2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，属于一元二次方程的是
( )
A. x−2=0B. x+3y=1C. x2+2x+1=0D. x2=1
2.在同一平面内，已知⊙O的半径是5，点A到圆心的距离为4，则点A与⊙O的位置关系是
( )
A. 点A在圆内B. 点A在圆上C. 点A在圆外D. 无法确定
3.如图，在ΔABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，若AD=2，BD=3，DE=2，则BC的长是
( )
A. 3B. 92C. 5D. 152
4.如图，点B，C，D在⊙O上，∠BOC=120∘，点A是BC的中点，则∠BDA的度数是
( )
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘
5.若关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+4=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是
( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
6.如图是甲，乙两射击运动员的5次射击训练成绩的折线统计图．已知甲，乙两名运动员5次射击训练的平均成绩相同，均为8环．则在这5次训练中，哪位运动员的发挥更稳定？
( )
A. 甲更稳定B. 乙更稳定C. 一样稳定D. 无法判断
7.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为
( )
A. 3 32B. 2 2C. 2 3D. 83
8.如图，⊙O是ΔADB，ΔBDC的外接圆，∠DBC=2∠ADB，若AB=2 5，CD=8，则⊙O的半径为
( )
A. 2 5B. 5C. 112D. 3 3
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.方程x2=9的根是 ．
10.在杭州亚运会的跳水比赛中，对某运动员的第一个动作，8位裁判的打分如下(单位：分):9，8.5，7.5，8.5，8.5，7.5，7，8，这组数据的极差是 ．
11.若圆锥的底面半径为3，母线长为6，则圆锥的侧面积等于 ．
12.如图是一个照相机成像的示意图．如果AB为35mm，点O到AB的距离是70mm，那么拍摄7m外的景物A′B′的长度是 米．
13.设x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个根，则x12+3x2+3= ．
14.如图，点E是ΔABC的外心，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点F，G，再分别以F，G为圆心，大于12FG长为半径画弧，两弧交于点H；以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点K.作射线BH，射线CK，BH与CK交于点D.连接AD，连接BE，若∠CAD=38∘，则∠EBC的度数为 ∘．
15.如图，直线AB，CD交于点F，∠AFC=45∘，点E是AF上一点，EF=10cm，点O从点E出发，以1cm/s的速度沿射线EB运动．以点O为圆心， 23OE长为半径作⊙O，若点O运动的时间为t，当⊙O与直线CD相切时，则t的值为 秒．
16.在同一平面直角坐标系中有A，B，C三点，已知点A(2,0)，B(8,0)，点C是第一象限内的一个动点，且∠ACB=60∘.当BC最长时，点C的坐标为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共6分）
17.解方程：
(1)x2−6x=0；
(2)3x(x−2)=x−2．
四、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−6x−m=0的一个根是−2，求它的另一个根和m的值．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE=2BE，AE交BD于点F．
(1)求BFDF的值；
(2)△BEF与△DAF的面积的比为 ．
20.(本小题8分)
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．幸福中学七年级1班班主任为了解班级学生上周在家阅读时长(单位：小时)的情况，对全班40名学生进行问卷调查．
所得的结果如图所示．
(1)这40名学生上周阅读时间的众数为 小时，中位数为 小时；
(2)求这40名学生上周在家阅读的平均时长？
21.(本小题8分)
如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将ΔBCE沿着BE翻折，点C恰好落在AD上的点F处．
(1)求证：ΔABF∽ΔDFE；
(2)若AB=6，BC=10，求EF的长．
22.(本小题8分)
如图，⊙O的圆心O与正三角形ABC的中心重合，已知⊙O的半径和扇形ABC的半径都是6 3．
(1)若将扇形ABC围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h．
①求扇形ABC的弧长；
②则h的值为_ ；
(2)⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为 ．
23.(本小题8分)
定义新运算“♁”：对于实数m，n，p，q，有[m,p]♁[q,n]=mn+pq，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：[2,3]♁[4,5]=2×5+3×4=22．
(1)求关于x的方程[x2,x−1]♁[3,1]=0的根；
(2)若关于x的方程[x2+1,x]♁[1−2k,k]=0 有两个实数根，求k的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，直线AE经过⊙O上的一点A，⊙O是ΔADC的外接圆，AB是⊙O的直径，CH⊥AE于点H，点D是AB的中点，∠ADC=∠EAC.取AD的中点F，连接BF．
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若CH=2，AC=5，求BF的长．
25.(本小题8分)
为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为1.2万人，第三周的游客人数为2.7万人．
(1)若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率．
(2)村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？
26.(本小题8分)
已知矩形ABCD中，BC=8cm，点G是对角线AC上一点，且CG= 5cm，点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x.若ΔFHG面积记为S1，ΔHEG面积记为S2，ΔFEG面积记为S3.当点F运动到点G的正上方时，E，F两点运动停止．
(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S1与x的函数图象如图②所示，则AB的长为 cm；
(2)在(1)的条件下，如图③，点F在线段BC上运动：
①若EF=2 5cm，求此时x的值；
②若S2⋅S3=68，求此时x的值．
27.(本小题8分)
如图①所示，已知AB是⊙O的直径，点C在半径OA上，点D，点F是圆上的点，CD//OF，点E是半径OB的中点，DE与OF交于点G，连接BG，BF．
(1)如果DC⊥AB，连接OD，如图②所示；
①则∠F的度数为 ∘；
②若∠DOF=∠DEC，CO=6，求线段OE的长；
(2)若OB=BG，BE=CO，求OGOF的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一判断即可解答．
解：A、x−2=0，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、x+3y=1，是二元一次方程，故B不符合题意；
C、x2+2x+1=0，是分式方程，故C不符合题意；
D、x2=1是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断．
解：∵⊙O的半径为5，OA=4，
∴点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】由DE//BC，可得出ΔADE∽ΔABC，再利用相似三角形的性质，即可求出BC的长．
解：∵DE//BC，
∴ΔADE∽ΔABC，
∴BCDE=ABAD=AD+BDAD，即BC2=2+32，
∴BC=5．
故选：C．
4.【答案】A
【解析】连接OA，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB=∠AOC=60∘，由圆周角定理即可求出∠BDA=12∠AOB=30∘．
解：连接OA，
∵点A是BC的中点，
∴∠AOB=∠AOC，
∵∠BOC=120∘，
∴∠AOB=12∠BOC=60∘，
∴∠BDA=12∠AOB=30∘．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内即可判断．
解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2m−1)2−4×1×4>0，
解得：m>2.5或x<−1.5，
取m=−2，
故选：D．
6.【答案】A
【解析】从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，最后作出判断即可．
解：由图中知，甲的成绩为8，9，8，7，8，
乙的成绩为10，7，8，6，9，
甲的平均成绩：(8+9+8+7+8)÷5=8，
甲的方差S甲2=[3×(8−8)2+(9−8)2+7−8)2÷5=0.4，
乙的平均成绩：(10+7+8+6+9)÷5=8，
乙的方差S乙2=[(10−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(6−8)2+9−8)2÷5=2，
∴S2_甲．
故甲更稳定．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】作AC⊥OB于C，利用等腰直角三角形的性质求出ΔAOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．
解：如图，作AC⊥OB于C，
∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，
∴∠AOB=45∘，OA=1，
∴AC= 22，
∴ΔAOB的面积为12×1× 22= 24，
∴正八边形面积为8× 24=2 2，
∴π的估计值为2 2，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，根据圆心角、弧、弦的关系求出DE，根据勾股定理计算即可．
解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OE⊥CD，交CD于点F，交⊙O于点E，
则∠DOE=12∠DOC，DF=12CD=4，
∵∠DBC=2∠ADB，
∴∠DOC=2∠AOB，
∴∠DOE=∠AOB，
∴DE=AB=2 5，
∴EF= DE2−DF2=2，
设⊙O的半径为r，
在RtΔODF中，OD2=DF2+OF2，即r2=42+(r−2)2，
解得：r=5，
故选：B．
9.【答案】x1=3，x2=-3
【解析】解：x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=-3.
故答案为：x1=3，x2=-3.
利用直接开平方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
10.【答案】2
【解析】根据极差的公式：极差=最大值−最小值．找出所求数据中最大的值9，最小值7，再代入公式求值．
解：∵数据中最大的值9.7，最小值8，
∴极差=9−7=2．
∴这组数据的极差是2．
故答案为：2．
11.【答案】18π
【解析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．
解：圆锥的侧面积=12Cl=12×2πrl=6×6π×12=18π．
故答案为：18π．
12.【答案】3.5
【解析】根据题意得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：过O作OH⊥AB于H，延长HO交A′B′于H′，
∵AB//A′B′，
∴OH′⊥A′B′，
∴ΔABO∽△A′B′O，
∴ABA′B′=OHO′H′，
∴35A ′B ′=707000，
解得：A ′B ′=3500mm，
∴A ′B ′=3.5m
答：拍摄7m外的景物A′B′的长度是3.5米，
故答案为：3.5．
13.【答案】11
【解析】根据根与系数的关系得x1+x2=3，根据方程解的定义得x12−3x1+1=0，即x12=3x1−1，代入所求的式子计算即可．
解：∵x1，x2是方程x2−3x+1=0的两个根，
∴x1+x2=3，x12−3x1+1=0，
∴x12=3x1−1，
∴x12+3x2+3
=3x1−1+3x2+3
=3(x1+x2)+2
=9+2
=11．
故填空答案：11．
14.【答案】14
【解析】连接EC，求出∠BEC，再利用等腰三角形的性质求解．
解：连接EC．
由作图可知，AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC=76∘，
∵点E是ΔABC的外心，
∴∠BEC=2∠BAC=152∘，EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=12(180∘−152∘)=14∘．
故答案为：14．
15.【答案】6或30
【解析】当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，根据切线的性质得到OH= 23OE，再根据等腰直角三角形的性质得到OF=23OE，则OE=10−23OE，解方程求出OE，然后计算此时t的值；当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，同样得到O′H′= 23OE′，O′F=23O′E，则O′E=10+23O′E，解方程求出O′E，然后计算此时t的值．
解：当O点在F点左侧与⊙O相切时，作OH⊥CD于H点，如图，
∴OH= 23OE，
∵∠AFC=45∘，
∴OF= 2OH= 2× 23OE=23OE，
∴EO=EF−OF，
∴OE=10−23OE，
解得OE=6，
此时t=61=6(秒)；
当O点在F点右侧与⊙O相切时，作O′H′⊥CD于H′点，如图，
∴O′H′= 23OE′，
∵∠DFB=∠AFC=45∘，
∴O′F= 2O′H′= 2× 23O′E=23O′E，
∴EO′=EF+O′F，
∴O′E=10+23O′E，
解得O′E=30，
此时t=301=30(秒)；
综上所述，t的值为6秒或30秒．
故答案为6或30．
16.【答案】(2,2 3)
【解析】根据∠ACB=60∘得出点C的运动轨迹，再由BC最长即可解决问题．
解：因为A(2,0)，B(8,0)，且∠ACB=60∘，
所以可构造出以∠ACB为圆周角的圆．
如图所示，
当点C在BP的延长线与⊙P的交点处时，
BC取得最大值，即为⊙P的直径．
因为BC为⊙P的直径，
所以∠CAB=90∘，
又AB=8−2=6，且∠ACB=60∘，
则在RtΔABC中，
tan∠ACB=ABAC，
即 3=6AC，
所以AC=2 3，
因此点C的坐标为(2,2 3)．
故答案为：(2,2 3)．
17.【答案】【小题1】
解：x2−6x=0，
x(x−6)=0，
∴x=0或x−6=0，
∴x1=0，x2=6；
【小题2】
解：3x(x−2)=x−2，
3x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(3x−1)=0，
∴x−2=0或3x−1=0．
∴x1=2，x2=13．

【解析】1.
利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
2.
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
18.【答案】解：把x=−2代入方程得4+12−m=0，解得m=16，
方程化为x2−6x−16=0，
设方程的另一根为x2，
则−2+x2=6，
解得x2=8，
即方程的另一个根为8，m的值为16．

【解析】先把x=−2代入方程得m=16，则方程化为x2−6x−16=0，然后利用根与系数的关系即可求得方程的另一个根．
19.【答案】【小题1】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵CE=2BE，
∴BE=13BC，
∴BE=13AD．
∵AD//BC，
∴ΔBFE∽ΔDFA，
∴BFDF=BEAD=13；
【小题2】
19

【解析】1.
利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
2.
利用相似三角形的性质解答即可．
解：由(1)知：ΔBFE∽ΔDFA，
∴ΔBEF与ΔDAF的面积的比=(BEAD)2=(13)2=19．
故答案为：19．
20.【答案】【小题1】
7
6.5
【小题2】
解：40名学生上周在家阅读的平均时长=10×5+10×6+15×7+5×840=6.375小时．

【解析】1.
利用众数及中位数的定义确定答案即可；
解：∵40名学生中阅读时间为7小时的有15人，最多，
∴众数为7小时；
中位数为第20和21名学生阅读的平均数，
即6+72=6.5小时，
故答案为：7，6.5；
2.
利用平均数的计算方法求得答案即可．
21.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∴∠AFB+∠ABF=90∘，
由折叠的性质，可知∠BFE=∠C=90∘，
∴∠AFB+∠DFE=90∘，
∴∠ABF=∠DFE，
∴ΔABF∽ΔDFE；
【小题2】
解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=10，
∴BC=AD=10，AB=CD=6，
由折叠的性质可知：BF=BC=10，
∵∠A=90∘，
∴AF= BF2−AB2= 102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
由(1)知：ΔABF∽ΔDFE，
∴BFFE=ABDF，
即10FE=62，
解得EF=103．

【解析】1.
根据矩形的性质和相似三角形的判定方法，可以证明结论成立；
2.
根据勾股定理，可以求得BF的长，再根据折叠的性质和相似三角形的性质可以得到EF的长．
22.【答案】【小题1】
解：①60π×6 3180=2 3π，
答：扇形ABC的弧长为2 3π；
②∵圆锥的底面半径为2 3π2π= 3，
∴圆锥的高h= (6 3)2−( 3)2= 105；
故答案为： 105；
【小题2】
6 3−6

【解析】1.
①直接根据弧长公式计算即可；
②求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出h的值；
2.
连接OB交⊙O于点D，则BD的长是⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值．
解：如图，连接OB交⊙O于点D，作OE⊥BC于点E，
则BD的长是⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值，
∵O是正三角形ABC的中心，
∴BE=12BC=3 3，∠OBE=30∘，
∴OB=2OE
∵OB2=OE2+BE2
∴OB2=14OB2+3 32
∴OB=6，
∴BD=OD−OB=6 3−6，
∴⊙O上任意一点到正三角形ABC上任意一点距离的最小值为6 3−6．
故答案为：6 3−6．
23.【答案】【小题1】
解：∵[x2,x−1]♁[3,1]=0，
∴x2+3(x−1)=0，
∴x2+3x−3=0，
∴Δ=32−4×1×(−3)=21>0，
∴x=−3± 212，
∴x1=−3+ 212，x2=−3− 212；
【小题2】
解：∵[x2+1,x]♁[1−2k,k]=0，
∴(x2+1)k+x(1−2k)=0，
整理得：kx2+(1−2k)x+k=0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ=(1−2k)2−4k⋅k⩾0，k≠0，
解得：k≤14且k≠0．

【解析】1.
由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，解方程即可．
2.
由新定义的运算，可得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
24.【答案】【小题1】
解：证明：如图，连接 BD，
∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90∘，
∴∠CDB+∠CDA=90∘
∵∠CDA=∠EAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠CAB+∠EAC=90∘，
即∠EAB=90∘，
∴EA⊥AB
∴AE为⊙O的切线；
【小题2】
解：如第(1)题图，连接DO、BC，
∵CH⊥AE，
∴∠CHA=90∘，∠CHA=∠ACB=90∘，
∵∠CAH=∠CBA．
∴ΔACH∼ΔBAC，
∴ACAB=CHAC，即5AB=25，
∴AB=252，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∵F为AD中点，
∴DF=12AD=12BD，
∵AB为⊙O的直径．
∴∠ADB=90∘，
∴2BD2=AB2=6254，
∴BD2=6258，
∵BD2+DF2=BF2，
∴(12BD)2+BD2=BF2，
∴BF2=54BD2，
∴BF2=54×6258=62516×52，
∴BF=25 108．

【解析】1.
连接BD，根据圆周角定理及其推论推出∠EAB=90∘即可；
2.
连接DO、BC，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证ΔACH∼ΔBAC，再根据“相似三角形的对应边的比相等“求出AB的长，由“点D为AB的中点”、“F为AD中点”推出DF=12AD=12BD，在RtΔABD中由勾股定理求出BD2，最后在RtΔBDF中由勾股定理即可求出BF的长．
25.【答案】【小题1】
解：设每周游客人数的平均增长率为x，
根据题意得：1.2(1+x)2=2.7，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不符合题意，舍去)．
答：每周游客人数的平均增长率为50%；
【小题2】
解：设每个售价定为y元，则每个的销售利润为(y−3)元，每天可售出1000−50×y−50.5=(1500−100y)个，
根据题意得：(y−3)(1500−100y)=3200，
解得：y2−18y+77=0，
解得：y1=7，y2=11(不符合题意，舍去)．
答：每个售价应定为7元．

【解析】1.
设每周游客人数的平均增长率为x，利用灯会开幕后第三周的游客人数=灯会开幕后第一周的游客人数×(1+每周游客人数的平均增长率) 2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
2.
设每个售价定为y元，则每个的销售利润为(y−3)元，每天可售出(1500−100y)个，利用每天销售这种猕猴桃的总利润=每个的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
26.【答案】【小题1】
4
【小题2】
解：①如图3，过点F作FI⊥AD于点I．
∵FI⊥AD，
∴∠FIE=90∘，
∵AE=x，BF=3x−4，
∴IE=2x−4．
在Rt △FIE中，FI2+IE2=EF2．
(2x−4)2+42=(2 5)2．
解得：x1=3，x2=1．
点F在线段BC上运动，
∴43≤x≤4，
∴此时x的值为3秒．
②如图3，过点G作GK⊥AD，交AD于点K，GJ⊥AB交AB于点J．
由题意得：ΔAGJ∽ΔACB，
∴ACAG=BCGJ，
∵AB=4，BC=8，
∴AC= 42+82=4 5
∵CG= 5，
∴AG=3 5．
∴GJ=6，
∵S2=SΔAHG+SΔAEG−SΔAHE，
∴S2=12×2×6+12×x×3−12×2×x
=12x+6，
∵S3=SΔABC+SΔAEG−SΔFGC−S梯形BAEF，
∴S3=18−5x，
∴S2⋅S3=(12x+6)(18−5x)=68．
解得：x1=−10，x2=85．
∵43≤x≤4，
∴此时x的值为85秒．

【解析】1.
根据两个图象的对比，可以找到当x=23时，点F与H会重合，即可求得．
解：由图②可知，
当x=23时，点F运动到了点H，
∴AF=23×3=2，
∴AH=2，
∴AB=2AH=4(cm)．
故答案为：4．
2.
分别作出直角三角形，利用相似求边长，再用x表示出三角形的面积，即可求得．
27.【答案】【小题1】
解：①∵DC⊥AB，CD//OF，
∴OF⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=90∘，
∵OB=OF，
∴∠F=∠OBF=45∘．
故答案为：45；
②设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，
∵DC⊥AB，
∴CD2+OC2=OD2，
∴CD2=r2−62=r2−36．
∵点E是半径OB的中点，
∴OE=12r．
∴EC=OC+OE=6+12r．
∵CD//OF，
∴∠CDO=∠DOF，
∵∠DOF=∠DEC，
∴∠CDO=∠DEC．
∵∠DCO=∠ECD，
∴ΔDCO∽ΔECD，
∴DCCO=ECCD，
∴CD2=CO⋅EC．
∴r2−36=6(6+12r)，
∴r=3±3 332(负数不合题意，舍去)，
∴r=3+3 332．
∴OE=12r=3+3 334．
【小题2】
解：延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，如图，
设GO=m，OE=x，
∵点E是半径OB的中点，BE=CO，
∴BE=CO=OE=x，
∴OB=GB=2x，OD=OB=2x．
∵CD//OF，CO=OE，
∴OG为ΔECD的中位线，
∴CD=2OG=2m，
∵CD//OF，
∴ΔBOG∽ΔBCK，
∴OGCK=BGBK=OBBC=2x3x=23，
∴CK=32m，BK=3x，
∴KG=x，DK=CD−CK=12m．
∵CD//OF，
∴ΔDKM∽ΔOGM，
∴DMOM=KMGM=DKOG=12mm=12，
∴DM=23x，OM=43x，KM=13x，MG=23x，
∴BM=BG+GM=2x+23x=83x，
∴KMDM=13x23x=12，OMBM=43x83x=12，
∴KMDM=OMBM，
∵∠KMD=∠OMB，
∴ΔKMD∽ΔOMB，
∴KDOB=KMOM，
∴12m2x=13x43x，
∴m=x，
∴OGOF=m2x=12．

【解析】1.
①利用垂直的定义，平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，利用勾股定理求得CD2，利用相似三角形的判定与性质得到CD2=CO⋅EC，从而得到关于r的方程，解方程即可得出结论；
2.
延长BG交DC于点K，连接OD，交BK于点M，设GO=m，OE=x，则OB=GB=2x，OD=OB=2x，利用三角形的中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质得出比例式，进而得到m=x，则结论可求．