2021-2022学年江苏省苏州市相城区阳澄湖中学九年级（上）期初数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省苏州市相城区阳澄湖中学九年级（上）期初数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 苏州市区今年共有名考生参加中考，为了了解这名考生的体育成绩，从中抽取了名考生的体育成绩进行统计分析，以下说法正确的是(    )

A. 该调查方式是普查
B. 名考生是总体
C. 名考生的体育成绩是总体的一个样本
D. 样本容量是名考生

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 一个不透明的盒子中装有白球和个黑球，它们除了颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到黑球是(    )

A. 必然事件 B. 随机事件
C. 不可能事件 D. 以上事件都有可能

4. 若代数式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是(    )

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

8. 如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 将矩形如图放置，为坐标原点，若点，点的纵坐标是，则点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，等边的顶点，分别在函数图象的两个分支上，且经过原点当点在函数的图象上移动时，顶点始终在函数的图象上移动，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 当满足条件______时，分式有意义．
12. 若点，在同一个反比例函数的图象上，则的值为______．
13. “学习”的英语单词“”中，字母“”出现的频率是______ ．
14. 通常规定，不可能事件发生的概率是______ ．
15. 关于的方程有增根，则 ______ ．
16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于和两点，若，则的取值范围是______ ．

17. 如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为______ ．

18. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    解分式方程：
    ；
    ．
21. 本小题分
    先化简，再从不等式组的整数解中选一个合适的的值代入求值．
22. 本小题分
    如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点网格线的交点为顶点的．
    将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段点，分别为，的对应点
    以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的倍，得到线段点，分别为，的对应点，在网格内画出线段．

23. 本小题分
    已知：如图，在中，、、分别是各边的中点，是高．
    求证：四边形是平行四边形；
    ．

24. 本小题分
    某校为了解全校名学生的视力情况，进行了一次视力抽样调查，并将调查所得的数据整理如图表．
    学生视力抽样调查频数分布表

根据以上图表信息，解答下列问题：
表中的 ______ ， ______ ．
请把频数分布直方图补充完整画图后请标注相应的数据
该校名学生视力达到及其以上的学生共约有多少人？

25. 本小题分
    月中下旬正是苏州东山特色水果--“乌紫杨梅”成熟的时候．某水果店第一次用元购进一批乌紫杨梅，由于销售情况良好，该店又用元购进一批乌紫杨梅，所购数量是第一次购进数量的倍，但进货价每千克涨了元．问：第一次所购乌紫杨梅的进货价是每千克多少元？
26. 本小题分
    如图，过点，的直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数的图象上，且在点的右侧，过点作轴的平行线交直线于点．
    求直线和反比例函数的表达式；
    若面积为，求点的坐标．

27. 本小题分
    如图，在中，是角平分钱，点在上，且．
    求证：∽；
    若，求的长．

28. 本小题分
    动点在▱边上沿着的方向匀速移动，到达点时停止移动已知的速度为个单位长度，其所在位置用点表示，到对角线的距离即垂线段的长为个单位长度，其中与的函数图象如图所示．
    若，求当时的面积；
    如图，点，分别在函数第一和第三段图象上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、，设、时点走过的路程分别为、，若，求、的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：苏州市区今年共有名考生参加中考，为了了解这名考生的体育成绩，从中抽取了名考生的体育成绩进行统计分析，
A.该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B.名考生的体育成绩是总体，故B不符合题意；
C.名考生的体育成绩是总体的一个样本，故C符合题意；
D.样本容量是，故D不符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

2.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：一个不透明的盒子中装有白球和个黑球，它们除了颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，
可能摸到白球，有可能摸到黑球，因此是随机事件，
故选：．
根据随机事件的意义进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据二次根式的意义，得，
解得．
故选：．
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用合比性质求解．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式；
故选：．
直接根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：．
利用菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定和矩形的性质依次判断可求解．
本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定和性质是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，

过点作轴于点，
，，
，
又，
∽，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点，点的纵坐标是，
，
，
，
，
点的坐标是：
故选：．
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识，正确得出的长是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数图象关于原点对称，
，
连接，过作轴于，过作轴于，
是等边三角形，
，
，，
，
设，则，，
轴，轴，
，
，
∽，
，
顶点在函数图象的分支上，
，
，
顶点始终在函数的图象上，
，
故选：．
根据反比例函数图象的对称性可得，设，则，，根据等边三角形三线合一可证明∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论．
本题考查了综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式有意义则分母不等于零进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
 

12.【答案】． 

【解析】解：点、在同一个反比例函数的图象上，
，解得．
故答案为．
根据反比例函数中，为定值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：“学习”的英语单词“”中，一共有个字母，有个，
字母“”出现的频率是．
故答案为：．
直接利用频率的定义分析得出答案．
此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：不可能事件发生的概率是，即不可能事件；
故答案为：．
必然事件就是一定会发生的事件，不可能事件就是一定不会发生的事件，不确定事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可解答．
此题考查了概率，必然事件，随机事件，概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．生活中的事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中必然事件发生的概率为，即必然事件；不可能事件发生的概率为，即不可能事件；如果为不确定事件，那么．
 

15.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程得：．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

16.【答案】或 

【解析】解：点，都在函数的图象上．
．
，
由图象可知，当，的取值范围为：或．
故答案为：或．
求出函数表达式，进而求得的坐标，然后利用函数图象求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交延长线于，则
四边形是正方形
，，，
，
四边形为菱形，
，
，
是等腰直角三角形，设，则
，
在中，
，解得：舍去，，
，
故答案为：．
过点作交延长线于，根据正方形性质可得：，，再由菱形性质可得：，，，因此是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可列方程求解．
本题考查了正方形性质，菱形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，解题关键是利用勾股定理建立方程求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，，过作于，
平行四边形中，对角线相交于点，
，
又是边的中点，
是的中位线，
，，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
连接，，，过作于，由三角形中位线定理得出，，再证四边形是平行四边形，可得，求得的面积即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证出四边形为平行四边形是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


． 

【解析】先化简，绝对值运算，再算加减即可；
利用二次根式的乘法的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

21.【答案】解：原式
，
解不等式组得，
其整数解为，，，，，
要使原分式有意义，
且，
可取，．
当 时，原式，
或当 时，原式 

【解析】此题主要考查了分式的化简求值和一元一次不等式组的整数解，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
首先利用分式的混合运算法则进行化简，再解不等式组，得出的值，把已知数据代入即可．
 

22.【答案】解：线段即为所求
；
线段即为所求． 

【解析】根据旋转的性质画出图形即可；
根据位似变换画出图形解答即可．
此题考查作图位似变换，关键是根据旋转的性质和位似变换画出图形解答．
 

23.【答案】证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
且，
点是的中点，
，
且，
四边形是平行四边形；
连接，如图所示：
于，
，
点、分别是、的中点，
，，
点、、分别是、、的中点，
、都是的中位线，
，，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由三角形中位线定理得且，再证，则且，即可得出结论；
证≌，即可证得．
此题考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形全等的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：人，
人，
，
故答案为：，；
补全频数分布直方图如图所示：

人，
答：该校名学生视力达到及其以上的学生共约有人．
从统计表中，组的频数是人，频率为，根据频率可求出样本容量，进而确定、的值；
根据的值，即可补全频数分布直方图；
求出样本中视力达到及其以上的学生所占的百分比即可估计总体的百分比，进而计算得出结果．
本题考查频率分布表、频数分布直方图，理解统计图表所蕴含的数量关系是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：设第一次所购乌紫杨梅的进货价是每千克元，则第二次所购乌紫杨梅的进货价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：第一次所购乌紫杨梅的进货价是每千克元． 

【解析】设第一次所购乌紫杨梅的进货价是每千克元，则第二次所购乌紫杨梅的进货价是每千克元，根据数量总价单价，结合第二次购进的数量是第一次购进数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：设直线的解析式为，
把点，代入得，
解得，
直线为，
点在直线上，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数为；
轴，
、的横坐标相同，
设，则，
，
整理得，
解得或，
点的坐标为或． 

【解析】设直线的解析式为，把点，代入，根据待定系数法即可求得直线的解析式，由直线解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
表示出、的坐标，然后根据三角形面积公式得到，整理得，解得或，即可求得点的坐标为或．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出、的坐标是解题的关键．
 

27.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
∽；
解：，
，
设，
，
∽，
：：，
即：：，
解得：，
的长是． 

【解析】利用已知条件易证，进而证明∽；
首先证明，设，所以，利用中相似三角形的对应边成比例即可求出的值，即的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．
 

28.【答案】解：如图：

由题意知：当时，点在点，此时最长为，即；
当点运动到点时，，
；
当点运动到点时，的值最长，与点在点时的值相等，即，
，
当时，点在边上，即，
，
则时对应的点在和之间的函数图象上，
设此时函数为，把，分别代入得：
，
解得：，
当时，，
在中，由勾股定理得：，

；
由题意可得，．
，
，
线段平行于横轴，
，即此时的值相同，
，即，

联立得：，
解得：，
，． 

【解析】当时，点在点，可知；当点运动到点时，，结合图，可知的值；当点运动到点时，的值与点在点时的值相等，可求得与的值；时对应的点在和之间的函数图象上，用待定系数法求得此段函数解析式，则可得时的值；在中，由勾股定理求得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可；
由题意可得，，根据线段平行于横轴，可得出即，从而可得方程组，解方程组即可．
本题考查了动点问题的函数图象，准确理解题意、数形结合、分段讨论是解题的关键．