三边的长为5时，该三角形的周长为3+4+5=12；
当第三边的长为7时，由于3+4=7，此时3、4、7不能构成三角形，应舍去．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键．
15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根的判别式进而得出k的取值范围．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴k>−1.
故答案为.
【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于运用根的判别式解不等式即可.
16. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于_____．
【答案】4
【解析】
【分析】首先作⊙O的直径CD，连接BD，可得∠CBD=90°，然后由直角三角形的性质，即可求得答案．
【详解】解：作⊙O的直径CD，连接BD，
∴∠CBD=90°，
∵∠D=∠BAC=30°，BC=2，
∴CD=2BC=4，
即⊙O的直径为4．
故答案为4.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝20cm，弦BC＝12cm，F是弦BC的中点．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t≤10），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_______．
【答案】5或8.2
【解析】
【分析】求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长，再求出t即可．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，
∴BF=BC=6cm，
有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠EFB=90°，
∴AC∥EF，
∵F为BC的中点，
∴E为AB的中点，即E和O重合，
∵AB=20cm，
∴AE=AO=AB=10cm，
∴；
②当∠FEB=90°时，如图：
∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
解得：BE=3.6（cm），
∵AB=20cm，
∴AE=AB-BE=16.4cm，
∴；
故答案为：5或8.2．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．
18. 我们规定:平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D－d．在平面直角坐标系xOy中，图形G为以原点O为圆心，2为半径的圆，则点A(1，－1)到图形G的距离跨度是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；
【详解】解：如图，
过点A作圆O的直径EF，则EF=4，d=AF，D=EA
∵A(1，－1)，
∴OA=，
∴D=EA=OE+OA=2+，d=AF= OF-OA=2-，
∴R＝D－d=，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，由已知点的坐标计算距离跨度是解本题的关键．
三．解答题
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解可得答案；
（2）方程移项后，利用因式分解法求解可得答案．
【详解】解：（1）∵x2+4x+4＝0，
∴（x+2）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣2；
（2）∵3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（2x﹣6）＝0，
则x﹣2＝0或2x﹣6＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. （1）根据要求，解答下列问题：
①方程解为 ；
②方程的解为 ；
③方程的解为 ；
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程的解为 ．
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n；
（3）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；（3），验证见详解．
【解析】
【分析】（1）①②③，都利用十字相乘法即可解方程；
（2）①利用十字相乘法解方程即可；
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，可以写出对应方程；
（3）根据配方法解方程即可解出方程，从而验证猜想的正确性．
【详解】解：（1）①
（x-1）（x-1）=0
②
（x-1）（x-2）=0
③
（x-1）（x-3）=0
（2）①
（x-1）（x-9）=0
②根据方程的规律，一次项系数绝对值比常数项多1，而且常数项为方程除1的另外一个解，故常数项就是n，所以一次项系数绝对值为（n+1），按照规律一次项系数为负的，故方程为；
（3）
，
故猜想正确．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法以及找规律，熟练一元二次方程的解法是解决本题的关键．
21. 为了了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了名八年级学生，对其每周平均课外阅读时间进行统计，并绘制成下面的统计图.
（1）这名同学每周阅读时间的众数为 小时，中位数为 小时.
（2）求出这组数据的平均数.
【答案】（1）3，3；（2）2.52小时.
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义即可求解；
（2）根据加权平均数的定义即可求解.
【详解】解：（1）∵数据小时出现了次，出现次数最多，所以众数是小时；
这组数据总数为，所以中位数是第、位数的平均数，即小时.
故答案为：3；3，
（2）这组数据的平均数：
小时.
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知众数、中位数与加权平均数的定义.
22. “疫情”期间，某小区准备搭建一个面积为12平方米的矩形临时隔离点ABCD，如图所示，矩形一边利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米），另外三边用9米长的建筑材料围成，为方便进出，在与围墙平行的一边要开一扇宽度为1米的小门EF，求AB的长度为多少米?
【答案】3
【解析】
【分析】根据临时隔离点ABCD总长度是10米，AB=x米，则BC=（10-2x）米，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（9+1-2x）米，
根据题意可得，x（10-2x）=12，
解得x1=3，x2=2，
当x=3时，AD=4＜5，
当x=2时，AD=6＞5，
∵可利用的围墙长度仅有5米，
∴AB的长为3米．
答：AB的长度为3米．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【解析】
【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；
【详解】解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．
24. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若x=1是该方程的根，求代数式的值．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到△=8m2，从而可判断△≥0，于是得到结论；
（2）利用一元二次方程根的定义得到2m2-4m=-1，再利用完全平方公式得到=2m2-4m+2+3，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）证明：∵=（-4m）2-4•2m2=8m2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把x=1代入方程得1-4m+2m2=0，则2m2-4m=-1，
∴=2m2-4m+2+3=-1+2+3=4．
故答案为（1）见解析；（2）4．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
25. “疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．
（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．
【答案】（1）（180﹣3x）件；（2）①该商品的售价为30元/件；②李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
【解析】
【分析】（1）售价设为x元，那么降低的价格就是元，那么增加的销量是件，再加上原来的60件就得到表达式；
（2）①根据利润=销量（售价-成本）列方程求出售价；
②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额．
【详解】解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件；
（2）①依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去），
答：该商品的售价为30元/件；
②0.5×(180﹣3×30)＝45（元），
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量（售价-成本）列方程求解．
26. 如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求圆的半径及的长．
【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）圆的半径为1.5，的长为
【解析】
【分析】（1）欲证明 CD是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为 r．在 Rt△OBE中，根据，可得， 推出 r＝1.5，由 ，推出，可得 CD＝BC＝3，再利用勾股定理即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接．
，，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设的半径为．
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
圆的半径为1.5，的长为
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
27. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D．
（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I．求证：点I是△ABC的内心；
（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E．求证：；
（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC=8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理得到∠DBC=∠BAD，利用三角形的外角性质推出∠BID=∠IAB+∠IBA，由作图知∠DBI=∠BID，即可证明∠ABI=∠CBI，从而证得结论；
（2）证明△BED△AEC，利用对应边成比例结合DB=DI，即可证明结论；
（3）当A在中点时，△ABC内切圆最大，利用垂径定理、等腰三角形的性质结合解直角三角形即可求解．
【详解】（1）连接BI，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
由圆周角定理得：∠CAD=∠DBC，
∴∠DBC=∠BAD，
由作图知：DB=DI，
∴∠DBI=∠BID，
∠DBI=∠DBC+∠CBI，
∠BID=∠BAD+∠ABI，
∴∠ABI=∠CBI，
∴BI是∠ABC的角平分线，
∴点I是△ABC的内心；
（2）∵∠DBC=∠CAD，∠BED=∠AEC，
∴△BED△AEC，
∴，即，
由（1）得：DB=DI，
∴；
（2）由题意知，当A在中点时，△ABC内切圆最大，
如图，△ABC内切圆与AB切于点D，与BC切于点E，连接 ID， AO，
∵A在中点，
∴OA⊥BC，且△ABC是等腰三角形，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴点A、I、E、O在同一直线上，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAI＝60°，∠ABC＝30°，
设△ABC内切圆的半径为，则ID= IE=，
在△AID中，，
∴AI=，
在△ABE中，，即AE=，
∵AE=AI+IE，
∴，
解得：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了三角形内心的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题．
28. 如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O,动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示：
（1）AD边的长为 ．
（2）如图③，动点P到达点D后从D点出发，沿着DB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点P为圆心，PD长为半径的⊙P与DB、DC的另一个交点分别为M、N，与此同时，点Q从点C出发，沿着CD方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，以点Q为圆心、2为半径作⊙Q．设运动时间为t秒（0＜t≤5）．
①当t为何值时，点Q与点N重合？
②当⊙P与BC相切时，求点Q到BD的距离．
【答案】（1）8；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由函数图像可知，当P点到达B点时，，在根据矩形的性质得到，得到关于AB的方程，求解即可；
（2）①过P作于H，连接PN，证明，得到，在根据勾股定理分析计算即可；②设与BC相切与点G，连接PG，过Q作于K，证明和，列式计算即可；
【详解】（1）由函数图像可知，当P点到达B点时，
，
当P点到达C点时，P点走过的长为，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
即；
故答案是8．
（2）①过P作于H，连接PN，
∵，，
∴，PH∥BC，
∴，
∴，
在Rt△BCD中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当Q点与N点重合时，，
∴，
解得，
∴当时，Q点与N点重合；
故答案是．
②设与BC相切与点G，连接PG，过Q作于K，
∴，，
∵PG∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点Q到BD的距离为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了与圆有关动点问题，结合相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程求解是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
平均数（分）
95
97
95
97
方差
0.5
0.5
0.2
0.2
x
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
x2+x－1
－0.0619
－0.04
－0.0179
0.0044
0.0269