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全国版高考数学必刷题：第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质
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这是一份全国版高考数学必刷题：第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质，共64页。试卷主要包含了设A,B是椭圆C，已知椭圆C，已知双曲线C，若双曲线C，已知M是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质
考点一
椭圆的标准方程和几何性质
1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( ).
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
【解析】当0
则ab≥tan 60°=3,即3m≥3,
解得0
要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则ab≥tan 60°=3,即m3≥3,解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
故选A.
【答案】A
2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( ).
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
【解析】因为△AF1B的周长为43,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=43,所以a=3.又因为椭圆的离心率e=ca=33,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为x23+y22=1,故选A.
【答案】A
3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( ).
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=3m2m+m=33.
(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±b2a,所以|PF2|=b2a.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3·b2a,变形可得3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得3(1-e2)=2e,解得e=33或e=-3(舍去).
【答案】D
4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ).
A.63 B.33 C.23 D.13
【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.
∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a,解得a=3b,
∴ba=13,
∴e=ca=a2-b2a= 1-ba2= 1-132=63.故选A.
【答案】A
考点二
双曲线的标准方程和几何性质
5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ).
A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)
【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为( ).
A.x28-y210=1 B.x24-y25=1
C.x25-y24=1 D.x24-y23=1
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax,所以ba=52.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为x24-y25=1.
【答案】B
7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( ).
A.2 B.3 C.2 D.233
【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=bax,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离d=22-12=3,即|2b|a2+b2=2bc=3,所以4(c2-a2)c2=3,解得c2=4a2.所以e2=4,e=2.
【答案】A
8.(2015年全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( ).
A.-33,33 B.-36,36
C.-223,223 D.-233,233
【解析】由题意不妨取F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1·MF2=x02+y02-3<0.又点M在曲线C上,所以有x022-y02=1,即x02=2+2y02,代入上式得y02<13,所以-33
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则C的离心率为 .
【解析】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=bax,即bx-ay=0,
∴点A到l的距离d=aba2+b2.
又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形,
∴d=32MA=32b,即aba2+b2=32b,∴a2=3b2,
∴e=ca=a2+b2a2=233.
【答案】233
考点三
抛物线的标准方程和几何性质
10.(2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】由已知得抛物线的焦点为Fp2,0,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则AF=p2,-2,AM=y022p,y0-2.由已知得AF·AM=0,即y02-8y0+16=0,解得y0=4,所以M8p,4.由|MF|=5得8p-p22+16=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
【答案】C
11.(2014年全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( ).
A.72 B.52 C.3 D.2
【解析】过点Q作QQ'⊥l交l于点Q',因为FP=4FQ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选C.
【答案】C
12.(2014年全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ).
A.334 B.938 C.6332 D.94
【解析】易知抛物线中p=32,焦点F34,0,直线AB的斜率k=33,故直线AB的方程为y=33x-34,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=212+32=12,又原点O到直线AB的距离d=p2·sin 30°=38,所以△OAB的面积S=12|AB|·d=94.
【答案】D
13.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
【解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=12|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
【答案】6
高频考点:圆锥曲线的定义与标准方程;圆锥曲线的几何性质(包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线等).
命题特点:从考查题型看,一般是一道选择题或解答题,从考查分值看,在5分~12分之间;从涉及的知识点上讲,常与平面几何、直线方程、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系.
§16.1 椭圆
一
椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 .
二
椭圆的标准方程及其简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0),短轴顶点(0,±b)
长轴顶点(0,±a),短轴顶点(±b,0)
轴
长轴长 ,短轴长
焦点
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=ca∈
a,b,c的关系
c2=a2-b2
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(3)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,则|OP|的最小值为b.( )
(4)若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则|PF|∈[a-c,a+c].( )
(5)x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相等.( )
2 (2017年浙江卷)椭圆x29+y24=1的离心率是( ).
A.133 B.53
C.23 D.59
3 已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( ).
A.23 B.6
C.43 D.12
三
点P(x0,y0)和椭圆的关系
1.点P(x0,y0)在椭圆内⇔x02a2+y02b2<1.
2.点P(x0,y0)在椭圆上⇔x02a2+y02b2=1.
3.点P(x0,y0)在椭圆外⇔x02a2+y02b2>1.
四
离心率e与a、b的关系
e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2⇒ba=1-e2.
五
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆方程.
2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
4 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ).
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
5 已知点P是椭圆x25+y24=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.
知识清单
一、和 焦点 焦距
二、x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0) 2a 2b (±c,0) (0,±c) (0,1)
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2.【解析】e=9-43=53,故选B.
【答案】B
3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F是椭圆的另一个焦点),∴△ABC的周长为4a=43.故选C.
【答案】C
4.【解析】将x2+ky2=2化为x22+y22k=1,又方程表示焦点在y轴上的椭圆,则2k>2,解得0
5.【解析】设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入x25+y24=1,得x=±152.又x>0,所以x=152,所以点P的坐标为152,1或152,-1.
题型一
椭圆的定义及应用
【例1】(2015年重庆卷改编)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,且PQ⊥PF1,求椭圆的标准方程.
【解析】由椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=23,即c=3,从而b=1.
故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.
先判断焦点位置,再由定义求出a,最后由a,b,c之间的关系,求出b,从而得到椭圆方程.
【变式训练1】已知椭圆x216+y29=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,知m+n=2a=8,|F1F2|=2c=216-9=27.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=m2+n2-|F1F2|22mn=(m+n)2-2mn-282mn=12,解得mn=12,S△F1PF2=12mnsin 60°=33.
【答案】33
题型二
求椭圆的标准方程
【例2】根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P13,13,Q0,-12两点;
(2)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点;
(3)中心在原点,焦点在坐标轴上,椭圆过点(3,0),离心率e=63.
【解析】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则19m+19n=1,14n=1,解得m=5,n=4.
所以所求椭圆的标准方程为5x2+4y2=1,即y214+x215=1.
(2)(法一)椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
(法二)设所求椭圆的标准方程为y225-k+x29-k=1(k<9),将点(3,-5)的坐标代入可得(-5)225-k+(3)29-k=1,解得k=5(k=21舍去),所以椭圆的标准方程为y220+x24=1.
(3)当椭圆焦点在x轴上时,a=3,e=ca=63,所以c=6,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为x29+y23=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆的标准方程为x29+y227=1.
综上所述,椭圆的标准方程为x29+y23=1或x29+y227=1.
求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可以把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
【变式训练2】(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切,则椭圆C的方程为( ).
A.x28+y26=1 B.x212+y29=1
C.x24+y23=1 D.x26+y24=1
(2)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=10+5,则椭圆的方程为 .
【解析】(1)由题意知e=ca=12,所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,即a2=43b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b=62=3,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1,故选C.
(2)设F1(-c,0),由已知,得PF1的方程为x=-c,
代入椭圆方程,得P-c,b2a.
又AB∥OP,所以kOP=kAB,即-b2ac=-ba,
所以b=c,a=2c,|F1A|=a+c=(2+1)c=10+5,得c=5,所以b=5,a=10,
故椭圆的方程为x210+y25=1.
【答案】(1)C (2)x210+y25=1
题型三
求椭圆离心率的值或取值范围
【例3】(1)(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
(2)(2015年福建卷)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( ).
A.0,32 B.0,34
C.32,1 D.34,1
【解析】(1)由y=b2,x2a2+y2b2=1,得B-32a,b2,C32a,b2.由F(c,0),得FB=-32a-c,b2,FC=32a-c,b2.又因为∠BFC=90°,所以FB·FC=0,化简可得2a2=3c2,即e2=c2a2=23,故e=63.
(2)设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故|AF1|=|BF1|,
所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2.
设M(0,b),则4b5≥45,故b≥1.
所以a2-c2≥1,所以0
【答案】(1)63 (2)A
离心率是椭圆的重要几何性质,求离心率的值(取值范围)的关键是先建立关于a,b,c的方程(不等式),再把其中的b用a,c表示,最后转化为关于离心率e的关系式(不等式)求解.
【变式训练3】(1)(2017遂宁一诊)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( ).
A.3-1 B.2-3
C.2-1 D.2-2
(2)(2017东北百校大联考)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【解析】(1)不妨设F1,F2为椭圆的左,右焦点,点A在第一象限内,则由题意,|OA|=12|F1F2|,所以△F1AF2是直角三角形,|AF2|=c,所以|AF1|=3c,2a=3c+c,
所以ca=23+1=3-1,故选A.
(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0),则B2A2=(a,-b),F2B1=(-c,-b).因为∠B1PB2为钝角,所以F2B1与B2A2的夹角为锐角,所以B2A2·F2B1=-ac+b2>0,即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得-5-12
方法
与椭圆有关的范围问题求解策略
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面:
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
【突破训练】(1)(2017贵阳摸底)已知椭圆C:x24+y23=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1的斜率的取值范围是( ).
A.12,34 B.38,34 C.12,1 D.34,1
(2)设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
【解析】(1)(法一)设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(-2,0),A2(2,0),则有k1k2=yx+2·yx-2=y2x2-4=31-x24x2-4=-34.因为-2≤k2≤-1,所以k1>0且-2≤-34k1≤-1,即1≤34k1≤2,解得38≤k1≤34.故选B.
(法二)设直线PA2的斜率为k2,令k2=-1,则直线PA2的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程并整理得7x2-16x+4=0,解得x1=2,x2=27,从而可得点P的坐标为27,127,于是直线PA1的斜率k1=127-027+2=34.同理,令k2=-2,可得k1=38.结合选项知,B正确.
(2)|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,
易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P(图略),此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,
故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+(6-3)2+42=15.
【答案】(1)B (2)15
1.(2017四川遂宁模拟)椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值是( ).
A.6或2 B.5 C.1或9 D.3或5
【解析】由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3.所以m的值是3或5,故选D.
【答案】D
2.(2017长春外国语学校期末)椭圆x225+y29与椭圆x29-k+y225-k=1(0
C.有相同的焦点 D.x,y有相同的取值范围
【解析】∵0
3.(2017南昌模拟)已知圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( ).
A.x248+y232=1 B.x248+y264=1
C.x224+y248=1 D.x264+y248=1
【解析】设圆M的半径为r,由题意可知,
|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>|C1C2|=8,
∴圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
∴b2=64-16=48,∴动圆圆心M的轨迹方程为x264+y248=1.
【答案】D
4.(2017宁德联考)已知A,B为椭圆E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则椭圆E的离心率为( ).
A.22 B.32 C.33 D.63
【解析】由题意可知,M为椭圆短轴上的顶点,且∠AMB=120°,所以∠AMO=60°,ab=tan 60°=3,a=3b,所以c2=a2-b2=23a2,所以e=ca=63.
【答案】D
5.(2017辽宁五校联考)椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任意一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=a2-b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是( ).
A.33,22 B.22,1
C.33,1 D.13,12
【解析】∵|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=2a22=a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤a2c2≤3,∴13≤e2≤12,解得33≤e≤22.
【答案】A
6.(2017东北三校联考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),且过点-32,52,则椭圆的标准方程为 .
【解析】由题设知,椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).
由椭圆的定义知,2a=-322+52+22+-322+52-22=3210+1210=210,所以a=10.
又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
故所求椭圆的标准方程为y210+x26=1.
【答案】y210+x26=1
7.(2017宜昌调研)过椭圆x25+y24=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
【解析】由题意知,椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
联立x25+y24=1,y=2x-2,解得交点坐标A(0,-2),B53,43,
所以S△OAB=12·|OF|·|yA-yB|
=12×1×-2-43=53.
【答案】53
8.(2017日照市二模)如图,已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上,下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=12.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与x轴交于点H,若F1B·F1H=0,且|MO|=|MA|,求直线l的方程.
【解析】(1)设椭圆的焦点F1(0,c),由点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,得|3c+12|5=3,所以c=1.
又椭圆C的离心率e=12,所以ca=12,a=2,所以b2=3,
故椭圆C的标准方程为y24+x23=1.
(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=kx,设B(xB,yB),A(xA,yA),
由y=kx+2,x23+y24=1,得(3k2+4)x2+12kx=0,
则有xA=0,xB=-12k3k2+4,所以yB=-6k2+83k2+4,
所以F1B=-12k3k2+4,8-6k23k2+4-1,F1H=(xH,-1),
由已知F1B·F1H=0,
得-12k3k2+4·xH+1--6k2+83k2+4=0,解得xH=9k2-412k,
由|MO|=|MA|,得xM2+yM2=xM2+(yM-2)2,解得yM=1,
直线MH的方程为y=-1kx-9k2-412k,
联立y=kx+2,y=-1kx-9k2-412k,解得yM=9k2+2012(1+k2),
由yM=9k2+2012(1+k2)=1,解得k2=83,
所以直线l的方程为y=±263x+2.
9.(2017河北联考)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若13
C.12,23 D.0,12∪23,1
【解析】由题意可知|AF2|=a+c,|BF2|=b2a,所以直线AB的斜率为k=b2a(a+c)=a2-c2a2+ac=1-e21+e∈13,12,即1-e21+e>13,1-e21+e<12,解得12
10.(2017唐山一中月考)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为( ).
A.33 B.63 C.34 D.23
【解析】设F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.
由韦达定理得,x1+x2=-2a2ca2+b2,所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.
由OA+OB与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,
即-2a2ca2+b2+3×2b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,得e=1-b2a2=63.故选B.
【答案】B
11.(2014年江西卷)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
从而(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0.
依题意x1+x2=2,y1+y2=2,且y1-y2x1-x2=-12,
所以-b2a2=-12,即a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),
得e2=c2a2=12,所以e=22.
【答案】22
12.(2017浙江模拟)若椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)上存在关于直线l:y=2x+1对称的点,则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【解析】设A,B是椭圆C上关于直线l:y=2x+1对称的两点,直线AB的方程为y=-12x+m.联立x2a2+y2=1,y=-12x+m,得(a2+4)x2-4ma2x+4a2(m2-1)=0.点A,B存在⇒Δ>0⇒a2-4m2+4>0. ①
由弦AB的中点E(x0,y0)在直线l:y=2x+1上,得a2=4m-44m+1>0,解得m<-14或m>1. ②
将a2=4m-44m+1代入①得m(m-1)(4m+5)4m+1<0,结合②解得-54
13.(2017四川一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点2,±2103,所以49+409b2=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为x29+y28=1.
(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由y=kx+2,x29+y28=1,得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-36k9k2+8,所以x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.因为DE⊥AB,所以kDE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,所以m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k>0时,9k+8k≥29×8=122,所以-212≤m<0;当k<0时,9k+8k≤-122,所以0
14.(2015年天津卷)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
①求λ的值;
②若|PM|sin∠BQP=759,求椭圆的方程.
【解析】(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c,又因为B(0,b),F(-c,0),
故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
①由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.
将直线BF的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c.
将直线BQ的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
又因为λ=|PM||MQ|及xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
②因为|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,
即|PQ|=157|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=759,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.
又因为yP=2xP+2c=-43c,
所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,
因此553c=553,得c=1.
所以椭圆的方程为x25+y24=1.
§16.2 双曲线
一
双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ,两焦点间的距离叫作双曲线的 .
二
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴: ,对称中心:
顶点
渐近线
离心率
e= ,e∈(1,+∞)
a、b、c的关系
c2= (c>a>0,c>b>0)
三
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 .
四
常用结论
1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b;
双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.
2.点与双曲线的关系
(1)点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的内部⇔x02a2-y02b2>1.
(2)点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的外部⇔x02a2-y02b2<1.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.( )
(4)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2a2=1(a>0,b>0)有共同的渐近线.( )
(5)P是x216-y220=1上的点,F1为左焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=17或1.( )
2 方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是( ).
A.-10
C.k≥0 D.k>1或k<-1
3 (2015年安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ).
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.y24-x2=1 D.y2-x24=1
4 (2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( ).
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x210-y26=1 D.x26-y210=1
5 设双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF1F2的面积为6,则点P的坐标为 .
知识清单
一、差的绝对值 焦点 焦距
二、坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) y=±bax y=±abx ca a2+b2
三、y=±x e=2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.【解析】由题可知,方程表示双曲线应满足(1+k)(1-k)>0,则k的取值范围是-1
3.【解析】由双曲线性质知A、B选项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D选项双曲线焦点均在y轴上,但D选项渐近线为y=±12x,只有C选项符合,故选C.
【答案】C
4.【解析】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,所以双曲线的方程为x24-y212=1,故选A.
【答案】A
5.【解析】因为双曲线方程为x24-y25=1,所以c=3.又因为△PF1F2的面积为6,所以12×2c×yP=6,所以yP=2.代入双曲线方程,得xP24-45=1,xP2=365,即xP=655xP=-655舍去.
【答案】655,2
题型一
双曲线的定义
【例1】(1)设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P的轨迹方程是( ).
A.x29-y216=1 B.y29-x216=1
C.x29-y216=1(x≤-3) D.x29-y216=1(x≥3)
(2)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( ).
A.14 B.13 C.24 D.23
【解析】(1)由题意,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,∴点P的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).
故选D.
(2)由e=ca=2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a,
∴cos∠AF2F1=(4a)2+(2a)2-(4a)22×4a×2a=14.
【答案】(1)D (2)A
利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关的问题时,需弄清点在双曲线的哪支上.
【变式训练1】(1)(2017陕西师大附中模拟)设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为( ).
A.19 B.26 C.43 D.50
(2)设双曲线与椭圆y236+x227=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,则此双曲线的方程为 .
【解析】(1)如图,由双曲线的定义可得
|PF2|-|PF1|=2a, ①|QF2|-|QF1|=2a, ②
①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,
∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.
(2)由椭圆方程y236+x227=1,得椭圆的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3).
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
∵点A在第一象限,且纵坐标为4,∴A(15,4),
∴2a=||AF1|-|AF2||
=|(15)2+(4+3)2-(15)2+(4-3)2|=4,
∴a=2,b2=32-22=5,
故所求双曲线的方程为y24-x25=1.
【答案】(1)B (2)y24-x25=1
题型二
待定系数法求双曲线方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线的焦点在x轴上,且经过(-2,-3),153,2两点;
(2)与双曲线x24-y23=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2);
(3)与椭圆x249+y224=1有公共焦点,且离心率e=52.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0),
由已知得2m-3n=1,159m-2n=1,解得m=1,n=13,
所以所求双曲线的标准方程为x2-y23=1.
(2)设所求双曲线的方程为x24-y23=λ(λ≠0),
因为点M(3,-2)在双曲线上,所以94-43=λ,即λ=1112,
故所求双曲线的标准方程为x2113-y2114=1.
(3)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由已知得双曲线的焦点为F1(5,0),F2(-5,0),则c=5,
由e=ca=52,知a=25,b2=c2-a2=25-(25)2=5.
故双曲线的标准方程为x220-y25=1.
求双曲线的标准方程,应该“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论.
【变式训练2】(1)(2017临川实验学校一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±33x,若顶点到渐近线的距离为3,则双曲线的方程为( ).
A.x24-3y24=1 B.x212-y24=1
C.x24-y212=1 D.3x24-y24=1
(2)(2017九江市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,从C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为( ).
A.x22-y28=1 B.x24-y2=1
C.x24-y216=1 D.x2-y24=1
【解析】(1)渐近线方程化简为x±3y=0,设顶点坐标为
(a,0),顶点到渐近线的距离为a2=3,解得a=23,由渐近线方程的斜率ba=33,可得b=2,所以双曲线的方程为x212-y24=1.故选B.
(2)因为双曲线的离心率为5,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立y=2x,y=-12(x-c),得Ac5,2c5.又因为△AFO的面积为1,所以12×25c2=1,解得c2=5,则a2=1,b2=4,即双曲线C的方程为x2-y24=1.故选D.
【答案】(1)B (2)D
题型三
双曲线的离心率与渐近线
【例3】(1)(2017惠州二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为23c(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( ).
A.73 B.372 C.37 D.377
(2)(2017武邑中学周考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为( ).
A.[2,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,2] D.(1,2]
【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=bax的距离为b,则b=23c⇒3b=2c⇒9b2=2c2⇒9(c2-a2)=2c2⇒7c2=9a2⇒c2a2=97⇒e=377,故选D.
(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a,而双曲线右支上的点到F2的最小距离为c-a,因此|PF2|=a≥c-a,得e≤2,又双曲线离心率e>1,所以1
【变式训练3】(1)(2017重庆一中月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为( ).
A.3 B.52 C.5 D.2
(2)(2017吉林省实验中学八模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ).
A.1,32 B.(1,2)
C.32,+∞ D.(2,+∞)
【解析】(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax,直线x+2y+1=0的斜率为-12,∴-12×ba=-1,∴ba=2.∴双曲线的离心率e=ca=1+ba2=5.故选C.
(2)|AB|是双曲线通径,|AB|=2b2a,由题意a+c0,即e2-e-2>0,解得e>2(e<-1舍去),故选D.
【答案】(1)C (2)D
方法
双曲线中的焦点三角形问题
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中的“焦点三角形”即由双曲线上的一个动点P和两个焦点F1,F2作为顶点的三角形.
(1)若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积S△F1PF2=b2tanα2.
(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.
(3)焦点三角形PF1F2中,利用||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,借助余弦定理、正弦定理进行转化,可求得离心率及其取值范围.
【突破训练】(1)(2017西铁一中五模)设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(OP+OF2)·F2P=0(O为坐标原点),且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( ).
A.2+12 B.2+1 C.3+12 D.3+1
(2)(2016年浙江卷)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
【解析】(1)因为(OP+OF2)·F2P=0,即(OP+OF2)·(OP-OF2)=0,
所以OP2-OF22=0,|OP|=|OF2|=|OF1|,所以PF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中,因为|PF1|=3|PF2|,所以∠PF1F2=30°,
由|F1F2|=2c得|PF2|=c,|PF1|=3c,所以2a=3c-c.
所以ca=23-1=3+1,故选D.
(2)如图,由已知可得a=1,b=3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2.
由△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义应满足(m+2)2
【答案】(1)D (2)(27,8)
1.(2014年全国Ⅰ卷)已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2,则a=( ).
A.2 B.62 C.52 D.1
【解析】因为c2=a2+3,所以e=ca=a2+3a2=2,得a2=1,所以a=1.
【答案】D
2.(2017唐山市二模)已知双曲线过点(2,3),且渐近线方程为y=±3x,则双曲线的方程是( ).
A.7x216-y212=1 B.y23-x22=1
C.x2-y23=1 D.3y223-x223=1
【解析】设双曲线的方程为x2-y23=λ,∵双曲线过点(2,3),∴4-93=λ,即λ=1,故双曲线的方程是x2-y23=1,故选C.
【答案】C
3.(2014年广东卷)若实数k满足0
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】∵00,16-k>0.又∵双曲线x216-y25-k=1的焦距是25-k+16=221-k;双曲线x216-k-y25=1的焦距是216-k+5=221-k.故选D.
【答案】D
4.(2017年天津卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ).
A.x24-y24=1 B.x28-y28=1
C.x24-y28=1 D.x28-y24=1
【解析】由题意得a=b,4c=1,所以c=4.又因为c2=a2+b2=16,所以a2=8,b2=8,则双曲线的方程为x28-y28=1.故选B.
【答案】B
5.(2017湖南八校联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线C的实轴垂直,则双曲线C的离心率为( ).
A.52 B.5 C.2 D.2
【解析】设F(c,0),一条渐近线的方程为y=bax,点F到该渐近线的距离为bca2+b2=b,即圆F的半径为b.令x=c,与双曲线方程联立解得y=±b2a,依题意b2a=b,所以a=b,所以双曲线C的离心率e=ca=a2+b2a=2.
【答案】C
6.(2017山东枣庄一模)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线x2-y2a2=1(a>0)的中心和右焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围是( ).
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C.[2,+∞) D.[-2,+∞)
【解析】由a2+1=4得a=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.设点P(x0,y0),则x02-y023=1,即y02=3x02-3.所以OP·FP=x0(x0-2)+y02=4x02-2x0-3.因为x0≥1,所以当x0=1时,OP·FP取得最小值-1,所以OP·FP∈[-1,+∞).
【答案】A
7.(2017西安质检)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|= .
【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±3x,将x=2代入y=±3x,得y=±23,∴|AB|=43.
【答案】43
8.(2017成都一诊)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线上一点P满足PF2⊥x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为 .
【解析】2c=12⇒c=6,根据勾股定理可得|PF1|=122+52=13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e=ca=64=32.
【答案】32
9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ).
A.5 B.2 C.3 D.2
【解析】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图,由|AB|=|BM|,∠ABM=120°,则过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=3a,故点M的坐标为(2a,3a),代入双曲线方程可得a2=b2=c2-a2,即有c2=2a2,所以e=ca=2.故选D.
【答案】D
10.(2017曲靖一中月考)设F1,F2分别是双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足F2A·F2B<0,则双曲线的离心率e的取值范围是( ).
A.12+1
C.12
【解析】由双曲线的对称性可知△ABF2是等腰三角形,且∠AF2B是钝角,
所以π4<∠AF2F1=12∠AF2B<π2,所以tan∠AF2F1>1,即|AF1||F1F2|>1.
又|AF1|=b2a,所以b22ac>1,即c2-a2>2ac,化简得e2-2e-1>0,解得e>2+1,故选B.
【答案】B
11.(2017柳州市模拟)设双曲线x29-y26=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线l交双曲线的左支于A、B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为 .
【解析】|AF2|+|BF2|=2a+|AF1|+2a+|BF1|=4a+|AB|≥4a+2b2a=4×3+2×63=16.
【答案】16
12.(2017烟台模拟)给出下列说法:
①“m>5”是“x25-m-y21-m=1为双曲线”的充分不必要条件;
②已知P为双曲线x225-y216=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,若|PF1|=11,则|PF2|=1或|PF2|=21;
③若在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在点P满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围是(1,2];
④直线3x-4y-4=0与双曲线x216-y29=1有两个不同的交点.
其中正确的说法是 .(填序号)
【解析】①中,若x25-m-y21-m表示双曲线,则(5-m)(1-m)>0,即m>5或m<1,故①正确;②中,由|11-|PF2||=2a=10,得|PF2|=1或|PF2|=21,但|PF2|min=c-a=41-5>1,所以|PF2|=21,故②错误;③中,由|PF1|=3|PF2|及|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=a≥c-a,所以1
§16.3 抛物线
一
抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 .
二
抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
三
焦半径
抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点Fp2,0的距离|PF|= ,也称为抛物线的焦半径.
四
焦点弦的常用结论
以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线上过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则有以下结论:
(1)x1x2= ,y1y2= ;
(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=p1-cosθ,|BF|=p1+cosθ(A点在上,B点在下);
(3)|AB|=x1+x2+p=2psin2θ(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4.( )
(2)若过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,则抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.( )
(3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0,准线方程是x=-a4.( )
(4)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率.( )
(5)若点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹是抛物线,其方程为x2=16y.( )
2 抛物线y=-12x2的焦点坐标是( ).
A.0,18 B.-18,0
C.0,-12 D.-12,0
3 过定点P(1,2)作直线l,使l与抛物线y2=4x有且仅有一个交点,这样的直线l共有( ).
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
4 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
5 正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则这个正三角形的边长为 .
6 如图所示的是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 米.
知识清单
一、相等 焦点 准线
三、x0+p2
四、(1)p24 -p2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2.【解析】由y=-12x2得x2=-2y,所以p=1,-p2=-12,焦点坐标为0,-12.
【答案】C
3.【解析】由于点P(1,2)在抛物线上,因此有一个交点的直线l为过点P(1,2)与抛物线相切或过点P(1,2)与抛物线的对称轴平行的直线.
【答案】B
4.【解析】设M(x0,y0)为所求点的坐标,则点M到准线的距离等于点M到焦点的距离,又准线方程为x=-3,则x0+3
=9,∴x0=6,y02=72,y0=±62,故点M的坐标是(6,±62).
【答案】(6,62),(6,-62)
5.【解析】由抛物线的几何性质知,正三角形△OAB关于x轴对称(如图),直线OA:y=33x,联立y=33x和y2=2px,解得x=6p,故A(6p,23p),B(6p,-23p),则正三角形的边长a=2|y|=43p.
【答案】43p
6.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,所以x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为26.
【答案】26
题型一
抛物线的定义
【例1】设P是曲线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值.
【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交曲线于点P,故最小值为22+1=5.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,
此时,|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
与抛物线有关的试题,更多的是考查抛物线的定义,利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,实现转化,从而构造出“两点间线段最短”,使问题得解.
【变式训练1】(1)(2016年浙江卷)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
(2)(2017昆明一中月考)已知直线l1是抛物线C:y2=8x的准线,P是C上的一动点,则点P到直线l1与直线l2:3x-4y+24=0的距离之和的最小值为 .
【解析】(1)设点M的坐标为(x0,y0),由题意知抛物线的准线为x=-1.因为|MF|=10,根据抛物线的定义可得x0+1=|MF|=10,解得x0=9,所以M到y轴的距离是9.
(2)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,根据题意作出图象(如图),点P到直线l2的距离为|PA|,点P到x=-2的距离为|PB|.
由抛物线的定义知,|PB|=|PF|,
故点P到直线l2:3x-4y+24=0和x=-2的距离之和为|PA|+|PF|,
当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,
而点F(2,0)到直线l2:3x-4y+24=0的距离为|6+24|5=6,
所以点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值为6.
【答案】(1)9 (2)6
题型二
抛物线的方程与几何性质
【例2】若点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,则抛物线的标准方程是( ).
A.x2=112y
B.x2=112y或x2=-136y
C.x2=-136y
D.x2=12y或x2=-36y
【解析】将y=ax2化为x2=1ay.
当a>0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=112.
当a<0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=-136.
∴抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-36y.故选D.
【答案】D
求抛物线的标准方程的方法:
①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,应先定位,再定量.
【变式训练2】(1)(2017贵阳市摸底考试)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C相交于A,B两点,且AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为 .
(2)如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是 .
【解析】(1)由题可得直线l的方程为y=kx-p2,与抛物线C:y2=2px(p>0)联立,可得k2x2-k2px-2px+k2p24=0⇒p2+pk2=3,pk=2⇒k=1或k=2,所以p=2或p=4,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=8x.
(2)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则Fp2,0,B-p2,y,将A(3,y)代入抛物线方程得y2=6p,y=6p.因为△ABF为等边三角形,所以kAF=3,即6p-03-p2=3,解得p=2.所以抛物线的标准方程是y2=4x.
【答案】(1)y2=4x或y2=8x (2)y2=4x
【例3】(2016年全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),则圆的方程可设为x2+y2=r2(r>0),如图,
又可设A(x0,22),D-p2,5,
∵点A(x0,22)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0. ①
又点A(x0,22)在圆x2+y2=r2上,∴x02+8=r2. ②
又点D-p2,5在圆x2+y2=r2上,∴5+p22=r2, ③
联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.
【答案】B
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.
【变式训练3】(1)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( ).
A.12,0 B.(1,0) C.14,0 D.(0,1)
(2)(2017年全国Ⅱ卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( ).
A.5 B.22 C.23 D.33
【解析】(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p2且其准线过点(-1,1),故-p2=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
(2)由题意知,直线MF的方程为y=3(x-1),联立y=3(x-1),y2=4x,
得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3,所以M(3,23).
因为MN⊥l,所以N(-1,23).
又因为F(1,0),所以直线NF的方程为y=-3(x-1),
所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(3)2+12=23.
【答案】(1)B (2)C
题型三
抛物线的焦点弦
【例4】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( ).
A.22 B.2 C.322 D.22
【解析】(法一)如图,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=22,∴A(2,22),∴直线AF的方程为y=22(x-1).
联立直线与抛物线的方程y=22(x-1),y2=4x,得2x2-5x+2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=52.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=52+2=92,
∴点O到直线AB:22x-y-22=0的距离为d=223,
∴S△AOB=12|AB|d=12×92×223=322.故选C.
(法二)由(法一)知,直线AB的方程为y=22(x-1),
联立直线与抛物线的方程,消去x得y2-2y-4=0,解得yA=22,yB=-2.
∴S△AOB=12|OF|·|yA-yB|=12×1×|22+2|=322.故选C.
(法三)由抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,可得点A的横坐标为2,不妨设A(2,22),则S△OAF=2,又知0
本题利用抛物线的定义求出AF的方程,直线AB过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p或|AB|=y1+y2+p求解,还可利用几何特征来估算.
【变式训练4】(2017年山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
【解析】由|AF|+|BF|=4|OF|,得yA+p2+yB+p2=4×p2,即yA+yB=p.
联立x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
所以yA+yB=2pb2a2=p⇒a=2b.
故双曲线的渐近线方程为y=±22x.
【答案】y=±22x
方法
抛物线定义的应用
抛物线的定义是解决点到焦点距离及点到准线距离的问题,这也是抛物线问题中常用到的转化思想.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义而获得简捷、直观的求解.“数想形、形悟数、数形结合”是解题的一条捷径.
【突破训练】已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .
【解析】由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即要使|AC|+|BD|取得最小值,当且仅当|AB|取得最小值.由抛物线的定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
【答案】2
1.(2017辽宁沈阳模拟)抛物线y=-12x2的焦点坐标是( ).
A.0,18 B.-18,0
C.0,-12 D.-12,0
【解析】把原方程化为标准方程x2=-2y,则2p=2,∴p2=12,即焦点坐标为0,-12,故选C.
【答案】C
2.(2017四川绵阳二诊)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=( ).
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】由题意知抛物线的准线方程为x=-14.因为|AF|=54x0,根据抛物线的定义可得x0+14=|AF|=54x0,解得x0=1,故选A.
【答案】A
3.(2017湖南十校联考)若抛物线y2=2px的焦点到双曲线x28-y2p=1的渐近线的距离为24p,则抛物线的标准方程为( ).
A.y2=16x B.y2=8x
C.y2=16x或y2=-16x D.y2=8x或y2=-8x
【解析】由题意得抛物线的焦点为Fp2,0,点F到双曲线的渐近线px±22y=0的距离为pp2p+8=24p(p>0),解得p=8,即抛物线的标准方程为y2=16x.故选A.
【答案】A
4.(2017福州一中5月质检)点P在抛物线x2=4y上,F为抛物线的焦点,|PF|=5,以P为圆心,|PF|为半径的圆交x轴于A,B两点,则AP·AB=( ).
A.9 B.12 C.18 D.32
【解析】设P(x,y),由定义得|PF|=y+1=5,即y=4.由以P为圆心,|PF|为半径的圆交x轴于A,B两点,得|AB|=252-42=6.又由投影的几何意义,AP·AB=12AB2=18,故选C.
【答案】C
5.(2017江西鹰潭二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则sin∠AFB=( ).
A.45 B.35 C.34 D.55
【解析】由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1).联立直线与抛物线方程,得x-2y+4=0,x2=4y,解得x=-2,y=1或x=4,y=4.令A(-2,1),则B(4,4),∴|AB|=36+9=35,|AF|=4+0=2,|BF|=16+9=5,∴在△ABF中,cos∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|=4+25-452×2×5=-45,∴sin∠AFB=1-1625=35,故选B.
【答案】B
6.(2017重庆联考)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AF||BF|=12,则k= .
【解析】设直线l的方程为x=my-1,联立直线l与抛物线C的方程,得y2-4my+4=0,则有yA+yB=4m,yAyB=4,由抛物线的定义和平行线截得线段成比例,知|AF||BF|=|AA1||BB1|=yAyB=12,yB=2yA,所以yA=2,yB=22,k=1m=4yA+yB=223.
【答案】223
7.(2017广东揭阳二模)已知AB是抛物线x2=4y的一条焦点弦,若该弦中点的纵坐标是3,则弦AB所在的直线方程是 .
【解析】(法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=m(y-1),由抛物线的定义及题设可得y1+y2=6,联立直线AB与抛物线的方程消去x可得m2y2-(2m2+4)y+m2=0.∴y1+y2=2m2+4m2,即6=2m2+4m2,解得m=1或m=-1.故弦AB所在的直线方程为x-y+1=0或x+y-1=0.
(法二)|AB|=y1+y2+p=6+2=8.而|AB|=2psin2α,∴sin2α=12,即sin α=22,α=45°或135°,∴k=1或k=-1.故弦AB所在的直线方程为x-y+1=0或x+y-1=0.
【答案】x-y+1=0或x+y-1=0
8.(2017长春模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一,四象限分别交于A,B两点,则|AF||BF|的值等于( ).
A.13 B.23 C.34 D.43
【解析】记抛物线y2=2px的准线为l',如图,作AA1⊥l',BB1⊥l',AC⊥BB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cos∠ABB1=|BC||AB|=|BB1|-|AA1||AF|+|BF|=|BF|-|AF||AF|+|BF|,即cos 60°=|BF|-|AF||AF|+|BF|=12,解得|AF||BF|=13.故选A.
【答案】A
9.(2016年四川卷)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ).
A.33 B.23 C.22 D.1
【解析】设P(2pt2,2pt)(不妨设t>0),M(x,y),则Fp2,0,FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.
由已知得FM=13FP,所以x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,
所以x=2p3t2+p3,y=2pt3,
所以kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22,故选C.
【答案】C
10.(2017马鞍山一中模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且BA=4BF,则△AOB(O为坐标原点)的面积为 .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(1,0),BA=4BF得(x1-x2,y1-y2)=4(1-x2,-y2),所以y1=-3y2.
设直线l的方程为x=my+1,联立直线与抛物线的方程,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,即-2y2=4m,-3y22=-4,解得y1=6m,y2=-2m,|m|=33,
所以|y1-y2|=8|m|=833,|OF|=1,所以S△AOB=12×|OF|×|y1-y2|=433.
【答案】433
11.(2017山西省实验中学模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为N,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,若NB·AB=0,则|AF|-|BF|= .
【解析】显然直线的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),x2
所以(x2+1,y2)·(x2-1,y2)=0,即x22+y22=1,
所以x22+4x2-1=0,解得x2=5-2,
又x1x2=1,所以x1=5+2,
故|AF|-|BF|=x1+1-(x2+1)=4.
【答案】4
12.(2016年衡水校级二模)已知点P(1,-1)在抛物线C:y=ax2上,过点P作两条斜率互为相反数的直线分别交抛物线C于点A、B(异于点P).
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)记直线AB交y轴于点(0,y0),求y0的取值范围.
【解析】(1)将点P(1,-1)代入抛物线的方程,得a=-1,
即得抛物线x2=-y的焦点坐标为0,-14.
(2)设直线AP:y+1=k(x-1),
与抛物线方程y=-x2联立消去y,得x2+kx-k-1=0,
由1·xA=-(k+1),即xA=-(k+1),
将k换为-k,同理可得xB=k-1.
由题知xA,xB,1互不相同,即k≠±2且k≠0,
则AB的斜率kAB=yA-yBxA-xB=-xA2+xB2xA-xB=-(xA+xB)=2,
直线AB:y+(k+1)2=2(x+k+1),
令x=0,可得y0=2(k+1)-(k+1)2=1-k2,
又k≠±2且k≠0,则y0∈(-∞,-3)∪(-3,1).
§16.4 曲线与方程
一
曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
二
求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式.
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
三
曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组F1(x,y)=0,F2(x,y)=0的实数解.若此方程组无解,则两条曲线无交点.
四
根据问题给出的条件不同,求轨迹的方法也不同,一般有如下规律
(1)单动点的轨迹问题——直接法+待定系数法;
(2)双动点的轨迹问题——相关点法;
(3)多动点的轨迹问题——参数法+交轨法.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“f(x0,y0)=0”是“点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上”的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( )
(4)方程y=x与x=y2表示同一曲线.( )
(5)方程(2x+3y-1)(x-3-1)=0表示的是两条直线.( )
2 已知平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为14,则动点P的轨迹方程为( ).
A.x24+y2=1 B.x24-y2=1
C.x24+y2=1(x≠±2) D.x24-y2=1(x≠±2)
3 已知动圆过点(-1,0),且与直线x=1相切,则动圆圆心的轨迹方程为( ).
A.x2+y2=1 B.x2-y2=1
C.y2=-4x D.y2=4x
4 动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( ).
A.圆 B.双曲线的一支
C.椭圆 D.双曲线
5 点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,则动点M(x,y)的轨迹方程是 .
基础训练
1.【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.【解析】依题意有kPA·kPB=14,即yx+2·yx-2=14(x≠±2),整理得x24-y2=1(x≠±2).
【答案】D
3.【解析】动圆圆心到定点(-1,0)和定直线x=1距离相等,所以动圆圆心的轨迹是以(-1,0)为焦点,直线x=1为准线的抛物线,所以p=2,其方程为y2=-4x.
【答案】C
4.【解析】设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.
【答案】B
5.【解析】动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等,所以动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,且p=4,开口向右,所以轨迹方程为y2=8x;若点M(x,y)在x轴负半轴上,也满足条件,此时轨迹方程为y=0(x<0).综上可知,所求轨迹方程为y2=8x或y=0(x<0).
【答案】y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)
题型一
直接法求轨迹
【例1】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8,求动圆圆心的轨迹C的方程.
【解析】如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过点O1作O1H⊥MN交MN于点H,则H是MN的中点,∴|O1M|=x2+42.
又|O1A|=(x-4)2+y2,
∴(x-4)2+y2=x2+42,化简得y2=8x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0),也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件和等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性,通常将步骤简记为“建系、设点、列式、化简”.同时,要注意检查是否满足曲线与方程的完备性与纯粹性.
【变式训练1】(2011年全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),点B在直线y=-3上,点M满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)P为C上的动点,l为C在点P处得切线,求点O到l距离的最小值.
【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).
由题意可知(MA+MB)·AB=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线C的方程为y=14x2-2.
(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=14x2-2上一点,因为y'=12x,所以切线l的斜率为12x0.
因此直线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-x02=0.
则点O到直线l的距离d=|2y0-x02|x02+4.
又y0=14x02-2,
所以d=12x02+4x02+4=12x02+4+4x02+4≥2,
当且仅当x02=0时取等号,所以点O到l距离的最小值为2.
题型二
定义法求轨迹
【例2】(2017福建省高三单科质量检测)已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=r2(r>0),圆C1内切圆C2于点A,P是两圆公切线l上异于A的一点,直线PQ切圆C1于点Q,PR切圆C2于点R,且Q,R均不与A重合,直线C1Q,C2R相交于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若直线MC1与x轴不垂直,它与C的另一个交点为N,M'是点M关于x轴的对称点,求证:直线NM'过定点.
【解析】(1)因为圆C1内切圆C2于点A,所以r-1=2,解得r=3,
所以圆C2的方程为(x-1)2+y2=9,
因为直线PQ,PR分别切圆C1,C2于点Q,R,
所以C1Q⊥PQ,C2R⊥PR,
连接PM(如图),在Rt△PQM与Rt△PRM中,
|PQ|=|PA|=|PR|,|PM|=|PM|,
所以|QM|=|RM|,
所以|MC1|+|MC2|=|MQ|+|C1Q|+|MC2|=|MR|+|C1Q|+|C2M|=|C1Q|+|C2R|=4>2=|C1C2|,
所以点M的轨迹C是以C1,C2为焦点,长轴长为4的椭圆(除去长轴端点),
所以点M的轨迹C的方程为x24+y23=1(y≠0).
(2)依题意,设直线MN的方程为x=ty-1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则M'(x1,-y1)且x1≠x2,y1+y2≠0,
联立方程组x=ty-1,x24+y23=1,
消去x,并整理得(3t2+4)y2-6ty-9=0,
Δ=(-6t)2-4×(-9)(3t2+4)=144t2+144>0,
y1+y2=6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,
直线NM'的方程为y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1).
令y=0,得x=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+x1y2y2+y1
=y1(ty2-1)+y2(ty1-1)y2+y1
=2ty1y2y2+y1-1=-18t3t2+46t3t2+4=-4,故直线NM'过定点(-4,0).
(1)若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由定义易求得圆锥曲线方程中的关键量,则往往用圆锥曲线的定义法求解.
(2)利用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义先判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解.
【变式训练2】已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),若一动点F满足|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,则动点F的轨迹方程是( ).
A.y2-x248=1(y≤-1) B.y2-x248=1
C.y2-x248=-1 D.x2-y248=1
【解析】由题意,得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<|AB|.
故动点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.
∵c=7,a=1,∴b2=48,∴动点F的轨迹方程为y2-x248=1(y≤-1).故选A.
【答案】A
题型三
相关点法(代入法)求轨迹
【例3】已知圆C的方程为x2+y2=4,O为坐标原点.
(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,求直线l的方程;
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量OQ=OM+ON,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
【解析】(1)当直线l垂直于x轴时,其方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,3)和(1,-3),|AB|=23,满足题意.
当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
圆心到此直线的距离为d满足23=24-d2,得d=1,
∴1=|-k+2|k2+1,解得k=34,
故所求直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上可知,所求直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
(2)设点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),点Q的坐标为(x,y),则点N的坐标为(0,y0).
∵OQ=OM+ON,
∴(x,y)=(x0,2y0),即x0=x,y0=y2.
又∵x02+y02=4,∴x2+y24=4(y≠0),
∴动点Q的轨迹方程是x24+y216=1(y≠0),
其轨迹是焦点在y轴上的椭圆,除去短轴端点.
(1)利用“相关点法”求解时,必须找准主动点与从动点,并将所求主动点P的坐标设为(x,y),另一已知从动点Q的坐标设为(x0,y0),再寻找P,Q之间的关系,把x0,y0用x,y表示出来,代入点Q满足的方程即得所求.
(2)利用斜率解题时,要讨论直线与x轴是否垂直.
【变式训练3】(2017洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点P的轨迹方程是( ).
A.32x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.32x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-32y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+32y2=1(x>0,y>0)
【解析】设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由BP=2PA,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=32x>0,b=3y>0.又点Q(-x,y),故由OQ·AB=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=32x,b=3y代入ax+by=1,得所求点P的轨迹方程为32x2+3y2=1(x>0,y>0).故选A.
【答案】A
方法
多动点的轨迹问题解题策略
多动点的轨迹问题,一般用参数法或交轨法求解,其中参数法是将直线的斜率作为参数来表示动点坐标的,这种参数法常常称为“k参数法”,k参数法求点的轨迹方程中最为常见的一种.易错点是忽略斜率不存在的情况,因而丢掉点(0,0).
【突破训练】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P43,13.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q的轨迹方程.
【解析】(1)因为2a=|PF1|+|PF2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.
又由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e=ca=12=22.
(2)由(1)知椭圆C的方程为x22+y2=1.设点Q的坐标为(x,y),
当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为0,2-355.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为点M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.
又|AQ|2=(1+k2)x2,由2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,
得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22. ①
将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0, ②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>32.
由②可知x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入①中并化简,得x2=1810k2-3. ③
因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=y-2x,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>32可知0
由题意知,点Q(x,y)在椭圆C内部,所以-1≤y≤1.
又由10(y-2)2=18+3x2,-62
其中x∈-62,62,y∈12,2-355.
1.(2017宜春质检)设定点M1(0,-3),M2(0,3),动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中a是正常数),则点P的轨迹是( ).
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
【解析】∵a是正常数,∴a+9a≥29=6.当|PM1|+|PM2|=6时,点P的轨迹是线段M1M2;当a+9a>6时,点P的轨迹是椭圆,故选C.
【答案】C
2.(2017上海模拟)方程(x2+y2-2x)x+y-3=0表示的曲线是( ).
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
【解析】依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0或②x+y-3>0,x2+y2-2x=0.注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3>0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.故选D.
【答案】D
3.(2017龙岩一模)已知F1、F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( ).
A.x236+y227=1(y≠0) B.4x29+y2=1(y≠0)
C.9x24+3y2=1(y≠0) D.x2+4y23=1(y≠0)
【解析】依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0)(y0≠0),G(x,y),由三角形的重心坐标关系可得x=x0-1+13,y=y03,即x0=3x,y0=3y,代入x024+y023=1得重心G的轨迹方程为9x24+3y2=1(y≠0).
【答案】C
4.(2017江南十校联考)已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足OA+OB=2OP,则点P的轨迹方程为 .
【解析】设B(x0,y0),由OA+OB=2OP,得4+x0=2x,y0=2y,即x0=2x-4,y0=2y,代入圆的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.
【答案】(x-2)2+y2=1
5.(2017湖北八校二模)已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N分别与圆C相切的两条直线相交于点P,则点P的轨迹方程为 .
【解析】如图,设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|,从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=2<|MN|,所以点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,则a=1,c=3,b2=8.故点P的轨迹方程为x2-y28=1(x>1).
【答案】x2-y28=1(x>1)
6.(2017广西一模)设A1,A2是椭圆x29+y24=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的椭圆上的两点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ).
A.x29+y24=1 B.y29+x24=1
C.x29-y24=1 D.y29-x24=1
【解析】设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),
∵A1,P1,P三点共线,∴y-y0x-x0=yx+3, ①
∵A2,P2,P三点共线,∴y+y0x-x0=yx-3. ②
由①②解得x0=9x,y0=3yx,代入椭圆方程得x029+y024=1,化简得x29-y24=1.故选C.
【答案】C
7.(2017徐州模拟)已知直线y=kx+b与抛物线y2=2x交于A,B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|(其中O为坐标原点).若OM⊥AB于M,则点M的轨迹方程为( ).
A.x2+y2=2(y≠0) B.(x-1)2+y2=1(y≠0)
C.x2+(y-1)2=1(y≠0) D.(x-1)2+y2=4(y≠0)
【解析】∵|OA+OB|=|OA-OB|,
∴两边平方,整理得OA·OB=0,可得OA⊥OB.
设A12t2,t,B12m2,m,
则12t2×12m2+mt=0,解得m=-4t,可得B8t2,-4t,
∴直线AB的方程为y-t-4t-t=x-12t28t2-12t2,
令y=0,得x=2,因此直线AB经过定点C(2,0).
∵OM⊥AB于M,∴M的轨迹是以OC为直径的圆(除O,C两点),圆心为(1,0),半径r=1,
此圆的方程为(x-1)2+y2=1(y≠0),即为所求的轨迹方程.
【答案】B
8.(2017安徽桐城一模)若|AB|=2,|AC|=2|BC|,则S△ABC的最大值为 .
【解析】以线段AB所在的直线为x轴,其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),可得A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由|AC|=2|BC|可得(x+1)2+y2=2·(x-1)2+y2,化简得(x-3)2+y2=8(y≠0).即点C在以(3,0)为圆心,半径为22的圆上(除点(3±22,0)外)运动.又由S△ABC=12|AB|·|yc|=|yc|≤22,可得S△ABC的最大值为22.
【答案】22
9.(2017年吉林校级二模)已知点H(-6,0),点P(0,b)在y轴上,点Q(a,0)在x轴的正半轴上,且满足HP⊥PQ,点M在直线PQ上,且满足PM-2MQ=0.
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E(x0,0),设线段AB的中点为D,且2|DE|=3|AB|,求x0的值.
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),
则HP=(6,b),PQ=(a,-b),PM=(x,y-b),MQ=(a-x,-y),
由HP⊥PQ,得6a-b2=0.
由PM-2MQ=0,得x=2(a-x),y-b=-2y⇒a=32x,b=3y,
又6a-b2=0,得y2=x,
故点M的轨迹C的方程为y2=x(x>0).
(2)由题意知直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=k(x+1),y2=x,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0(k≠0),
由Δ=(2k2-1)2-4k4=1-4k2>0,解得-12
∴D12k2-1,12k.
lDE:y=-1kx-12k2+1+12k,
令y=0,解得x0=12-1+12k2=12k2-12,
∴E12k2-12,0,
∴|DE|=122+12k2=121+k2k2,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2×1-4k2k2.
∵2|DE|=3|AB|,有3×1+k2×1-4k2k2=2×121+k2k2,
则3×1-4k2k2=1k,化简得k2=313,此时x0=53.
第十六单元 圆锥曲线的概念与几何性质
考点一
椭圆的标准方程和几何性质
1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( ).
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,3]∪[4,+∞)
【解析】当0
则ab≥tan 60°=3,即3m≥3,
解得0
要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则ab≥tan 60°=3,即m3≥3,解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
故选A.
【答案】A
2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为( ).
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
【解析】因为△AF1B的周长为43,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=43,所以a=3.又因为椭圆的离心率e=ca=33,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为x23+y22=1,故选A.
【答案】A
3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( ).
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=3m,故离心率e=ca=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=3m2m+m=33.
(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±b2a,所以|PF2|=b2a.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=3|PF2|,故2c=3·b2a,变形可得3(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得3(1-e2)=2e,解得e=33或e=-3(舍去).
【答案】D
4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ).
A.63 B.33 C.23 D.13
【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.
∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a,解得a=3b,
∴ba=13,
∴e=ca=a2-b2a= 1-ba2= 1-132=63.故选A.
【答案】A
考点二
双曲线的标准方程和几何性质
5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( ).
A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)
【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=52x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为( ).
A.x28-y210=1 B.x24-y25=1
C.x25-y24=1 D.x24-y23=1
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±bax,所以ba=52.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为x24-y25=1.
【答案】B
7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( ).
A.2 B.3 C.2 D.233
【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=bax,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离d=22-12=3,即|2b|a2+b2=2bc=3,所以4(c2-a2)c2=3,解得c2=4a2.所以e2=4,e=2.
【答案】A
8.(2015年全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( ).
A.-33,33 B.-36,36
C.-223,223 D.-233,233
【解析】由题意不妨取F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1·MF2=x02+y02-3<0.又点M在曲线C上,所以有x022-y02=1,即x02=2+2y02,代入上式得y02<13,所以-33
9.(2017年全国Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则C的离心率为 .
【解析】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=bax,即bx-ay=0,
∴点A到l的距离d=aba2+b2.
又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形,
∴d=32MA=32b,即aba2+b2=32b,∴a2=3b2,
∴e=ca=a2+b2a2=233.
【答案】233
考点三
抛物线的标准方程和几何性质
10.(2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
【解析】由已知得抛物线的焦点为Fp2,0,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则AF=p2,-2,AM=y022p,y0-2.由已知得AF·AM=0,即y02-8y0+16=0,解得y0=4,所以M8p,4.由|MF|=5得8p-p22+16=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
【答案】C
11.(2014年全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|=( ).
A.72 B.52 C.3 D.2
【解析】过点Q作QQ'⊥l交l于点Q',因为FP=4FQ,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选C.
【答案】C
12.(2014年全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ).
A.334 B.938 C.6332 D.94
【解析】易知抛物线中p=32,焦点F34,0,直线AB的斜率k=33,故直线AB的方程为y=33x-34,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=212+32=12,又原点O到直线AB的距离d=p2·sin 30°=38,所以△OAB的面积S=12|AB|·d=94.
【答案】D
13.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
【解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=12|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
【答案】6
高频考点:圆锥曲线的定义与标准方程;圆锥曲线的几何性质(包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线等).
命题特点:从考查题型看,一般是一道选择题或解答题,从考查分值看,在5分~12分之间;从涉及的知识点上讲,常与平面几何、直线方程、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系.
§16.1 椭圆
一
椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 .
二
椭圆的标准方程及其简单几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
顶点
长轴顶点(±a,0),短轴顶点(0,±b)
长轴顶点(0,±a),短轴顶点(±b,0)
轴
长轴长 ,短轴长
焦点
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=ca∈
a,b,c的关系
c2=a2-b2
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.( )
(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(3)若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的任意一点,则|OP|的最小值为b.( )
(4)若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则|PF|∈[a-c,a+c].( )
(5)x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相等.( )
2 (2017年浙江卷)椭圆x29+y24=1的离心率是( ).
A.133 B.53
C.23 D.59
3 已知△ABC的顶点B,C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( ).
A.23 B.6
C.43 D.12
三
点P(x0,y0)和椭圆的关系
1.点P(x0,y0)在椭圆内⇔x02a2+y02b2<1.
2.点P(x0,y0)在椭圆上⇔x02a2+y02b2=1.
3.点P(x0,y0)在椭圆外⇔x02a2+y02b2>1.
四
离心率e与a、b的关系
e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2⇒ba=1-e2.
五
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆方程.
2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
4 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ).
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
5 已知点P是椭圆x25+y24=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.
知识清单
一、和 焦点 焦距
二、x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0) 2a 2b (±c,0) (0,±c) (0,1)
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2.【解析】e=9-43=53,故选B.
【答案】B
3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F是椭圆的另一个焦点),∴△ABC的周长为4a=43.故选C.
【答案】C
4.【解析】将x2+ky2=2化为x22+y22k=1,又方程表示焦点在y轴上的椭圆,则2k>2,解得0
5.【解析】设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入x25+y24=1,得x=±152.又x>0,所以x=152,所以点P的坐标为152,1或152,-1.
题型一
椭圆的定义及应用
【例1】(2015年重庆卷改编)如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,且PQ⊥PF1,求椭圆的标准方程.
【解析】由椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=4,故a=2.
设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=23,即c=3,从而b=1.
故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.
先判断焦点位置,再由定义求出a,最后由a,b,c之间的关系,求出b,从而得到椭圆方程.
【变式训练1】已知椭圆x216+y29=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,知m+n=2a=8,|F1F2|=2c=216-9=27.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=m2+n2-|F1F2|22mn=(m+n)2-2mn-282mn=12,解得mn=12,S△F1PF2=12mnsin 60°=33.
【答案】33
题型二
求椭圆的标准方程
【例2】根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P13,13,Q0,-12两点;
(2)过点(3,-5),且与椭圆y225+x29=1有相同的焦点;
(3)中心在原点,焦点在坐标轴上,椭圆过点(3,0),离心率e=63.
【解析】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
则19m+19n=1,14n=1,解得m=5,n=4.
所以所求椭圆的标准方程为5x2+4y2=1,即y214+x215=1.
(2)(法一)椭圆y225+x29=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=(3-0)2+(-5+4)2+(3-0)2+(-5-4)2,解得a=25.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.
(法二)设所求椭圆的标准方程为y225-k+x29-k=1(k<9),将点(3,-5)的坐标代入可得(-5)225-k+(3)29-k=1,解得k=5(k=21舍去),所以椭圆的标准方程为y220+x24=1.
(3)当椭圆焦点在x轴上时,a=3,e=ca=63,所以c=6,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为x29+y23=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆的标准方程为x29+y227=1.
综上所述,椭圆的标准方程为x29+y23=1或x29+y227=1.
求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可以把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
【变式训练2】(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切,则椭圆C的方程为( ).
A.x28+y26=1 B.x212+y29=1
C.x24+y23=1 D.x26+y24=1
(2)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=10+5,则椭圆的方程为 .
【解析】(1)由题意知e=ca=12,所以e2=c2a2=a2-b2a2=14,即a2=43b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b=62=3,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1,故选C.
(2)设F1(-c,0),由已知,得PF1的方程为x=-c,
代入椭圆方程,得P-c,b2a.
又AB∥OP,所以kOP=kAB,即-b2ac=-ba,
所以b=c,a=2c,|F1A|=a+c=(2+1)c=10+5,得c=5,所以b=5,a=10,
故椭圆的方程为x210+y25=1.
【答案】(1)C (2)x210+y25=1
题型三
求椭圆离心率的值或取值范围
【例3】(1)(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 .
(2)(2015年福建卷)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( ).
A.0,32 B.0,34
C.32,1 D.34,1
【解析】(1)由y=b2,x2a2+y2b2=1,得B-32a,b2,C32a,b2.由F(c,0),得FB=-32a-c,b2,FC=32a-c,b2.又因为∠BFC=90°,所以FB·FC=0,化简可得2a2=3c2,即e2=c2a2=23,故e=63.
(2)设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故|AF1|=|BF1|,
所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2.
设M(0,b),则4b5≥45,故b≥1.
所以a2-c2≥1,所以0
【答案】(1)63 (2)A
离心率是椭圆的重要几何性质,求离心率的值(取值范围)的关键是先建立关于a,b,c的方程(不等式),再把其中的b用a,c表示,最后转化为关于离心率e的关系式(不等式)求解.
【变式训练3】(1)(2017遂宁一诊)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是( ).
A.3-1 B.2-3
C.2-1 D.2-2
(2)(2017东北百校大联考)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【解析】(1)不妨设F1,F2为椭圆的左,右焦点,点A在第一象限内,则由题意,|OA|=12|F1F2|,所以△F1AF2是直角三角形,|AF2|=c,所以|AF1|=3c,2a=3c+c,
所以ca=23+1=3-1,故选A.
(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0),则B2A2=(a,-b),F2B1=(-c,-b).因为∠B1PB2为钝角,所以F2B1与B2A2的夹角为锐角,所以B2A2·F2B1=-ac+b2>0,即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得-5-12
方法
与椭圆有关的范围问题求解策略
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面:
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
【突破训练】(1)(2017贵阳摸底)已知椭圆C:x24+y23=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1的斜率的取值范围是( ).
A.12,34 B.38,34 C.12,1 D.34,1
(2)设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 .
【解析】(1)(法一)设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(-2,0),A2(2,0),则有k1k2=yx+2·yx-2=y2x2-4=31-x24x2-4=-34.因为-2≤k2≤-1,所以k1>0且-2≤-34k1≤-1,即1≤34k1≤2,解得38≤k1≤34.故选B.
(法二)设直线PA2的斜率为k2,令k2=-1,则直线PA2的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程并整理得7x2-16x+4=0,解得x1=2,x2=27,从而可得点P的坐标为27,127,于是直线PA1的斜率k1=127-027+2=34.同理,令k2=-2,可得k1=38.结合选项知,B正确.
(2)|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,
易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P(图略),此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,
故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+(6-3)2+42=15.
【答案】(1)B (2)15
1.(2017四川遂宁模拟)椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值是( ).
A.6或2 B.5 C.1或9 D.3或5
【解析】由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3.所以m的值是3或5,故选D.
【答案】D
2.(2017长春外国语学校期末)椭圆x225+y29与椭圆x29-k+y225-k=1(0
C.有相同的焦点 D.x,y有相同的取值范围
【解析】∵0
3.(2017南昌模拟)已知圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( ).
A.x248+y232=1 B.x248+y264=1
C.x224+y248=1 D.x264+y248=1
【解析】设圆M的半径为r,由题意可知,
|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>|C1C2|=8,
∴圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
∴b2=64-16=48,∴动圆圆心M的轨迹方程为x264+y248=1.
【答案】D
4.(2017宁德联考)已知A,B为椭圆E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则椭圆E的离心率为( ).
A.22 B.32 C.33 D.63
【解析】由题意可知,M为椭圆短轴上的顶点,且∠AMB=120°,所以∠AMO=60°,ab=tan 60°=3,a=3b,所以c2=a2-b2=23a2,所以e=ca=63.
【答案】D
5.(2017辽宁五校联考)椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任意一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=a2-b2,则椭圆M的离心率e的取值范围是( ).
A.33,22 B.22,1
C.33,1 D.13,12
【解析】∵|PF1|·|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=2a22=a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤a2c2≤3,∴13≤e2≤12,解得33≤e≤22.
【答案】A
6.(2017东北三校联考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),且过点-32,52,则椭圆的标准方程为 .
【解析】由题设知,椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).
由椭圆的定义知,2a=-322+52+22+-322+52-22=3210+1210=210,所以a=10.
又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
故所求椭圆的标准方程为y210+x26=1.
【答案】y210+x26=1
7.(2017宜昌调研)过椭圆x25+y24=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
【解析】由题意知,椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.
联立x25+y24=1,y=2x-2,解得交点坐标A(0,-2),B53,43,
所以S△OAB=12·|OF|·|yA-yB|
=12×1×-2-43=53.
【答案】53
8.(2017日照市二模)如图,已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的上,下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=12.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与x轴交于点H,若F1B·F1H=0,且|MO|=|MA|,求直线l的方程.
【解析】(1)设椭圆的焦点F1(0,c),由点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,得|3c+12|5=3,所以c=1.
又椭圆C的离心率e=12,所以ca=12,a=2,所以b2=3,
故椭圆C的标准方程为y24+x23=1.
(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=kx,设B(xB,yB),A(xA,yA),
由y=kx+2,x23+y24=1,得(3k2+4)x2+12kx=0,
则有xA=0,xB=-12k3k2+4,所以yB=-6k2+83k2+4,
所以F1B=-12k3k2+4,8-6k23k2+4-1,F1H=(xH,-1),
由已知F1B·F1H=0,
得-12k3k2+4·xH+1--6k2+83k2+4=0,解得xH=9k2-412k,
由|MO|=|MA|,得xM2+yM2=xM2+(yM-2)2,解得yM=1,
直线MH的方程为y=-1kx-9k2-412k,
联立y=kx+2,y=-1kx-9k2-412k,解得yM=9k2+2012(1+k2),
由yM=9k2+2012(1+k2)=1,解得k2=83,
所以直线l的方程为y=±263x+2.
9.(2017河北联考)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若13
C.12,23 D.0,12∪23,1
【解析】由题意可知|AF2|=a+c,|BF2|=b2a,所以直线AB的斜率为k=b2a(a+c)=a2-c2a2+ac=1-e21+e∈13,12,即1-e21+e>13,1-e21+e<12,解得12
10.(2017唐山一中月考)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为( ).
A.33 B.63 C.34 D.23
【解析】设F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.
由韦达定理得,x1+x2=-2a2ca2+b2,所以y1+y2=x1+x2+2c=2b2ca2+b2.
由OA+OB与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,
即-2a2ca2+b2+3×2b2ca2+b2=0,解得b2a2=13,得e=1-b2a2=63.故选B.
【答案】B
11.(2014年江西卷)过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
从而(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0.
依题意x1+x2=2,y1+y2=2,且y1-y2x1-x2=-12,
所以-b2a2=-12,即a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),
得e2=c2a2=12,所以e=22.
【答案】22
12.(2017浙江模拟)若椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)上存在关于直线l:y=2x+1对称的点,则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【解析】设A,B是椭圆C上关于直线l:y=2x+1对称的两点,直线AB的方程为y=-12x+m.联立x2a2+y2=1,y=-12x+m,得(a2+4)x2-4ma2x+4a2(m2-1)=0.点A,B存在⇒Δ>0⇒a2-4m2+4>0. ①
由弦AB的中点E(x0,y0)在直线l:y=2x+1上,得a2=4m-44m+1>0,解得m<-14或m>1. ②
将a2=4m-44m+1代入①得m(m-1)(4m+5)4m+1<0,结合②解得-54
13.(2017四川一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=409的公共弦长为4103,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点2,±2103,所以49+409b2=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为x29+y28=1.
(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由y=kx+2,x29+y28=1,得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-36k9k2+8,所以x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.因为DE⊥AB,所以kDE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,所以m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k>0时,9k+8k≥29×8=122,所以-212≤m<0;当k<0时,9k+8k≤-122,所以0
14.(2015年天津卷)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为55.
(1)求直线BF的斜率;
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.
①求λ的值;
②若|PM|sin∠BQP=759,求椭圆的方程.
【解析】(1)设F(-c,0).由已知离心率ca=55及a2=b2+c2,可得a=5c,b=2c,又因为B(0,b),F(-c,0),
故直线BF的斜率k=b-00-(-c)=2cc=2.
(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).
①由(1)可得椭圆的方程为x25c2+y24c2=1,直线BF的方程为y=2x+2c.
将直线BF的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=-5c3.
因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-12x+2c.
将直线BQ的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得xQ=40c21.
又因为λ=|PM||MQ|及xM=0,可得λ=|xM-xP||xQ-xM|=|xP||xQ|=78.
②因为|PM||MQ|=78,所以|PM||PM|+|MQ|=77+8=715,
即|PQ|=157|PM|.
又因为|PM|sin∠BQP=759,
所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=157|PM|sin∠BQP=553.
又因为yP=2xP+2c=-43c,
所以|BP|=0+5c32+2c+4c32=553c,
因此553c=553,得c=1.
所以椭圆的方程为x25+y24=1.
§16.2 双曲线
一
双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ,两焦点间的距离叫作双曲线的 .
二
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)
y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴: ,对称中心:
顶点
渐近线
离心率
e= ,e∈(1,+∞)
a、b、c的关系
c2= (c>a>0,c>b>0)
三
等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 .
四
常用结论
1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b;
双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.
2.点与双曲线的关系
(1)点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的内部⇔x02a2-y02b2>1.
(2)点P(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的外部⇔x02a2-y02b2<1.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程x2m-y2n=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2.( )
(4)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2a2=1(a>0,b>0)有共同的渐近线.( )
(5)P是x216-y220=1上的点,F1为左焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=17或1.( )
2 方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是( ).
A.-1
C.k≥0 D.k>1或k<-1
3 (2015年安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( ).
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1
C.y24-x2=1 D.y2-x24=1
4 (2017石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为( ).
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x210-y26=1 D.x26-y210=1
5 设双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF1F2的面积为6,则点P的坐标为 .
知识清单
一、差的绝对值 焦点 焦距
二、坐标轴 原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) y=±bax y=±abx ca a2+b2
三、y=±x e=2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2.【解析】由题可知,方程表示双曲线应满足(1+k)(1-k)>0,则k的取值范围是-1
3.【解析】由双曲线性质知A、B选项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D选项双曲线焦点均在y轴上,但D选项渐近线为y=±12x,只有C选项符合,故选C.
【答案】C
4.【解析】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,所以双曲线的方程为x24-y212=1,故选A.
【答案】A
5.【解析】因为双曲线方程为x24-y25=1,所以c=3.又因为△PF1F2的面积为6,所以12×2c×yP=6,所以yP=2.代入双曲线方程,得xP24-45=1,xP2=365,即xP=655xP=-655舍去.
【答案】655,2
题型一
双曲线的定义
【例1】(1)设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P的轨迹方程是( ).
A.x29-y216=1 B.y29-x216=1
C.x29-y216=1(x≤-3) D.x29-y216=1(x≥3)
(2)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( ).
A.14 B.13 C.24 D.23
【解析】(1)由题意,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,∴点P的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).
故选D.
(2)由e=ca=2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a,
∴cos∠AF2F1=(4a)2+(2a)2-(4a)22×4a×2a=14.
【答案】(1)D (2)A
利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关的问题时,需弄清点在双曲线的哪支上.
【变式训练1】(1)(2017陕西师大附中模拟)设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为( ).
A.19 B.26 C.43 D.50
(2)设双曲线与椭圆y236+x227=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,则此双曲线的方程为 .
【解析】(1)如图,由双曲线的定义可得
|PF2|-|PF1|=2a, ①|QF2|-|QF1|=2a, ②
①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,
∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.
(2)由椭圆方程y236+x227=1,得椭圆的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3).
设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).
∵点A在第一象限,且纵坐标为4,∴A(15,4),
∴2a=||AF1|-|AF2||
=|(15)2+(4+3)2-(15)2+(4-3)2|=4,
∴a=2,b2=32-22=5,
故所求双曲线的方程为y24-x25=1.
【答案】(1)B (2)y24-x25=1
题型二
待定系数法求双曲线方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线的焦点在x轴上,且经过(-2,-3),153,2两点;
(2)与双曲线x24-y23=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2);
(3)与椭圆x249+y224=1有公共焦点,且离心率e=52.
【解析】(1)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0),
由已知得2m-3n=1,159m-2n=1,解得m=1,n=13,
所以所求双曲线的标准方程为x2-y23=1.
(2)设所求双曲线的方程为x24-y23=λ(λ≠0),
因为点M(3,-2)在双曲线上,所以94-43=λ,即λ=1112,
故所求双曲线的标准方程为x2113-y2114=1.
(3)设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由已知得双曲线的焦点为F1(5,0),F2(-5,0),则c=5,
由e=ca=52,知a=25,b2=c2-a2=25-(25)2=5.
故双曲线的标准方程为x220-y25=1.
求双曲线的标准方程,应该“先定位,后定量”,如果不能确定焦点的位置,应注意分类讨论.
【变式训练2】(1)(2017临川实验学校一模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±33x,若顶点到渐近线的距离为3,则双曲线的方程为( ).
A.x24-3y24=1 B.x212-y24=1
C.x24-y212=1 D.3x24-y24=1
(2)(2017九江市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,从C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为( ).
A.x22-y28=1 B.x24-y2=1
C.x24-y216=1 D.x2-y24=1
【解析】(1)渐近线方程化简为x±3y=0,设顶点坐标为
(a,0),顶点到渐近线的距离为a2=3,解得a=23,由渐近线方程的斜率ba=33,可得b=2,所以双曲线的方程为x212-y24=1.故选B.
(2)因为双曲线的离心率为5,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立y=2x,y=-12(x-c),得Ac5,2c5.又因为△AFO的面积为1,所以12×25c2=1,解得c2=5,则a2=1,b2=4,即双曲线C的方程为x2-y24=1.故选D.
【答案】(1)B (2)D
题型三
双曲线的离心率与渐近线
【例3】(1)(2017惠州二模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为23c(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( ).
A.73 B.372 C.37 D.377
(2)(2017武邑中学周考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为( ).
A.[2,+∞) B.[2,+∞)
C.(1,2] D.(1,2]
【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=bax的距离为b,则b=23c⇒3b=2c⇒9b2=2c2⇒9(c2-a2)=2c2⇒7c2=9a2⇒c2a2=97⇒e=377,故选D.
(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a,而双曲线右支上的点到F2的最小距离为c-a,因此|PF2|=a≥c-a,得e≤2,又双曲线离心率e>1,所以1
【变式训练3】(1)(2017重庆一中月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为( ).
A.3 B.52 C.5 D.2
(2)(2017吉林省实验中学八模)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ).
A.1,32 B.(1,2)
C.32,+∞ D.(2,+∞)
【解析】(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±bax,直线x+2y+1=0的斜率为-12,∴-12×ba=-1,∴ba=2.∴双曲线的离心率e=ca=1+ba2=5.故选C.
(2)|AB|是双曲线通径,|AB|=2b2a,由题意a+c
【答案】(1)C (2)D
方法
双曲线中的焦点三角形问题
双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中的“焦点三角形”即由双曲线上的一个动点P和两个焦点F1,F2作为顶点的三角形.
(1)若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积S△F1PF2=b2tanα2.
(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.
(3)焦点三角形PF1F2中,利用||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,借助余弦定理、正弦定理进行转化,可求得离心率及其取值范围.
【突破训练】(1)(2017西铁一中五模)设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(OP+OF2)·F2P=0(O为坐标原点),且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( ).
A.2+12 B.2+1 C.3+12 D.3+1
(2)(2016年浙江卷)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
【解析】(1)因为(OP+OF2)·F2P=0,即(OP+OF2)·(OP-OF2)=0,
所以OP2-OF22=0,|OP|=|OF2|=|OF1|,所以PF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中,因为|PF1|=3|PF2|,所以∠PF1F2=30°,
由|F1F2|=2c得|PF2|=c,|PF1|=3c,所以2a=3c-c.
所以ca=23-1=3+1,故选D.
(2)如图,由已知可得a=1,b=3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2.
由△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义应满足(m+2)2
【答案】(1)D (2)(27,8)
1.(2014年全国Ⅰ卷)已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2,则a=( ).
A.2 B.62 C.52 D.1
【解析】因为c2=a2+3,所以e=ca=a2+3a2=2,得a2=1,所以a=1.
【答案】D
2.(2017唐山市二模)已知双曲线过点(2,3),且渐近线方程为y=±3x,则双曲线的方程是( ).
A.7x216-y212=1 B.y23-x22=1
C.x2-y23=1 D.3y223-x223=1
【解析】设双曲线的方程为x2-y23=λ,∵双曲线过点(2,3),∴4-93=λ,即λ=1,故双曲线的方程是x2-y23=1,故选C.
【答案】C
3.(2014年广东卷)若实数k满足0
C.离心率相等 D.焦距相等
【解析】∵0
【答案】D
4.(2017年天津卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ).
A.x24-y24=1 B.x28-y28=1
C.x24-y28=1 D.x28-y24=1
【解析】由题意得a=b,4c=1,所以c=4.又因为c2=a2+b2=16,所以a2=8,b2=8,则双曲线的方程为x28-y28=1.故选B.
【答案】B
5.(2017湖南八校联考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线C的实轴垂直,则双曲线C的离心率为( ).
A.52 B.5 C.2 D.2
【解析】设F(c,0),一条渐近线的方程为y=bax,点F到该渐近线的距离为bca2+b2=b,即圆F的半径为b.令x=c,与双曲线方程联立解得y=±b2a,依题意b2a=b,所以a=b,所以双曲线C的离心率e=ca=a2+b2a=2.
【答案】C
6.(2017山东枣庄一模)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线x2-y2a2=1(a>0)的中心和右焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围是( ).
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C.[2,+∞) D.[-2,+∞)
【解析】由a2+1=4得a=3,所以双曲线的方程为x2-y23=1.设点P(x0,y0),则x02-y023=1,即y02=3x02-3.所以OP·FP=x0(x0-2)+y02=4x02-2x0-3.因为x0≥1,所以当x0=1时,OP·FP取得最小值-1,所以OP·FP∈[-1,+∞).
【答案】A
7.(2017西安质检)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|= .
【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±3x,将x=2代入y=±3x,得y=±23,∴|AB|=43.
【答案】43
8.(2017成都一诊)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线上一点P满足PF2⊥x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为 .
【解析】2c=12⇒c=6,根据勾股定理可得|PF1|=122+52=13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e=ca=64=32.
【答案】32
9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ).
A.5 B.2 C.3 D.2
【解析】设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如图,由|AB|=|BM|,∠ABM=120°,则过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN中,|BN|=a,|MN|=3a,故点M的坐标为(2a,3a),代入双曲线方程可得a2=b2=c2-a2,即有c2=2a2,所以e=ca=2.故选D.
【答案】D
10.(2017曲靖一中月考)设F1,F2分别是双曲线M:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足F2A·F2B<0,则双曲线的离心率e的取值范围是( ).
A.1
C.1
【解析】由双曲线的对称性可知△ABF2是等腰三角形,且∠AF2B是钝角,
所以π4<∠AF2F1=12∠AF2B<π2,所以tan∠AF2F1>1,即|AF1||F1F2|>1.
又|AF1|=b2a,所以b22ac>1,即c2-a2>2ac,化简得e2-2e-1>0,解得e>2+1,故选B.
【答案】B
11.(2017柳州市模拟)设双曲线x29-y26=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线l交双曲线的左支于A、B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为 .
【解析】|AF2|+|BF2|=2a+|AF1|+2a+|BF1|=4a+|AB|≥4a+2b2a=4×3+2×63=16.
【答案】16
12.(2017烟台模拟)给出下列说法:
①“m>5”是“x25-m-y21-m=1为双曲线”的充分不必要条件;
②已知P为双曲线x225-y216=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,若|PF1|=11,则|PF2|=1或|PF2|=21;
③若在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上存在点P满足|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围是(1,2];
④直线3x-4y-4=0与双曲线x216-y29=1有两个不同的交点.
其中正确的说法是 .(填序号)
【解析】①中,若x25-m-y21-m表示双曲线,则(5-m)(1-m)>0,即m>5或m<1,故①正确;②中,由|11-|PF2||=2a=10,得|PF2|=1或|PF2|=21,但|PF2|min=c-a=41-5>1,所以|PF2|=21,故②错误;③中,由|PF1|=3|PF2|及|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=a≥c-a,所以1
§16.3 抛物线
一
抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的 ,直线l叫作抛物线的 .
二
抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
图形
顶点
(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Fp2,0
F-p2,0
F0,p2
F0,-p2
离心率
e=1
准线
方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
三
焦半径
抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点Fp2,0的距离|PF|= ,也称为抛物线的焦半径.
四
焦点弦的常用结论
以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线上过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影分别为A1,B1,则有以下结论:
(1)x1x2= ,y1y2= ;
(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=p1-cosθ,|BF|=p1+cosθ(A点在上,B点在下);
(3)|AB|=x1+x2+p=2psin2θ(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是4.( )
(2)若过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径,则抛物线x2=-2ay(a>0)的通径长为2a.( )
(3)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4,0,准线方程是x=-a4.( )
(4)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物线的离心率.( )
(5)若点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹是抛物线,其方程为x2=16y.( )
2 抛物线y=-12x2的焦点坐标是( ).
A.0,18 B.-18,0
C.0,-12 D.-12,0
3 过定点P(1,2)作直线l,使l与抛物线y2=4x有且仅有一个交点,这样的直线l共有( ).
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
4 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
5 正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则这个正三角形的边长为 .
6 如图所示的是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 米.
知识清单
一、相等 焦点 准线
三、x0+p2
四、(1)p24 -p2
基础训练
1.【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2.【解析】由y=-12x2得x2=-2y,所以p=1,-p2=-12,焦点坐标为0,-12.
【答案】C
3.【解析】由于点P(1,2)在抛物线上,因此有一个交点的直线l为过点P(1,2)与抛物线相切或过点P(1,2)与抛物线的对称轴平行的直线.
【答案】B
4.【解析】设M(x0,y0)为所求点的坐标,则点M到准线的距离等于点M到焦点的距离,又准线方程为x=-3,则x0+3
=9,∴x0=6,y02=72,y0=±62,故点M的坐标是(6,±62).
【答案】(6,62),(6,-62)
5.【解析】由抛物线的几何性质知,正三角形△OAB关于x轴对称(如图),直线OA:y=33x,联立y=33x和y2=2px,解得x=6p,故A(6p,23p),B(6p,-23p),则正三角形的边长a=2|y|=43p.
【答案】43p
6.【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,所以x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为26.
【答案】26
题型一
抛物线的定义
【例1】设P是曲线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),点F是抛物线的焦点,求|PB|+|PF|的最小值.
【解析】(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知,点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF交曲线于点P,故最小值为22+1=5.
(2)如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,
此时,|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
与抛物线有关的试题,更多的是考查抛物线的定义,利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,实现转化,从而构造出“两点间线段最短”,使问题得解.
【变式训练1】(1)(2016年浙江卷)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
(2)(2017昆明一中月考)已知直线l1是抛物线C:y2=8x的准线,P是C上的一动点,则点P到直线l1与直线l2:3x-4y+24=0的距离之和的最小值为 .
【解析】(1)设点M的坐标为(x0,y0),由题意知抛物线的准线为x=-1.因为|MF|=10,根据抛物线的定义可得x0+1=|MF|=10,解得x0=9,所以M到y轴的距离是9.
(2)抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,根据题意作出图象(如图),点P到直线l2的距离为|PA|,点P到x=-2的距离为|PB|.
由抛物线的定义知,|PB|=|PF|,
故点P到直线l2:3x-4y+24=0和x=-2的距离之和为|PA|+|PF|,
当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,
而点F(2,0)到直线l2:3x-4y+24=0的距离为|6+24|5=6,
所以点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值为6.
【答案】(1)9 (2)6
题型二
抛物线的方程与几何性质
【例2】若点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,则抛物线的标准方程是( ).
A.x2=112y
B.x2=112y或x2=-136y
C.x2=-136y
D.x2=12y或x2=-36y
【解析】将y=ax2化为x2=1ay.
当a>0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=112.
当a<0时,准线y=-14a,则3+14a=6,∴a=-136.
∴抛物线的标准方程为x2=12y或x2=-36y.故选D.
【答案】D
求抛物线的标准方程的方法:
①求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
②因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,应先定位,再定量.
【变式训练2】(1)(2017贵阳市摸底考试)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C相交于A,B两点,且AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为 .
(2)如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是 .
【解析】(1)由题可得直线l的方程为y=kx-p2,与抛物线C:y2=2px(p>0)联立,可得k2x2-k2px-2px+k2p24=0⇒p2+pk2=3,pk=2⇒k=1或k=2,所以p=2或p=4,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=8x.
(2)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则Fp2,0,B-p2,y,将A(3,y)代入抛物线方程得y2=6p,y=6p.因为△ABF为等边三角形,所以kAF=3,即6p-03-p2=3,解得p=2.所以抛物线的标准方程是y2=4x.
【答案】(1)y2=4x或y2=8x (2)y2=4x
【例3】(2016年全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】不妨设抛物线C:y2=2px(p>0),则圆的方程可设为x2+y2=r2(r>0),如图,
又可设A(x0,22),D-p2,5,
∵点A(x0,22)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0. ①
又点A(x0,22)在圆x2+y2=r2上,∴x02+8=r2. ②
又点D-p2,5在圆x2+y2=r2上,∴5+p22=r2, ③
联立①②③,解得p=4,即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.
【答案】B
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.
【变式训练3】(1)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( ).
A.12,0 B.(1,0) C.14,0 D.(0,1)
(2)(2017年全国Ⅱ卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( ).
A.5 B.22 C.23 D.33
【解析】(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-p2且其准线过点(-1,1),故-p2=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
(2)由题意知,直线MF的方程为y=3(x-1),联立y=3(x-1),y2=4x,
得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3,所以M(3,23).
因为MN⊥l,所以N(-1,23).
又因为F(1,0),所以直线NF的方程为y=-3(x-1),
所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(3)2+12=23.
【答案】(1)B (2)C
题型三
抛物线的焦点弦
【例4】过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( ).
A.22 B.2 C.322 D.22
【解析】(法一)如图,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,∴点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y=22,∴A(2,22),∴直线AF的方程为y=22(x-1).
联立直线与抛物线的方程y=22(x-1),y2=4x,得2x2-5x+2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=52.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=52+2=92,
∴点O到直线AB:22x-y-22=0的距离为d=223,
∴S△AOB=12|AB|d=12×92×223=322.故选C.
(法二)由(法一)知,直线AB的方程为y=22(x-1),
联立直线与抛物线的方程,消去x得y2-2y-4=0,解得yA=22,yB=-2.
∴S△AOB=12|OF|·|yA-yB|=12×1×|22+2|=322.故选C.
(法三)由抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,可得点A的横坐标为2,不妨设A(2,22),则S△OAF=2,又知0
本题利用抛物线的定义求出AF的方程,直线AB过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p或|AB|=y1+y2+p求解,还可利用几何特征来估算.
【变式训练4】(2017年山东卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
【解析】由|AF|+|BF|=4|OF|,得yA+p2+yB+p2=4×p2,即yA+yB=p.
联立x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
所以yA+yB=2pb2a2=p⇒a=2b.
故双曲线的渐近线方程为y=±22x.
【答案】y=±22x
方法
抛物线定义的应用
抛物线的定义是解决点到焦点距离及点到准线距离的问题,这也是抛物线问题中常用到的转化思想.“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义而获得简捷、直观的求解.“数想形、形悟数、数形结合”是解题的一条捷径.
【突破训练】已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .
【解析】由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即要使|AC|+|BD|取得最小值,当且仅当|AB|取得最小值.由抛物线的定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.
【答案】2
1.(2017辽宁沈阳模拟)抛物线y=-12x2的焦点坐标是( ).
A.0,18 B.-18,0
C.0,-12 D.-12,0
【解析】把原方程化为标准方程x2=-2y,则2p=2,∴p2=12,即焦点坐标为0,-12,故选C.
【答案】C
2.(2017四川绵阳二诊)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=( ).
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】由题意知抛物线的准线方程为x=-14.因为|AF|=54x0,根据抛物线的定义可得x0+14=|AF|=54x0,解得x0=1,故选A.
【答案】A
3.(2017湖南十校联考)若抛物线y2=2px的焦点到双曲线x28-y2p=1的渐近线的距离为24p,则抛物线的标准方程为( ).
A.y2=16x B.y2=8x
C.y2=16x或y2=-16x D.y2=8x或y2=-8x
【解析】由题意得抛物线的焦点为Fp2,0,点F到双曲线的渐近线px±22y=0的距离为pp2p+8=24p(p>0),解得p=8,即抛物线的标准方程为y2=16x.故选A.
【答案】A
4.(2017福州一中5月质检)点P在抛物线x2=4y上,F为抛物线的焦点,|PF|=5,以P为圆心,|PF|为半径的圆交x轴于A,B两点,则AP·AB=( ).
A.9 B.12 C.18 D.32
【解析】设P(x,y),由定义得|PF|=y+1=5,即y=4.由以P为圆心,|PF|为半径的圆交x轴于A,B两点,得|AB|=252-42=6.又由投影的几何意义,AP·AB=12AB2=18,故选C.
【答案】C
5.(2017江西鹰潭二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则sin∠AFB=( ).
A.45 B.35 C.34 D.55
【解析】由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1).联立直线与抛物线方程,得x-2y+4=0,x2=4y,解得x=-2,y=1或x=4,y=4.令A(-2,1),则B(4,4),∴|AB|=36+9=35,|AF|=4+0=2,|BF|=16+9=5,∴在△ABF中,cos∠AFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF||BF|=4+25-452×2×5=-45,∴sin∠AFB=1-1625=35,故选B.
【答案】B
6.(2017重庆联考)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(-1,0)作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若|AF||BF|=12,则k= .
【解析】设直线l的方程为x=my-1,联立直线l与抛物线C的方程,得y2-4my+4=0,则有yA+yB=4m,yAyB=4,由抛物线的定义和平行线截得线段成比例,知|AF||BF|=|AA1||BB1|=yAyB=12,yB=2yA,所以yA=2,yB=22,k=1m=4yA+yB=223.
【答案】223
7.(2017广东揭阳二模)已知AB是抛物线x2=4y的一条焦点弦,若该弦中点的纵坐标是3,则弦AB所在的直线方程是 .
【解析】(法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=m(y-1),由抛物线的定义及题设可得y1+y2=6,联立直线AB与抛物线的方程消去x可得m2y2-(2m2+4)y+m2=0.∴y1+y2=2m2+4m2,即6=2m2+4m2,解得m=1或m=-1.故弦AB所在的直线方程为x-y+1=0或x+y-1=0.
(法二)|AB|=y1+y2+p=6+2=8.而|AB|=2psin2α,∴sin2α=12,即sin α=22,α=45°或135°,∴k=1或k=-1.故弦AB所在的直线方程为x-y+1=0或x+y-1=0.
【答案】x-y+1=0或x+y-1=0
8.(2017长春模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一,四象限分别交于A,B两点,则|AF||BF|的值等于( ).
A.13 B.23 C.34 D.43
【解析】记抛物线y2=2px的准线为l',如图,作AA1⊥l',BB1⊥l',AC⊥BB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cos∠ABB1=|BC||AB|=|BB1|-|AA1||AF|+|BF|=|BF|-|AF||AF|+|BF|,即cos 60°=|BF|-|AF||AF|+|BF|=12,解得|AF||BF|=13.故选A.
【答案】A
9.(2016年四川卷)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ).
A.33 B.23 C.22 D.1
【解析】设P(2pt2,2pt)(不妨设t>0),M(x,y),则Fp2,0,FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.
由已知得FM=13FP,所以x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,
所以x=2p3t2+p3,y=2pt3,
所以kOM=2t2t2+1=1t+12t≤1212=22,故选C.
【答案】C
10.(2017马鞍山一中模拟)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且BA=4BF,则△AOB(O为坐标原点)的面积为 .
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由F(1,0),BA=4BF得(x1-x2,y1-y2)=4(1-x2,-y2),所以y1=-3y2.
设直线l的方程为x=my+1,联立直线与抛物线的方程,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,即-2y2=4m,-3y22=-4,解得y1=6m,y2=-2m,|m|=33,
所以|y1-y2|=8|m|=833,|OF|=1,所以S△AOB=12×|OF|×|y1-y2|=433.
【答案】433
11.(2017山西省实验中学模拟)抛物线y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为N,过点F作直线与抛物线交于A,B两点,若NB·AB=0,则|AF|-|BF|= .
【解析】显然直线的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),x2
所以(x2+1,y2)·(x2-1,y2)=0,即x22+y22=1,
所以x22+4x2-1=0,解得x2=5-2,
又x1x2=1,所以x1=5+2,
故|AF|-|BF|=x1+1-(x2+1)=4.
【答案】4
12.(2016年衡水校级二模)已知点P(1,-1)在抛物线C:y=ax2上,过点P作两条斜率互为相反数的直线分别交抛物线C于点A、B(异于点P).
(1)求抛物线C的焦点坐标;
(2)记直线AB交y轴于点(0,y0),求y0的取值范围.
【解析】(1)将点P(1,-1)代入抛物线的方程,得a=-1,
即得抛物线x2=-y的焦点坐标为0,-14.
(2)设直线AP:y+1=k(x-1),
与抛物线方程y=-x2联立消去y,得x2+kx-k-1=0,
由1·xA=-(k+1),即xA=-(k+1),
将k换为-k,同理可得xB=k-1.
由题知xA,xB,1互不相同,即k≠±2且k≠0,
则AB的斜率kAB=yA-yBxA-xB=-xA2+xB2xA-xB=-(xA+xB)=2,
直线AB:y+(k+1)2=2(x+k+1),
令x=0,可得y0=2(k+1)-(k+1)2=1-k2,
又k≠±2且k≠0,则y0∈(-∞,-3)∪(-3,1).
§16.4 曲线与方程
一
曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.
二
求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.
(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}.
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0.
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式.
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
三
曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x,y)=0,曲线C2的方程为F2(x,y)=0,则C1,C2的交点坐标即为方程组F1(x,y)=0,F2(x,y)=0的实数解.若此方程组无解,则两条曲线无交点.
四
根据问题给出的条件不同,求轨迹的方法也不同,一般有如下规律
(1)单动点的轨迹问题——直接法+待定系数法;
(2)双动点的轨迹问题——相关点法;
(3)多动点的轨迹问题——参数法+交轨法.
☞左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“f(x0,y0)=0”是“点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上”的充要条件.( )
(2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )
(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( )
(4)方程y=x与x=y2表示同一曲线.( )
(5)方程(2x+3y-1)(x-3-1)=0表示的是两条直线.( )
2 已知平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为14,则动点P的轨迹方程为( ).
A.x24+y2=1 B.x24-y2=1
C.x24+y2=1(x≠±2) D.x24-y2=1(x≠±2)
3 已知动圆过点(-1,0),且与直线x=1相切,则动圆圆心的轨迹方程为( ).
A.x2+y2=1 B.x2-y2=1
C.y2=-4x D.y2=4x
4 动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为( ).
A.圆 B.双曲线的一支
C.椭圆 D.双曲线
5 点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2,则动点M(x,y)的轨迹方程是 .
基础训练
1.【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.【解析】依题意有kPA·kPB=14,即yx+2·yx-2=14(x≠±2),整理得x24-y2=1(x≠±2).
【答案】D
3.【解析】动圆圆心到定点(-1,0)和定直线x=1距离相等,所以动圆圆心的轨迹是以(-1,0)为焦点,直线x=1为准线的抛物线,所以p=2,其方程为y2=-4x.
【答案】C
4.【解析】设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,∴|OO2|-|OO1|=1<|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.
【答案】B
5.【解析】动点M(x,y)到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等,所以动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,且p=4,开口向右,所以轨迹方程为y2=8x;若点M(x,y)在x轴负半轴上,也满足条件,此时轨迹方程为y=0(x<0).综上可知,所求轨迹方程为y2=8x或y=0(x<0).
【答案】y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)
题型一
直接法求轨迹
【例1】已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8,求动圆圆心的轨迹C的方程.
【解析】如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,得|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过点O1作O1H⊥MN交MN于点H,则H是MN的中点,∴|O1M|=x2+42.
又|O1A|=(x-4)2+y2,
∴(x-4)2+y2=x2+42,化简得y2=8x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标为(0,0),也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件和等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性,通常将步骤简记为“建系、设点、列式、化简”.同时,要注意检查是否满足曲线与方程的完备性与纯粹性.
【变式训练1】(2011年全国卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),点B在直线y=-3上,点M满足MB∥OA,MA·AB=MB·BA,点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)P为C上的动点,l为C在点P处得切线,求点O到l距离的最小值.
【解析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以MA=(-x,-1-y),MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).
由题意可知(MA+MB)·AB=0,即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线C的方程为y=14x2-2.
(2)设P(x0,y0)为曲线C:y=14x2-2上一点,因为y'=12x,所以切线l的斜率为12x0.
因此直线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-x02=0.
则点O到直线l的距离d=|2y0-x02|x02+4.
又y0=14x02-2,
所以d=12x02+4x02+4=12x02+4+4x02+4≥2,
当且仅当x02=0时取等号,所以点O到l距离的最小值为2.
题型二
定义法求轨迹
【例2】(2017福建省高三单科质量检测)已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=r2(r>0),圆C1内切圆C2于点A,P是两圆公切线l上异于A的一点,直线PQ切圆C1于点Q,PR切圆C2于点R,且Q,R均不与A重合,直线C1Q,C2R相交于点M.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若直线MC1与x轴不垂直,它与C的另一个交点为N,M'是点M关于x轴的对称点,求证:直线NM'过定点.
【解析】(1)因为圆C1内切圆C2于点A,所以r-1=2,解得r=3,
所以圆C2的方程为(x-1)2+y2=9,
因为直线PQ,PR分别切圆C1,C2于点Q,R,
所以C1Q⊥PQ,C2R⊥PR,
连接PM(如图),在Rt△PQM与Rt△PRM中,
|PQ|=|PA|=|PR|,|PM|=|PM|,
所以|QM|=|RM|,
所以|MC1|+|MC2|=|MQ|+|C1Q|+|MC2|=|MR|+|C1Q|+|C2M|=|C1Q|+|C2R|=4>2=|C1C2|,
所以点M的轨迹C是以C1,C2为焦点,长轴长为4的椭圆(除去长轴端点),
所以点M的轨迹C的方程为x24+y23=1(y≠0).
(2)依题意,设直线MN的方程为x=ty-1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则M'(x1,-y1)且x1≠x2,y1+y2≠0,
联立方程组x=ty-1,x24+y23=1,
消去x,并整理得(3t2+4)y2-6ty-9=0,
Δ=(-6t)2-4×(-9)(3t2+4)=144t2+144>0,
y1+y2=6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,
直线NM'的方程为y+y1=y2+y1x2-x1(x-x1).
令y=0,得x=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+x1y2y2+y1
=y1(ty2-1)+y2(ty1-1)y2+y1
=2ty1y2y2+y1-1=-18t3t2+46t3t2+4=-4,故直线NM'过定点(-4,0).
(1)若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由定义易求得圆锥曲线方程中的关键量,则往往用圆锥曲线的定义法求解.
(2)利用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义先判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解.
【变式训练2】已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),若一动点F满足|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,则动点F的轨迹方程是( ).
A.y2-x248=1(y≤-1) B.y2-x248=1
C.y2-x248=-1 D.x2-y248=1
【解析】由题意,得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<|AB|.
故动点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.
∵c=7,a=1,∴b2=48,∴动点F的轨迹方程为y2-x248=1(y≤-1).故选A.
【答案】A
题型三
相关点法(代入法)求轨迹
【例3】已知圆C的方程为x2+y2=4,O为坐标原点.
(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,求直线l的方程;
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量OQ=OM+ON,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
【解析】(1)当直线l垂直于x轴时,其方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,3)和(1,-3),|AB|=23,满足题意.
当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
圆心到此直线的距离为d满足23=24-d2,得d=1,
∴1=|-k+2|k2+1,解得k=34,
故所求直线l的方程为3x-4y+5=0.
综上可知,所求直线l的方程为3x-4y+5=0或x=1.
(2)设点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),点Q的坐标为(x,y),则点N的坐标为(0,y0).
∵OQ=OM+ON,
∴(x,y)=(x0,2y0),即x0=x,y0=y2.
又∵x02+y02=4,∴x2+y24=4(y≠0),
∴动点Q的轨迹方程是x24+y216=1(y≠0),
其轨迹是焦点在y轴上的椭圆,除去短轴端点.
(1)利用“相关点法”求解时,必须找准主动点与从动点,并将所求主动点P的坐标设为(x,y),另一已知从动点Q的坐标设为(x0,y0),再寻找P,Q之间的关系,把x0,y0用x,y表示出来,代入点Q满足的方程即得所求.
(2)利用斜率解题时,要讨论直线与x轴是否垂直.
【变式训练3】(2017洛阳模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点P的轨迹方程是( ).
A.32x2+3y2=1(x>0,y>0)
B.32x2-3y2=1(x>0,y>0)
C.3x2-32y2=1(x>0,y>0)
D.3x2+32y2=1(x>0,y>0)
【解析】设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由BP=2PA,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=32x>0,b=3y>0.又点Q(-x,y),故由OQ·AB=1,得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a=32x,b=3y代入ax+by=1,得所求点P的轨迹方程为32x2+3y2=1(x>0,y>0).故选A.
【答案】A
方法
多动点的轨迹问题解题策略
多动点的轨迹问题,一般用参数法或交轨法求解,其中参数法是将直线的斜率作为参数来表示动点坐标的,这种参数法常常称为“k参数法”,k参数法求点的轨迹方程中最为常见的一种.易错点是忽略斜率不存在的情况,因而丢掉点(0,0).
【突破训练】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P43,13.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q的轨迹方程.
【解析】(1)因为2a=|PF1|+|PF2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.
又由已知得c=1,所以椭圆C的离心率e=ca=12=22.
(2)由(1)知椭圆C的方程为x22+y2=1.设点Q的坐标为(x,y),
当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为0,2-355.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为点M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.
又|AQ|2=(1+k2)x2,由2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,
得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22. ①
将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0, ②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>32.
由②可知x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入①中并化简,得x2=1810k2-3. ③
因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=y-2x,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>32可知0
由题意知,点Q(x,y)在椭圆C内部,所以-1≤y≤1.
又由10(y-2)2=18+3x2,-62
其中x∈-62,62,y∈12,2-355.
1.(2017宜春质检)设定点M1(0,-3),M2(0,3),动点P满足条件|PM1|+|PM2|=a+9a(其中a是正常数),则点P的轨迹是( ).
A.椭圆 B.线段
C.椭圆或线段 D.不存在
【解析】∵a是正常数,∴a+9a≥29=6.当|PM1|+|PM2|=6时,点P的轨迹是线段M1M2;当a+9a>6时,点P的轨迹是椭圆,故选C.
【答案】C
2.(2017上海模拟)方程(x2+y2-2x)x+y-3=0表示的曲线是( ).
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
【解析】依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0或②x+y-3>0,x2+y2-2x=0.注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3>0,②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.故选D.
【答案】D
3.(2017龙岩一模)已知F1、F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点,P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( ).
A.x236+y227=1(y≠0) B.4x29+y2=1(y≠0)
C.9x24+3y2=1(y≠0) D.x2+4y23=1(y≠0)
【解析】依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0)(y0≠0),G(x,y),由三角形的重心坐标关系可得x=x0-1+13,y=y03,即x0=3x,y0=3y,代入x024+y023=1得重心G的轨迹方程为9x24+3y2=1(y≠0).
【答案】C
4.(2017江南十校联考)已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足OA+OB=2OP,则点P的轨迹方程为 .
【解析】设B(x0,y0),由OA+OB=2OP,得4+x0=2x,y0=2y,即x0=2x-4,y0=2y,代入圆的方程得(2x-4)2+4y2=4,即(x-2)2+y2=1.
【答案】(x-2)2+y2=1
5.(2017湖北八校二模)已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N分别与圆C相切的两条直线相交于点P,则点P的轨迹方程为 .
【解析】如图,设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|,从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=2<|MN|,所以点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,则a=1,c=3,b2=8.故点P的轨迹方程为x2-y28=1(x>1).
【答案】x2-y28=1(x>1)
6.(2017广西一模)设A1,A2是椭圆x29+y24=1的长轴的两个端点,P1,P2是垂直于A1A2的椭圆上的两点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( ).
A.x29+y24=1 B.y29+x24=1
C.x29-y24=1 D.y29-x24=1
【解析】设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),
∵A1,P1,P三点共线,∴y-y0x-x0=yx+3, ①
∵A2,P2,P三点共线,∴y+y0x-x0=yx-3. ②
由①②解得x0=9x,y0=3yx,代入椭圆方程得x029+y024=1,化简得x29-y24=1.故选C.
【答案】C
7.(2017徐州模拟)已知直线y=kx+b与抛物线y2=2x交于A,B两点,且|OA+OB|=|OA-OB|(其中O为坐标原点).若OM⊥AB于M,则点M的轨迹方程为( ).
A.x2+y2=2(y≠0) B.(x-1)2+y2=1(y≠0)
C.x2+(y-1)2=1(y≠0) D.(x-1)2+y2=4(y≠0)
【解析】∵|OA+OB|=|OA-OB|,
∴两边平方,整理得OA·OB=0,可得OA⊥OB.
设A12t2,t,B12m2,m,
则12t2×12m2+mt=0,解得m=-4t,可得B8t2,-4t,
∴直线AB的方程为y-t-4t-t=x-12t28t2-12t2,
令y=0,得x=2,因此直线AB经过定点C(2,0).
∵OM⊥AB于M,∴M的轨迹是以OC为直径的圆(除O,C两点),圆心为(1,0),半径r=1,
此圆的方程为(x-1)2+y2=1(y≠0),即为所求的轨迹方程.
【答案】B
8.(2017安徽桐城一模)若|AB|=2,|AC|=2|BC|,则S△ABC的最大值为 .
【解析】以线段AB所在的直线为x轴,其垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),可得A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由|AC|=2|BC|可得(x+1)2+y2=2·(x-1)2+y2,化简得(x-3)2+y2=8(y≠0).即点C在以(3,0)为圆心,半径为22的圆上(除点(3±22,0)外)运动.又由S△ABC=12|AB|·|yc|=|yc|≤22,可得S△ABC的最大值为22.
【答案】22
9.(2017年吉林校级二模)已知点H(-6,0),点P(0,b)在y轴上,点Q(a,0)在x轴的正半轴上,且满足HP⊥PQ,点M在直线PQ上,且满足PM-2MQ=0.
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)过点T(-1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为E(x0,0),设线段AB的中点为D,且2|DE|=3|AB|,求x0的值.
【解析】(1)设点M的坐标为(x,y),
则HP=(6,b),PQ=(a,-b),PM=(x,y-b),MQ=(a-x,-y),
由HP⊥PQ,得6a-b2=0.
由PM-2MQ=0,得x=2(a-x),y-b=-2y⇒a=32x,b=3y,
又6a-b2=0,得y2=x,
故点M的轨迹C的方程为y2=x(x>0).
(2)由题意知直线l:y=k(x+1),设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=k(x+1),y2=x,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0(k≠0),
由Δ=(2k2-1)2-4k4=1-4k2>0,解得-12
∴D12k2-1,12k.
lDE:y=-1kx-12k2+1+12k,
令y=0,解得x0=12-1+12k2=12k2-12,
∴E12k2-12,0,
∴|DE|=122+12k2=121+k2k2,
∴|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2×1-4k2k2.
∵2|DE|=3|AB|,有3×1+k2×1-4k2k2=2×121+k2k2,
则3×1-4k2k2=1k,化简得k2=313,此时x0=53.
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