全国版高考数学必刷题：第二单元　函数的概念与基本性质

这是一份全国版高考数学必刷题：第二单元　函数的概念与基本性质，共38页。试卷主要包含了存在函数f满足，故选C，已知函数f=3x-13x,则f等内容，欢迎下载使用。

第二单元　函数的概念与基本性质



考点一
函数的概念

1.(2015年浙江卷)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有(　　).
　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　　
　　A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x
C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|
【解析】选项A中,x分别取0,π2,可得f(0)对应的值为0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A错误;
选项B中,x分别取0,π,可得f(0)对应的值为0,π2+π,这与函数的定义矛盾,所以选项B错误;
选项C中,x分别取1,-1,可得f(2)对应的值为2,0,这与函数的定义矛盾,所以选项C错误;
选项D中,取f(x)=x+1,则对于任意x∈R都有f(x2+2x)=x2+2x+1=|x+1|,所以选项D正确.
综上可知,本题选D.
【答案】D
2.(2014年上海卷)设f(x)=(x-a)2,x≤0,x+1x+a,x>0,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为(　　).
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]
【解析】∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.
当x>0时,f(x)=x+1x+a≥2+a,当且仅当x=1时等号成立.
要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解得-1≤a≤2.
∴a的取值范围为[0,2].故选D.
【答案】D
3.(2015年全国Ⅱ卷)设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,2x-1,x≥1,则f(-2)+f(log212)=(　　).
A.3 B.6 C.9 D.12
　　【解析】∵-2<1,
∴f(-2)=1+log2(2+2)=1+log24=1+2=3.
∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1=122=6.
∴f(-2)+f(log212)=3+6=9.故选C.
【答案】C
4.(2016年江苏卷)函数y=3-2x-x2的定义域是　　　　. 
【解析】要使函数有意义,需3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,得(x-1)(x+3)≤0,即-3≤x≤1,故所求函数的定义域是[-3,1].
【答案】[-3,1]

考点二
函数的奇偶性

5.(2014年全国Ⅰ卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　).
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
【解析】令h1(x)=f(x)g(x),则h1(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h1(x),∴h1(x)是奇函数,A错误.
令h2(x)=|f(x)|g(x),则h2(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h2(x),∴h2(x)是偶函数,B错误.
令h3(x)=f(x)|g(x)|,则h3(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h3(x),∴h3(x)是奇函数,C正确.
令h4(x)=|f(x)g(x)|,则h4(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h4(x),∴h4(x)是偶函数,D错误.
【答案】C
6. (2015年广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(　　).
A.y=1+x2 B.y=x+1x
C.y=2x+12x D.y=x+ex
【解析】A选项中的函数的定义域为R,因为1+(-x)2=1+x2,所以该函数是偶函数.B选项中的函数的定义域为{x|x≠0},因为-x-1x=-x+1x,所以该函数是奇函数.C选项中的函数的定义域为R,因为2-x+12-x=12x+2x,所以该函数是偶函数.D选项中的函数的定义域为R,因为-x+e-x=1ex-x,所以该函数是非奇非偶函数.
【答案】D
7.(2017年北京卷)已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)(　　).
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
【解析】∵函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
∵函数y=13x在R上是减函数,
∴函数y=-13x在R上是增函数.
又∵y=3x在R上是增函数,
∴函数f(x)=3x-13x在R上是增函数.
故选A.
【答案】A
8.(2015年全国Ⅰ卷)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a=　　　　. 
【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+a+x2)-xln(x+a+x2)=0恒成立,
∴xln a=0恒成立,
∴ln a=0,即a=1.
【答案】1

考点三
函数的单调性及其综合应用

9.(2017年全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　).
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(1)=-1,∴f(-1)=-f(1)=1.
由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1).

　　又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.
【答案】D
10.(2016年天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是　　　　. 
【解析】∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-2)=f(2),
∴f(2|a-1|)>f(2),∴2|a-1|<2=212,
∴|a-1|<12,即-12 【答案】12,32
11.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+fx-12>1的x的取值范围是　　　　. 
【解析】由题意知,可对不等式分x≤0,012三段讨论.
当x≤0时,原不等式为x+1+x+12>1,解得x>-14,
∴-14 当01,显然成立.
当x>12时,原不等式为2x+2x-12>1,显然成立.
综上可知,x>-14.
【答案】-14,+∞


　　高频考点:求函数的定义域、分段函数求值、利用函数单调性解函数不等式、函数奇偶性的应用.
命题特点:1.求函数的定义域一般根据限制条件,列出不等式求解,此类问题难度不大.
2.分段函数的求值需根据自变量的范围确定对应的解析式,再代入运算,此类问题难度不大.
3.函数的奇偶性、单调性、周期性往往综合考查.解决这类综合考查问题常利用周期性和奇偶性把所求的函数解析式转化为已知区间内的函数解析式,再利用单调性分析或求解.


§2.1　函数的概念及其表示



一
函数的概念

　　给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f,使对于集合A中的　　　　一个数x,在集合B中都存在　　　　确定的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的　　　　,记作　　　　　　.此时,x叫作自变量,集合A叫作函数的　　　　　,集合{f(x)|x∈A}叫作函数的　　　　. 

二
函数的表示法

　　函数的表示法:　　　　、　　　　、　　　　. 

三
分段函数

　　若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子表示,则这种形式的函数叫作　　　　. 


☞ 左学右考

判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f(x)=x2x与g(x)=x是同一个函数.(　　)
(2)f(x)=|x|与g(x)=x,x≥0,-x,x<0是同一个函数.(　　)
(3)函数f(x)=x2+3+1的值域是{y|y≥1}.(　　)
(4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<3}.(　　)

知识清单
一、任何　唯一　函数　f:A→B,或y=f(x),x∈A　定义域
值域
二、解析法　列表法　图象法
三、分段函数
基础训练
【解析】(1)错误,因为f(x)=x2x的定义域是{x|x≠0},而g(x)=x的定义域是R,所以它们的定义域不相同,因此它们不是同一个函数.
(2)正确,因为f(x)=|x|与g(x)=x,x≥0,-x,x<0的定义域和对应法则完全相同,所以它们是同一个函数.
(3)错误,因为x2≥0,所以x2+3≥3,所以函数f(x)=x2+3+1的值域是{y|y≥3+1}.
(4)错误,因为f(x)的定义域为{x|1≤x<3},所以1≤2x-1<3,解得1≤x<2,故函数f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<2}.
【答案】(1)×　(2)√　(3)×　(4)×


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

题型一
求函数的定义域

　　【例1】(1)y=x-12x-log2(4-x2)的定义域是(　　).
　　A.(-2,0)∪(1,2) B.(-2,0]∪(1,2)
C.(-2,0)∪[1,2) D.[-2,0]∪[1,2]
(2)若函数y=f(x)的定义域是[1,20],则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是　　　　. 
【解析】(1)要使函数有意义,必须有x-12x≥0,x≠0,4-x2>0,
∴x∈(-2,0)∪[1,2),故选C.
(2)由已知函数f(x)的定义域为[1,20],可知1≤x+1≤20,解得0≤x≤19,故函数f(x+1)的定义域为[0,19].∴使函数g(x)有意义的条件是0≤x≤19,x-1≠0,解得0≤x<1或1 【答案】(1)C　(2)[0,1)∪(1,19]

　　(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.
【变式训练1】(1)函数f(x)=x+3+log2(6-x)的定义域是　　　　. 
(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为(　　).
A.[-1,1] B.[1,2]
C.[10,100] D.[0,lg 2]
【解析】(1)要使函数有意义,应满足x+3≥0,6-x>0,解得-3≤x<6.
(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,所以1≤x2+1≤2,所以f(x)的定义域为[1,2],所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].
【答案】(1)[-3,6)　(2)C

题型二
求函数的解析式

　　【例2】(1)已知f2x+1=lg x,则f(x)=　　　　. 
(2)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+2,则f(x)的解析式为　　　　. 
【解析】(1)令t=2x+1(t>1),则x=2t-1,
∴f(t)=lg2t-1,即f(x)=lg2x-1(x>1).
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b=2x+2,∴a=1,b=2,∴f(x)=x2+2x+c.又∵方程f(x)=0有两个相等的实根,∴Δ=4-4c=0,得c=1.故f(x)=x2+2x+1.

　　【答案】(1)lg 2x-1(x>1)　(2)f(x)=x2+2x+1

　　求函数解析式常用的方法有待定系数法、换元法、配凑法、转化法、构造方程组法.

【变式训练2】(1)已知f(x+1)=x+2x,则f(x)=　　　　. 
(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1x·x-1,则f(x)=　　　　. 
【解析】(1)设x+1=t(t≥1),则x=t-1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)=x2-1(x≥1).
(2)在f(x)=2f1x·x-1中,用1x代替x,得f1x=2f(x)·1x-1,
将f1x=2f(x)x-1代入f(x)=2f1x·x-1中,可求得f(x)=23x+13.
【答案】(1)x2-1(x≥1)　(2)23x+13


题型三
分段函数问题

　　【例3】(1)函数f(x)=sin(πx2),-1 A.1或-22 B.-22
C.1 D.1或22
(2)已知f(x)=(1-2a)x+3a,x<1,lnx,x≥1的值域为R,则a的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)∵f(1)=e1-1=1且f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.
当-1 当a≥0时,f(a)=ea-1=1⇒a=1.
综上可得a=-22或a=1,故选A.
(2)要使函数f(x)的值域为R,应满足1-2a>0,ln1≤1-2a+3a,即a<12,a≥-1,∴-1≤a<12,
故a的取值范围是-1,12.
【答案】(1)A　(2)-1,12

　　解决分段函数问题先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式,根据要求求解.但要注意检验所求值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.
【变式训练3】(1)已知函数f(x)=sinπx,x≤0,f(x-1),x>0,则f23的值为(　　).
A.-12 B.-32 C.12 D.32
(2)设函数f(x)=3x-b,x<1,2x,x≥1,若ff56=4,则b=　　　　. 
【解析】(1)由函数的解析式可得f23=f23-1=f-13=sinπ·-13=-32,故选B.
(2)f56=3×56-b=52-b,若52-b<1,即b>32,则3×52-b-b=152-4b=4,解得b=78,不满足条件,舍去;若52-b≥1,即b≤32,则252-b=4,解得b=12,满足条件.
【答案】(1)B　(2)12



方法一
分类讨论思想的应用

　　分类讨论思想在函数中应用广泛,如求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后通过分类讨论求解.
【突破训练1】已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为(　　).
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,故不存在实数a满足条件;当a≤0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.故选A.
【答案】A


方法二
待定系数法的应用

　　若已知函数类型求解析式,可用待定系数法求解,先设出f(x),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.
　　【突破训练2】若二次函数g(x)满足g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)的解析式为(　　).
A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x
C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x
【解析】设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g(1)=1,g(-1)=5,且g(x)的图象过原点,
∴a+b+c=1,a-b+c=5,c=0,解得a=3,b=-2,c=0,
∴g(x)=3x2-2x,故选B.
【答案】B



1.(2017广西南宁质检)下图中可作为函数y=f(x)的图象的是(　　).

【解析】选项D是“多对一”,而选项A、B、C均为“一对多”,由函数的定义知选D.
【答案】D
2.(2014年江西卷)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g(1))=1,则a=(　　).
A.1　　 　　B.2　　 　　C.3　　　 　D.-1
【解析】∵g(x)=ax2-x,∴g(1)=a-1.
∵f(x)=5|x|,∴f(g(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,
∴|a-1|=0,∴a=1.
【答案】A
3.(2017山东淄博月考)函数f(x)=2-xlnx的定义域是(　　).
A.(0,2) B.(0,1)∪(1,2)
C.(0,2] D.(0,1)∪(1,2]
【解析】要使函数有意义,则有2-x≥0,x>0,lnx≠0,即x≤2,x>0,x≠1,
所以0 【答案】D

4.(2017安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=x+2,则f(x)=(　　).
A.x+1 B.2x-1
C.-x+1 D.x+1或-x-1
【解析】设f(x)=kx+b(k≠0),则由f(f(x))=x+2,可得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2,∴k2=1,kb+b=2,解得k=1,b=1,则f(x)=x+1.故选A.
【答案】A
5.(2016河南八市高三质检)已知函数f(x)=x2-x,x≥0,g(x),x<0是奇函数,则g(f(-2))的值为(　　).
A.0 B.2 C.-2 D.-4
【解析】因为函数f(x)=x2-x,x≥0,g(x),x<0是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(4-2)=-2,所以g(f(-2))=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-2,故选C.
【答案】C
6.(2017江西金溪高三上期中)设函数f(x)=1+log6x,x≥4,f(x2),x<4,则f(3)+f(4)= 　　　　. 
【解析】f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,
故f(3)+f(4)=1+log69+1+log64=2+log6(9×4)=4.
【答案】4
7.(2017徐州沛县高三上第一次质检)函数y=lg(3x+1)+12-x的定义域是　　　　. 
【解析】由题意可得3x+1>0,2-x≠0,解得x>-13且x≠2,
故函数y=lg(3x+1)+12-x的定义域是xx>-13且x≠2.
【答案】xx>-13且x≠2
8.(2017山东青岛一中检测)奇函数f(x)在(0,+∞)上的表达式为f(x)=x+x,则在(-∞,0)上f(x)的表达式为f(x)=　　　　. 
【解析】设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x+-x.又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x--x,即当x∈(-∞,0)时,f(x)=x--x.
【答案】x--x
9.(2017山东省烟台市高三上期中)设函数f(x)=12x-1(x≥0),1x(x<0),若f(a)>a,则实数a的取值范围是　　　　. 
【解析】当a≥0时,f(a)=12a-1>a,解得a<-2,无解;
当a<0时,f(a)=1a>a,解得a<-1或a>1(舍去).
综上可得,a<-1.
【答案】(-∞,-1)

10.(2017四川遂宁零诊)设函数f(x)=x-1,则fx2+f4x的定义域为(　　).
A.12,4 B.[2,4]
C.(1,+∞) D.12,2
【解析】函数f(x)=x-1的定义域为[1,+∞),则x2≥1,4x≥1,解得2≤x≤4,
故所求函数的定义域为[2,4].
【答案】B
11.(2017湖北武汉四月调考)已知函数f(x)满足f1x+1xf(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=(　　).
A.-72 B.92 C.72 D.-92
【解析】已知函数f(x)满足f1x+1xf(-x)=2x(x≠0),令x=2可得f12+12f(-2)=4;　①
令x=-12可得f(-2)-2f12=-1.　②
联立①②可得f(-2)=72.
【答案】C
12.(2017山东烟台高三上期中)已知函数f(x)=lg(1-x)的值域为(-∞,0),则函数f(x)的定义域为(　　).
A.[0,+∞)　 B.(0,1)
C.[-9,+∞) D.[-9,1)
【解析】∵函数f(x)=lg(1-x)的值域为(-∞,0),
∴lg(1-x)<0,
∴0<1-x<1,解得0 则函数f(x)的定义域为(0,1).
【答案】B
13.(2017河北衡水武邑中学高三上二调)已知函数f(x)=sinπx3,x<1,-log2x,x≥1,且f(a)=-3,则f(6-a)等于(　　).
A.12 B.-12 C.32　　D.-32
【解析】∵f(x)=sinπx3,x<1,-log2x,x≥1,且f(a)=-3,
∴当a<1时,f(a)=sinaπ3=-3,不成立;
当a≥1时,f(a)=-log2a=-3,解得a=8.
∴f(6-a)=f(-2)=sin-2π3=-32.
【答案】D
14.(2017铁岭市协作体第一次联考)设函数f(x)=ln(-x),x<0,-lnx,x>0,若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】已知函数f(x)=ln(-x),x<0,-lnx,x>0,当m>0时,f(m)>f(-m),即为-ln m>ln m,则ln m<0,解得0 当m<0时,f(m)>f(-m),即为ln(-m)>-ln(-m),则ln(-m)>0,解得m<-1.
综上可得,m<-1或0 【答案】(-∞,-1)∪(0,1)

§2.2　函数的单调性与最值



一
函数的单调性

　　一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,
当x1 当x1
二
函数的单调区间



　　如果函数y=f(x)在区间D上是　　　　或　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　叫作y=f(x)的单调区间. 


三
函数的最值

　　设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有　　　　　　　; 
(2)存在x0∈I,使得　　　　　　　. 
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.


☞ 左学右考

1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则该函数的单调递增区间是[1,+∞).(　　)
(3)函数y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　)
(4)所有的单调函数都有最值.(　　)
2 已知函数f(x)=2x-1,x∈[2,6],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 

知识清单
一、f(x1)f(x2)
二、增函数　减函数　区间D
三、(1)f(x)≤M(或f(x)≥M)　(2)f(x0)=M
基础训练
1.【解析】(1)错误,不符合函数单调性的定义.
(2)错误,函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,只能说明[1,+∞)属于单调递增区间.
(3)错误,有多个单调区间的情况,只能用“,”隔开或写成“和”,不能写成并集、“或”的形式.
(4)错误,如函数y=x就没有最值.
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.【解析】函数f(x)=2x-1在区间[2,6]上单调递减,所以f(x)max=f(2)=22-1=2,f(x)min=f(6)=26-1=25.
【答案】2　25



题型一
函数单调性的证明

　　【例1】已知函数f(x)=x2+1-ax,其中a>0.
证明:当a≥1时,f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.
【解析】任取x1,x2∈[0,+∞),且x1 则f(x1)-f(x2)=x12+1-ax1-x22+1+ax2
=x12+1-x22+1-a(x1-x2)
=x12-x22x12+1+x22+1-a(x1-x2)
=(x1-x2)x1+x2x12+1+x22+1-a.
∵0≤x1 ∴0 又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

　　利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1 【变式训练1】已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足fx1x2=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:f(x)为减函数.
【解析】(1)令x1=x2>0,则f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则x1x2>1.
∵当x>1时,f(x)<0,∴fx1x2<0,即f(x1)-f(x2)<0,因此f(x1) ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

题型二
确定函数的单调区间

　　【例2】(1)函数f(x)=log12(x2-4)的单调递增区间是(　　).
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间为　　　　. 
【解析】(1)因为y=log12t(t>0)在定义域上是减函数,所以要求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).

(2)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
画出该函数的图象,如图.
由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1]和[0,1]上是增函数.
【答案】(1)D　(2)(-∞,-1]和[0,1]

　　求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法或求导法.
【变式训练2】函数f(x)=x2-2x-3的单调递增区间为　　　　. 
【解析】由x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,故该函数的单调递增区间为[3,+∞).
【答案】[3,+∞)


题型三
单调性的应用

　　【例3】(1)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f-12,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(　　).
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
(2)设定义在(0,+∞)上的增函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)-log3x)=4,则不等式f(a2+2a)>4的解集为(　　).
A.{a|a<-3或a>1} B.{a|a>1}
C.{a|-3 【解析】(1)因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f-12=f52.由x2>x1>1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.因为1<2<52f52>f(e),所以b>a>c.
(2)设f(b)=4,则对任意的x∈(0,+∞),有f(x)-log3x=b恒成立,再将x=b,f(b)=4代入前式,得log3b+b=4,可求得b=3,则f(x)=3+log3x,f(3)=4.又f(x)是定义在(0,+∞)上的增

函数,所以f(a2+2a)>4的解集为不等式a2+2a>3的解集,即为{a|a<-3或a>1},故选A.
【答案】(1)D　(2)A

　　(1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)已知函数单调性求参数范围的问题是讨论单调性的可逆过程,解法是根据单调性的概念得到“恒成立”的不等式,同时要注意定义域.
【变式训练3】已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则关于x的不等式f(2x-1) 【解析】由题意知2x-1≥0,2x-1<13,解得12≤x<23.
【答案】12,23

题型四
求函数的最值(值域)

　　【例4】已知函数f(x)=2x-ax的定义域为(0,1](a为实数).
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数f(x)取得最值时x的值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=2x-1x,任取1≥x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)-1x1-1x2
　　=(x1-x2)2+1x1x2.
∵1≥x1>x2>0,∴x1-x2>0,x1x2>0.
∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,
当x=1时,f(x)取得最大值1,
当x→0,且x>0时,f(0)→-∞,
∴f(x)的值域为(-∞,1].
(2)若a≥0,则y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时,f(x)取得最大值2-a.
若a<0,则f(x)=2x+-ax,当-a2≥1,即a∈(-∞,-2]时,y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时,f(x)取得最小值2-a;
当-a2<1,即a∈(-2,0)时,y=f(x)在0,-a2上单调递减,在-a2,1上单调递增,因此,f(x)无最大值,当x=-a2时,f(x)取得最小值2-2a.

　　求值域的常用方法:一是要掌握利用基本初等函数及它们的复合函数的性质求值域;二是要掌握利用单调性求值域;三是要掌握利用导数法求值域.这是三种最基本的方法,此外还有基本不等式法、数形结合法等.
【变式训练4】函数f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为　　　　. 
【解析】当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
【答案】2


方法一
巧用化归转化思想解题

　　(1)在利用定义法证明抽象函数的单调性时,应根据所给抽象关系式的特点,对x1或x2进行适当变形,进而比较出f(x1)与f(x2)的大小.

　　(2)求解含“f”的不等式问题时,应先利用已知条件将不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式,然后根据其单调性脱掉“f”,转化为关于x1与x2的不等式问题求解.
　　【突破训练1】 已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1;②当x>0时,f(x)>-1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.
【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=-1.
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,即f(x1-x2)>-1.
又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
所以f(x)在R上是增函数.
(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.
由f(x2+2x)+f(1-x)>4,得f(x2+x+1)>f(3).
又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,
解得x<-2或x>1,
故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.

方法二
分类讨论思想在研究函数单调性中的应用

　　使用函数的单调性求参数范围时,常常需要讨论,把要研究的问题根据题目的特点和要求,转化成若干个小问题来解决,即先按不同情况分类,然后逐一解决.
　　【突破训练2】若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是　　　　. 
【解析】当a=0时,f(x)=2x-3,它在定义域R上是单调递增的,故f(x)在(-∞,4)上单调递增;
当a≠0时,二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=-1a,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,
所以a<0,且-1a≥4,解得-14≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是-14,0.
【答案】-14,0





　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(遵义四中2018届月考)下列函数中,在定义域内单调且是奇函数的是(　　).
A.y=1x B.y=|ln x|
C.y=ln|x| D.y=3x3
【解析】A选项中的函数在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在定义域内不单调;B选项中的函数是非奇非偶函数;C选项中的函数是偶函数;D选项满足题意.
【答案】D
2.(2017长春质检)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是(　　).
A.(-∞,1] B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【解析】因为函数f(x)在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1.
【答案】A
3.(山东临沂一中2018届第二次月考)定义新运算“⊕”:当a≥b时,a⊕b=a2;当a A.-1 B.1 C.6 D.12
【解析】由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2;当1 ∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域内都为增函数,
∴在区间[-2,2]上,f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.
【答案】C
4.(2017衡水调研)已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0.若f(-a)+f(a)≤2f(1),则a的取值范围是(　　).
A.[-1,0) B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,2]
【解析】由题意知函数f(x)是偶函数,所以f(-a)=f(a),故原不等式等价于f(a)≤f(1),即f(|a|)≤f(1),而函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,故|a|≤1,解得-1≤a≤1.
【答案】C
5.(2017湖南师大附中高三月考)已知f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围是(　　).
A.(1,+∞)　 B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
【解析】由已知可得a>1,4-a2>0,a≥4-a2+2,解得4≤a<8.
【答案】B
6.(2017郑州模拟)设函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　. 
【解析】

由题意知函数g(x)=x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1,其图象是如图所示的实线部分,由图象可得g(x)的单调递减区间是[0,1).
【答案】[0,1)
7.(山东临沭一中2018届月考)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b.设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是　　　　. 
【解析】依题意,h(x)=log2x,02.
当0 当x>2时,h(x)=3-x是减函数,
∴h(x)在x=2时取得最大值,最大值是h(2)=1.
【答案】1
8.(2017石家庄调研)函数f(x)=13x-log2(x+2)在[-1,1]上的最大值为　　　　. 
【解析】因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
【答案】3
9.(河北馆陶一中2018届月考)函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f(0)=0,则f(x+1)>0的解集为　　　　. 
【解析】由f(x)的图象关于直线x=1对称,f(0)=0,可得f(2)=f(0)=0.
当x+1≥1,即x≥0时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(2),
由f(x)在[1,+∞)上单调递减,可得x+1<2,解得x<1,
即有0≤x<1.　①
当x+1<1,即x<0时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(0),
由f(x)在(-∞,1)上单调递增,可得x+1>0,解得x>-1,
即有-1 由①②可得所求不等式的解集为{x|-1 【答案】{x|-1

10.(遵义四中2018届月考)已知函数f(x)=(a-2)x,x≥2,12x-1,x<2满足对任意实数x1,x2且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则实数a的取值范围为(　　).
A.(-∞,2) B.-∞,138
C.-∞,138 D.138,2
【解析】由f(x1)-f(x2)x1-x2<0(x1≠x2)得f(x)为减函数,所以a-2<0,2(a-2)≤122-1,解得a≤138,故选B.
【答案】B
11.(巢湖市2018届第一次月考)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是(　　).
A.(0,4] B.32,4 C.32,3 D.32,+∞
【解析】y=x2-3x-4=x-322-254,所以定义域必须包括该函数图象顶点的横坐标.当y=-4时,解得x=0或x=3,故m的取值范围为32,3.
【答案】C
12.(2017枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在实数a,b,使得f(a)=g(b),则实数b的取值范围为(　　).
A.[0,3] B.(1,3)
C.[2-2,2+2] D.(2-2,2+2)
【解析】由题意可知f(x)=ex-1>-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.
若存在实数a,b,使得f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],所以-b2+4b-3>-1,即b2-4b+2<0,
解得2-2 所以实数b的取值范围为(2-2,2+2).
【答案】D
13.(2017郑州质检)若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a=(　　).
A.4 B.2 C.12 D.14

　　【解析】当a>1时,f(x)=ax是增函数,有a2=4,a-1=m,解得a=2,m=12,此时g(x)=-x在[0,+∞)上是减函数,不合题意.
当0 故a=14.
【答案】D
14.(2017年山东潍坊模拟)设函数f(x)=-x2+4x,x≤4,log2x,x>4,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a+1≤2或a≥4,即a≤1或a≥4.

【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)
15.(甘肃天水一中2018届月考)已知函数f(x)=[x]+sinπx2,x∈[-1,1],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求函数f(x)的值域.
【解析】(1)∵f(-1)=-1+1=0,f(1)=1+1=2,
∴f(-1)≠f(1)且f(-1)≠-f(1),
故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)=[x]+sinπx2=-1-sinπx2,-1≤x<0,sinπx2,0≤x<1,2,x=1,
当x∈[-1,0)时,f(0) 当x∈[0,1)时,f(0)≤f(x) 当x=1时,f(x)=2.
综上可得,函数f(x)的值域为(-1,1)∪{2}.

§2.3　函数的奇偶性与周期性



一
函数的奇偶性

　　1.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　,那么函数f(x)就叫作偶函数.偶函数的图象关于y轴对称. 
2.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有　　　　,那么函数f(x)就叫作奇函数.奇函数的图象关于原点对称. 

二
函数的周期性

　　1.周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有　　　　　,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 
2.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　的正数,那么这个　　　　　就叫作f(x)的最小正周期. 


☞ 左学右考

1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(　　)
(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)对称.(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(　　)
2 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=-4x2+2,-1≤x<0,x,0≤x<1,则f(1.5)=　　　　. 
3 如果f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是　　　　. 

知识清单
一、1.f(-x)=f(x)　2.f(-x)=-f(x)
二、1.f(x+T)=f(x)　2.最小　最小正数
基础训练
1.【解析】(1)错误.偶函数的图象不一定过原点,正确,如y=x2+1;奇函数的图象一定过原点,错误,如y=1x.
(2)正确,因为y=f(x+a)是偶函数,所以f(-x+a)=f(x+a),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)正确,因为y=f(x+b)是奇函数,所以f(-x+b)+f(x+b)=0,所以函数y=f(x)的图象关于点(b,0)对称.
(4)正确,若函数具有奇偶性,则其定义域必关于原点对称,反之不成立.
【答案】(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.【解析】∵函数f(x)的周期是2,∴f(1.5)=f(-0.5)=-4×(-0.5)2+2=1.
【答案】1
3.【解析】因为f(x)=ax2+bx在[a-1,2a]上是偶函数,
所以b=0,a-1+2a=0,解得b=0,a=13,
所以a+b=13.
【答案】13



题型一
函数奇偶性的判断

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【例1】判断下列函数的奇偶性.
①f(x)=xlg(x+x2+1);②f(x)=(1-x)1+x1-x;
③f(x)=x2+2x+3,x<0,-x2+2x-3,x>0;④f(x)=4-x2|x+3|-3.
【解析】①∵x2+1>|x|≥0,∴函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
又∵f(-x)=-xlg(-x+x2+1)=xlg(x2+1+x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
②当且仅当1+x1-x≥0时函数有意义,∴-1≤x<1.∵定义域不关于原点对称,∴函数f(x)是非奇非偶函数.
③函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},关于原点对称.
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x);
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).
综上可知,f(-x)=-f(x),故函数f(x)是奇函数.
④由题意知4-x2≥0,|x+3|≠3,∴-2≤x≤2且x≠0,
∴该函数的定义域关于原点对称.
∴f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x.
又∵f(-x)=4-x2-x=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.

　　判断函数的奇偶性,先判断定义域,然后根据奇偶性的定义判断.
分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论.
【变式训练1】判断函数f(x)=3-x2+x2-3的奇偶性.
【解析】由3-x2≥0,x2-3≥0,得x2=3,∴x=±3,即函数f(x)的定义域为{-3,3},
从而f(x)=3-x2+x2-3=0.
因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

题型二
函数周期性的应用

　　【例2】已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2017)+f(2019)的值为(　　).
A.-1 B.1 C.0 D.无法计算
【解析】由题意得g(-x)=f(-x-1),
∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1),
∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期为4.
∴f(2017)=f(1),f(2019)=f(3)=f(-1).
又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0,
∴f(2017)+f(2019)=0.
【答案】C

　　(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0).(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质.
【变式训练2】已知f(x)是定义在R上且最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)在[0,6]上的图象与x轴的交点个数为(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】函数y=f(x)的图象与x轴的交点即为y=f(x)的零点,先在[0,2)上讨论,令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1(x=-1舍去).又函数f(x)在R上是以2为周期的周期函数,所以当x=2,x=4,x=6或x=3,x=5时也有f(x)=0,即在[0,6]上f(x)的图象与x轴的交点个数为7.
【答案】B

题型三
函数性质的综合应用

　　【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上是增函数,则(　　).
A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 【解析】因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),
所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).
因为f(x)在[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数,
所以f(-1) 【答案】D

　　解决关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
【变式训练3】已知函数f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,且在[0,3]上单调递减,若f-m2-a5>f(-m2+2m-2),则m的取值范围是　　　　. 
【解析】因为函数f(x)在定义域[2-a,3]上是偶函数,所以2-a+3=0,所以a=5.
所以f(-m2-1)>f(-m2+2m-2),即f(m2+1)>f(m2-2m+2).又函数f(x)在[0,3]上单调递减,而m2+1>0,m2-2m+2=(m-1)2+1>0,
所以由f(m2+1)>f(m2-2m+2)得m2+1≤3,m2-2m+2≤3,m2+1 【答案】1-2,12


方法一
整体代换思想在函数解题中的应用

　　整体代换思想是指将问题或者问题的一部分看成一个整体,或者将一些相关量看作整体,从整体入手,简化解题过程.
　　【突破训练1】已知函数f(x)=2|x|+1+x3+22|x|+1的最大值为M,最小值为m,则M+m等于(　　).
A.0　 B.2　 C.4　 D.8
【解析】f(x)=2|x|+1+x3+22|x|+1=2+x32|x|+1,
设g(x)=x32|x|+1,
∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,
∴g(x)max+g(x)min=0.
∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.
【答案】C

方法二
化归转化思想在函数性质中的应用

　　【突破训练2】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
在[-1,1]上,f(x)=ax+1,-1≤x<0,bx+2x+1,0≤x≤1,其中a,b∈R.若f12=f32,则a+3b的值为　　　　. 
【解析】因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
所以f32=f-12且f(-1)=f(1).
故f12=f-12,从而12b+212+1=-12a+1,
即3a+2b=-2.　①
由f(-1)=f(1),得-a+1=b+22,即b=-2a.　②
由①②,得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.
【答案】-10


1.(2017辽宁育才高三月考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.y=x3 B.y=|x|+1
C.y=-x2+1 D.y=2-|x|
【解析】选项A中的函数是奇函数,选项C,D中的函数在(0,+∞)上是减函数,故选B.
【答案】B
2.(2017江西广昌一中期中)设f(x)-x2=g(x)(x∈R),若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为(　　).
A.g(x)=x3 B.g(x)=cos x
C.g(x)=1+x D.g(x)=xex
【解析】由f(x)-x2=g(x),x∈R,得f(x)=g(x)+x2,当g(x)=cos x时,f(x)=cos x+x2,f(-x)=cos(-x)+(-x)2=cos x+x2=f(x),且定义域为R,故f(x)为偶函数.
【答案】B
3.(2017山东曲阜师大附中高三月考)偶函数y=f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列不等式成立的是(　　).
A.f(-1)>f33 B.f(2)>f(-2)
C.f(4)>f(3) D.f(-2)>f(3)
【解析】已知f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x).
f(x)在(-∞,-1]上是增函数.
对于A,f33=f-33,∵-33>-1,∴f(-1)与f33的大小关系不确定;
对于B,f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),f(2)=f(-2);
对于C,f(4)=f(-4),f(3)=f(-3),∵-4<-3,∴f(4) 对于D,f(3)=f(-3),∵-3<-2<-1,∴f(-2)>f(3).
【答案】D
4.(山东潍坊四中2018届月考)设常数a>0,函数f(x)=2x+a2x-a为奇函数,则a的值为(　　).
A.1　 B.-1　　 C.4 D.3
【解析】∵函数f(x)=2x+a2x-a为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=0,
即2-x+a2-x-a+2x+a2x-a=0,
化简得(1+a·2x)(2x-a)+(1-a·2x)(2x+a)=0,
故2·2x(1-a2)=0,解得a=1或a=-1.
∵a>0,∴a=1.
经检验,当a=1时,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意.
【答案】A
5.(2017湖北襄阳高三期中联考)设函数f(x)=ln(2+x)+ln(2-x),则f(x)(　　).
A.是奇函数,且在(0,2)上是增函数
B.是奇函数,且在(0,2)上是减函数
C.是偶函数,且在(0,2)上是增函数
D.是偶函数,且在(0,2)上是减函数
【解析】因为f(-x)=ln(2-x)+ln(2+x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.又f(x)=ln(2+x)+ln(2-x)=ln[(2+x)(2-x)]=ln(4-x2),所以f(x)在(0,2)上是减函数.故选D.
【答案】D
6.(2017陕西西安一模)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为(　　).
A.2 B.1 C.-1 D.-2
【解析】∵f(x+1)为偶函数,
∴f(-x+1)=f(x+1),∴f(-x)=f(x+2).
又∵y=f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0,
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴y=f(x)的周期为4.
∴f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2.
【答案】A
7.(2017江苏泰州高三月考)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2-3asinπx2,且f(3)=6,则a=　　　　. 
【解析】因为f(3)=6⇒f(-3)=-6,所以f(-3)=9-3asin-3π2=-6⇒a=5.
【答案】5
8.(2017合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=x(1-x),0≤x≤1,sinπx,1 【解析】因为函数f(x)是周期为4的奇函数,所以f294+f416=f-34+f-76=-f34-f76=-316+sinπ6=516.
【答案】516
9.(2017重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是　　　　. 
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.∵f(a)≥f(2),即f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2,解得a≥2或a≤-2.
∴实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
【答案】(-∞,-2]∪[2,+∞)

10.(2017四川成都五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是(　　).
A.-∞,12 B.-∞,12∪32,+∞
C.12,32 D.32,+∞
【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵2|a-1|>0,f(-2)=f(2),∴2|a-1|<2=212,
∴|a-1|<12,解得12 【答案】C
11.(2017山东枣庄三中月考)定义在R上的偶函数f(x)满足:f(4)=f(-2)=0,在(-∞,-3)和[-3,0]上分别单调递增和单调递减.则不等式xf(x)>0的解集为(　　).
A.(-∞,-4)∪(4,+∞)
B.(-4,-2)∪(2,4)
C.(-∞,-4)∪(-2,0)
D.(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4)
【解析】偶函数f(x)(x∈R)满足f(4)=f(-2)=0,所以f(4)=f(-2)=f(-4)=f(2)=0,且f(x)在[0,3]和(3,+∞)上分别单调递增和单调递减.求xf(x)>0的解集等价于求函数在第一、三象限中的图象对应的x的取值范围,即x∈(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4).
综上所述,xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(-2,0)∪(2,4),所以D选项是正确的.
【答案】D
12.(2016湖北省高三联考)已知g(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=x3,x≤0,g(x),x>0,若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是(　　).
A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,2) D.(-2,1)
　　【解析】设x>0,则-x<0,所以g(x)=-g(-x)=ln(1+x),所以f(x)=x3,x≤0,ln(1+x),x>0.所以函数f(x)在R上是增函数,所以当f(2-x2)>f(x)时,满足2-x2>x,即-2 【答案】D
13.(2017湖南四校联考)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=　　　　. 
【解析】∵f(-x)=f(x),∴ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0,∴a=-32.
【答案】-32
14.(2017山东潍坊月考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)是减函数,若 f(2-m2)+f(2m+1)>0,则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】∵f(2-m2)+f(2m+1)>0,
∴f(2-m2)>-f(2m+1).
又∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)是减函数,
∴f(2-m2)>f(-2m-1),即2-m2<-2m-1,
解得m>3或m<-1,
∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
【答案】(-∞,-1)∪(3,+∞)