全国版高考数学必刷题：第六单元　导数在函数中的应用 (2)

C.q=r>p D.p=r>q
【解析】由题意知,p=f(ab)=lnab,q=fa+b2=lna+b2,r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)=12ln ab=lnab.
∵b>a>0,∴a+b2>ab>0.
又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r 【答案】B
11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 
【解析】 一年的总运费与总存储费用之和为6×600x+4x=3600x+4x≥23600×4=240,当且仅当3600x=4x,即x=30时取等号.
【答案】30


　　高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.
命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.
2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.
3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.
4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.

§11.1　不等式性质与一元二次不等式



一
不等式的性质

　　(1)对称性:a>b⇔b (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇒a+c　　　　b+c;a>b,c>d⇒a+c　　　　b+d; 
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac　　　　bc;a>b>0,c>d>0⇒ac　　　　bd; 
(5)可乘方:a>b>0⇒an　　　　bn(n∈N,n≥1); 
(6)可开方:a>b>0⇒na　　　 nb(n∈N,n≥2).

二
解一元二次不等式


判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两个相异实根
x1,x2(x1 有两个相等实根
x1=x2=-b2a
没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
　　　 
xx≠-b2a
R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
　　　 
⌀
　　　 




☞ 左学右考

1 (2016皖南八校联考)已知a,b∈R,下列命题正确的是(　　).
A.若a>b,则|a|>|b| 　　　B.若a>b,则1a<1b
C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2
2 已知ab>0,则“b<1a”是“a<1b”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 (2017资阳一诊)关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为(　　).
A.-2　　　B.-1　　　C.1　　　D.2
4 (2017中原名校联考)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　).
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]

知识清单
一、(3) >　>　(4) >　>　(5) >　 (6) >
二、{x|xx2}　{x|x1 基础训练
1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A、B、C均不正确;对于选项D,a>|b|≥0,则a2>b2.
【答案】D
2.【解析】由b<1a,ab>0得ab20,所以a<1b,同理,由a<1b可得b<1a.
【答案】C
3.【解析】依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,则q+1=-p,即p+q=-1.
【答案】B
4.【解析】因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
【答案】A



题型一
不等关系、不等式的性质及应用

　　【例1】 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　).
A.MN　　C.M=N　　D.不确定
(2)(2017山东济南模拟)“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①ca>cb;②acloga(b-c).其中正确结论的序号是(　　).
A.① B.①② C.②③ D.①②③
【解析】(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.
(2)x1>3,x2>3⇒x1+x2>6,x1x2>9;反之不成立,例如x1=12,x2=20,x1+x2=412>6,x1x2=10>9,但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件.
(3)由不等式及a>b>1知1a<1b,又c<0,所以ca>cb,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.
【答案】(1)B　 (2)A　(3)D

　　不等式比较大小常用方法:(1)作差法;(2)作商法;(3)特值法比较法.
不等式性质的应用问题的常见类型及解题策略:(1)不等式成立问题,要灵活运用不等式性质的条件和结论,注意不等式性质成立的前提条件;(2)与充分、必要条件相结合问题,用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用;(3)与命题真假判断相结合问题,解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还可以采用特殊值验证的方法.

【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是(　　).
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a≠1,m=aa2+1,n=aa+1,则(　　).
　　A.m≥n B.m>n C.m (3)(2017广州模拟)已知实数x,y满足1≤x+y≤3,-1≤x-y≤1, 则4x+2y的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)∵x>y>z,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z0,z<0.
由x>0,y>z,可得xy>xz.
(2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得mn=a(a2+1)-(a+1)=aa(a-1),当a>1时,a(a-1)>0,∴aa(a-1)>a0=1,即m>n;当0a0=1,即m>n.
综上,对任意的a>0,且a≠1,都有m>n.
(3)令4x+2y=m(x+y)+n(x-y),则m+n=4,m-n=2, 解得m=3,n=1.
则4x+2y=3(x+y)+(x-y),∵1≤x+y≤3,∴3≤3(x+y)≤9.
又∵-1≤x-y≤1,∴2≤3(x+y)+(x-y)≤10.
∴2≤4x+2y≤10.
【答案】(1)C　(2)B　(3)[2,10]

题型二
一元二次不等式的解法及应用

　　【例2】(1)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于(　　).
A.-3 B.1 C.-1 D.3
(2)(2017惠州质检)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-30的解集是(　　).
A.x-13 C.xx<-13或x>12 D.xx<-12或x>13
【解析】(1)由题意得,A={x|-1 (2)由题意得方程ax2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是-3+2=--5a,-3×2=ba⇒a=-5,b=30,于是不等式bx2-5x+a>0即为30x2-5x-5>0,
即(3x+1)(2x-1)>0⇒x<-13或x>12.
【答案】(1)A　(2)C


　　解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(二次项系数大于0);②确定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;④结合二次函数的图象得出不等式的解集.

【变式训练2】(1)不等式组x2-4x+3<0,2x2-7x+6>0的解集是(　　).
A.(2,3) B.1,32∪(2,3)
C.-∞,32∪(3,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为x|x≤12或x≥3,则f(ex)>0的解集为(　　).
A.{xx<-ln2或x>ln 3} B.{x|ln 2 C.{x|x 【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴10,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<32或x>2,
∴原不等式组的解集为1,32∪(2,3).
(2)由题意知f(x)>0的解集为x120得12 【答案】(1)B　(2)D

题型三
解含参数的一元二次不等式

　　【例3】 (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2]
(2)若00的解集是　　　　. 
(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是(　　).
A.-235,+∞ B.-235,1
C.(1,+∞) D.-∞,235
【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;
当a-2≠0时,则a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0, 解得-2 (2)由题意可得原不等式为(x-a)x-1a<0,由0 (3)由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-235,故a的取值范围为-235,+∞.
【答案】(1)D　 (2)xa
　　解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系;(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两个实根的大小关系,从而确定解集形式.
【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1 A.3 B.1 C.-3 D.-1
(2)(2017沈阳模拟)若关于x的二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1 所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有a=1,b=2或a=2,b=1.
所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.
(2)不等式x2+mx+1≥0的解集为R,相当于二次函数y=x2+mx+1的最小值非负,即方程x2+mx+1=0最多有一个实根,故Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.
【答案】(1)A　(2)[-2,2]


方法
一元二次不等式的恒成立问题

　　一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.
【突破训练】(1)若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(　　).
A.(-3,0)　 B.[-3,0) 　C.[-3,0] 　D.(-3,0]
(2)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立;
当k≠0时,要使一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k<0,k2-4×2k×-38<0,解得-3 综上,满足不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].
(2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,
即mx-122+34m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=mx-122+34m-6,x∈[1,3].
当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
所以m<67,则0 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,
所以m<6,即m<0.
综上所述,m的取值范围是(-∞,0)∪0,67.
【答案】(1)D　(2)(-∞,0)∪0,67


1.(2016南昌联考)若a>b>0,c A.ad>bc　　　　　　　　B.ad C.ac>bd D.ac 【解析】(法一)令a=3,b=2,c=-3,d=-2,
则ac=-1,bd=-1,排除选项C,D;
又ad=-32,bc=-23,所以ad (法二)因为cb>0,所以ad 【答案】B
2.(2017福建三明模拟)若集合A=xxx-1≤0,B={x|x2<2x},则A∩B等于(　　).
A.{x|0 C.{x|0 【解析】集合A=xxx-1≤0={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0 【答案】A
3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:
①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则ab+ba≥2;③若a>b>0,n∈N*,则an>bn;④若logab<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为(　　).
A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.1
【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=xn在(0,+∞)上单调递增,③正确;当01,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由logab<0,得0 【答案】A
4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则(　　).
A.a=-8,b=-10 B.a=-1,b=9
C.a=-4,b=-9 D.a=-1,b=2
【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.
【答案】C
5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是(　　).
A.x-y>0 B.x+y<0
C.x-y<0 D.x+y>0
【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.
【答案】D
6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　).
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]
【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,ymin=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
【答案】A
7.(2017广西模拟)若角α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是　　　　. 
【解析】∵-π2<α<β<π2,∴-π<2α<π,-π2<-β<π2,∴-3π2<2α-β<3π2.又∵2α-β=α+(α-β)<α<π2,∴-3π2<2α-β<π2.
【答案】-3π2,π2
8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为　　　　. 
【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1 【答案】(-1,2)
9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为　　　　. 
【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2 【答案】(-2,1)
10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数y=f(x)x(x>0)的最小值;
(2)对于∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.
【解析】(1)依题意得y=f(x)x=x2-4x+1x=x+1x-4.
因为x>0,所以x+1x≥2,
当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立.
所以y≥-2.
所以当x=1时,y=f(x)x的最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”,只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.
不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以g(0)≤0,g(2)≤0,即0-0-1≤0,4-4a-1≤0,解得a≥34.
则a的取值范围为34,+∞.

11.(2017广东实验中学模拟)已知0 A.1b>1a B.12a<12b
C.(lg a)2<(lg b)2 D.1lga>1lgb
【解析】因为012b,(lg a)2>(lg b)2.由lg a1lgb.
综上可知,选项D正确.
【答案】D
12.(2016衡水二中预测)不等式x-2x2-1<0的解集为(　　).
A.{x|1 C.{x|-1 【解析】x-2x2-1<0⇒(x-1)(x+1)(x-2)<0⇒x<-1或1 【答案】D
13.(2017河南南阳模拟)若不等式x2+x-1 A.-1,53
B.(-∞,-1]∪53,+∞
C.-1,53
D.-∞,53∪(1,+∞)
【解析】原不等式可化为(1-m2)x2+(1+m)x-1<0,
若1-m2=0,得m=1或m=-1.
①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;
②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<12,故不等式的解集不是R,不合题意.
若当1-m2≠0,由不等式恒成立可得
1-m2<0,Δ=(1+m)2-4(1-m2)×(-1)<0, 解得m<-1或m>53.
综上,m的取值范围为(-∞,-1]∪53,+∞.
【答案】B
14.(2016湖北黄冈调考)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是　　　　. 
【解析】(法一)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,
则m+n=4,n-m=-2, 解得m=3,n=1, ∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.
(法二)由f(-1)=a-b,f(1)=a+b, 得a=12[f(-1)+f(1)],b=12[f(1)-f(-1)].
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
【答案】[5,10]
15.(2017山东青岛模拟)已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是　　　　. 
【解析】令t=3x(t>1),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1>0在t∈(1,+∞)上恒成立,则m 【答案】(-∞,2+22)
§11.2　简单的线性规划问题




一
一元二次不等式(组)表示的平面区域


不等式
表示区域
Ax+By+C>0
直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括　 
Ax+By+C≥0
包括　 
不等式组
各个不等式所表示平面区域的　　　 


二
线性规划中的基本概念


名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x,y的　　　不等式(或方程)组成的不等式(组) 
目标函数
关于x,y的函数　　　,如z=2x+3y等 
线性目标函数
关于x,y的　　　解析式 
可行解
满足线性约束条件的解　　 
可行域
所有可行解组成的　　 
最优解
使目标函数取得　　　或　　　的可行解 
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的　　　　或　　　　问题 





☞ 左学右考

1 不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　).

2 (2016枣强中学期末)已知变量x,y满足x≥1,y≤2,x-y≤0,则可行域的面积为　　　　. 
3 设变量x,y满足约束条件x≥1,x+y-4≤0,x-3y+4≤0,则目标函数z=3x-y的最大值为　　　　. 
4 (2016年郑州第二次质量预测)已知实数x,y满足2x+y≥0,x-y≥0,0≤x≤a,设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为　　　　. 

知识清单
一、边界直线　 边界直线　 公共部分
二、一次　解析式　 一次　(x,y)　集合　最大值　最小值　最大值　 最小值
基础训练
1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒x-2y+1≥0,x+y-3≤0或x-2y+1≤0,x+y-3≥0.结合图形可知选C.
【答案】C

2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=12×1×1=12.
【答案】12


3.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y,∴y=3x-z,当该直线经过点A(2,2)时,z取得最大值,即zmax =3×2-2=4.
【答案】4


4.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y,得y=12x-b2.易知在点(a,a)处b取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b取得最大值,于是b的最大值为2+8=10.
【答案】10




题型一
二元一次不等式(组)表示的平面区域

　　【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式　　　　　　　. 

(2)(2017忻州模拟)不等式组x+y≥2,2x-y≤4,x-y≥0所围成的平面区域的面积为(　　).
A.32　　　 B.62　　 　C.6　　 　D.3
(3)已知A为不等式组x≤0,y≥0,y-x≤2 表示的平面区域,则当a从-1连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的区域的面积为　　　　. 
【解析】(1)边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.

(2)如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC,其中A(2,0),B(4,4),C(1,1),故所求平面区域的面积为S△ABO-S△ACO=12(2×4-2×1)=3.
(3)不等式组x≤0,y≥0,y-x≤2 表示的平面区域是△AOB(如图),动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-1变化到1,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域是阴影部分.

∵△AGF≌△BDE,AF=1,S△AGF=12×1×12=14,S△AOB=12×2×2=2,
∴阴影部分面积为2-2×14=32.
【答案】(1)x+y-1>0　(2)D　(3)32

　　(1)在确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时,可用代特殊点的方法,一般选用原点.
(2)注意不等式中的不等号是否含有等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.
【变式训练1】(1)下面给出的四个点中,位于x+y-1<0,x-y+1>0表示的平面区域内的点是(　　).
A.(0,2) 　　B.(-2,0)　　C.(0,-2)　　D.(2,0)
(2)不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4所表示的平面区域的面积等于(　　).
A.32 B.23 C.43 D.34
【解析】(1)将四个点的坐标分别代入不等式组x+y-1<0,x-y+1>0,验证可知,满足条件的只有点(0,-2).

(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,解x+3y=4,3x+y=4,得A(1,1),
易得B(0,4),C0,43,|BC|=4-43=83,∴S△ABC=12×83×1=43.
【答案】(1)C　(2)C

题型二
求目标函数的最值

　　【例2】(1)(2017吉林实验中学)已知实数x,y满足约束条件x+y+5≥0,x-y≤0,y≤0,则z=2x+4y-3的最大值是　　　　. 
(2)若x,y满足约束条件x-1≥0,x-y≤0,x+y-4≤0,则yx的最大值为　　　　. 
(3)(2016年开封模拟)设变量x,y满足约束条件x-y≤1,x+y≥2,y≤2,则目标函数z=x2+y2的取值范围为(　　).
A.[2,8] B.[4,13] C.[2,13] D.52,13

【解析】(1)满足约束条件x+y+5≥0,x-y≤0,y≤0的区域如图所示,目标函数z=2x+4y-3在点(0,0)处取得最大值,则zmax=-3.

　　

(2)作出可行域如图中阴影部分所示,
由可行域知,在点A(1,3)处yx取得最大值3.

(3)作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得zmin=|OA|2=|0+0-2|12+122=2,zmax=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为[2,13].
【答案】(1)-3　(2)3　(3)C

　　求目标函数z=ax+by的最大值或最小值,先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.
当目标函数是非线性形式的函数时,此类问题常考虑目标函数的几何意义,常见代数式的几何意义有:(1)x2+y2表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离,(x-a)2+(y-b)2表示点(x,y)与点(a,b)间的距离;(2)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y-bx-a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.
【变式训练2】(1)若x,y满足x-y≤0,x+y≤1,x≥0,则z=x+2y的最大值为(　　).
A.0 B.1 C.32 D.2
(2)(2016厦门大学附中模拟)设变量x,y满足约束条件x+y≤3,x-y≥-1,y≥1, 则目标函数z=y+1x+1的最大值为　　　　. 
(3)已知实数x,y满足x+y-1≤0,x-y+1≥0,y≥-1,则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为　　　　. 

【解析】(1)由题意作出可行域如图中阴影部分所示,当z=x+2y经过点A(0,1)时,目标函数取得最大值,则zmax=0+2×1=2.

　　

(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC),则z的几何意义为区域内的点P到定点D(-1,-1)的直线的斜率.由图象可知当直线过点C时对应的斜率最小,当直线经过点A时对应的斜率最大,由y=1,x-y=-1, 解得x=0,y=1, 即A(0,1),此时直线AD的斜率z=1+10+1=2.

(3)目标函数w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x,y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,则点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2+2-1|2=322,所以wmin=92.
【答案】(1)D　(2)2　(3)92

题型三
线性规划的实际应用

　　【例3】(1)(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是　　　　万元. 
(2)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(　　).

甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8

　　A.12万元 B.16万元
C.17万元 D.18万元
【解析】(1)设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,
由题意知x≥0,y≥0,3x+y≤13,2x+3y≤18,

利润z=5x+3y,作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线5x+3y=0并平移,易知当直线经过点(3,4)时,z取得最大值,即生产甲产品3吨,乙产品4吨时,该企业可获得最大利润是27万元.
(2)根据题意,设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,
则x≥0,y≥0,3x+2y≤12,x+2y≤8,目标函数为z=3x+4y,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A(2,3)时,z取得最大值,且zmax=3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.

【答案】(1)27　(2)D

　　解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出平面区域;(4)判断最优解;(5)根据实际问题作答.
【变式训练3】某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个、55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2 m2,3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?
【解析】设A,B两种规格金属板各取x张,y张,用料面积为z,
则约束条件为3x+6y≥45,5x+6y≥55,x,y∈N,目标函数z=2x+3y.
作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.

将z=2x+3y变成y=-23x+z3,得斜率为-23,在y轴上截距为z3,且随z变化的一组平行直线.
当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,即z最小,解方程组5x+6y=55,3x+6y=45,得点M的坐标为(5,5).
此时zmin=2×5+3×5=25(m2).
故当A,B两种规格金属板各取5张时才能完成计划,且用料面积最省.


方法
线性规划中的参数问题及其求解思路

　　线性规划问题是高考的重点,也是每年高考的必考点.线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.
解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里寻求最优解,从而确定参数的值.
【突破训练】(1)(2016河南六市联考)已知实数x,y满足y≥1,y≤2x-1,x+y≤m, 如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=(　　).
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)(2017山东济南三校联考)已知变量x,y满足约束条件x+2y-3≤0,x+3y-3≥0,y-1≤0,若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为(　　).
A.(0,2) B.0,12
C.0,13 D.13,12
【解析】(1)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:y=x,平移l可知,当直线l经过点A时,z=x-y取得最小值-1,联立y=2x-1,x-y=-1, 得x=2,y=3, 即A(2,3).又点A(2,3)在直线x+y=m上,∴m=5,故选B.


(2)约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l',要满足题意,则直线l'的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-12<-a<0,即0 【答案】(1)B　(2)B



1.(2017衡水二中模拟)已知约束条件x≥1,x+y-4≤0,kx-y≤0表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为(　　).
A.1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.-2
【解析】先作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.

要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为12×3×3=92≠1,所以不成立,所以k>0,则必有BC⊥AB.因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,所以k=1,故选A.
【答案】A
2.(2017江西南昌模拟)若x,y满足约束条件5x+3y≤15,y≤x+1,x-5y≤3,则3x+5y的取值范围是(　　).
A.[-13,15] B.[-13,17]
C.[-11,15] D.[-11,17]

【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.由图可知,3x+5y在点(-2,-1)处取得最小值,在点32,52处取得最大值,即3x+5y∈[-11,17].
【答案】D
3.(2016厦门大学附中模拟)已知x,y满足y-2≤0,x+3≥0,x-y-1≤0,则x+y-6x-4的取值范围是(　　).
A.0,37 B.2,207
C.1,137 D.0,67

【解析】不等式组y-2≤0,x+3≥0,x-y-1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示.
因为x+y-6x-4=x-4+y-2x-4=1+y-2x-4,而y-2x-4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然斜率的最小值为0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大,为-4-2-3-4=67,所以1+y-2x-4的取值范围为1,137,故选C.
【答案】C
4.(2016衡水中学模拟)当变量x,y满足约束条件y≥x,x+3y≤4,x≥m时,z=x-3y的最大值为8,则实数m的值是(　　).
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x-3y变形为y=x3-z3,当直线y=x3-23过点C时,z取得最大值,又C(m,m),所以8=m-3m,解得m=-4.
【答案】A
5.(2017江西八校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为(　　).
A.2 B.1 C.12 D.14
【解析】不等式组x+y≤1,x≥0,y≥0所表示的可行域如图①所示.设a=x+y,b=x-y,则此两目标函数的范围分别为a=x+y∈[0,1],b=x-y∈[-1,1],又a+b=2x∈[0,2],a-b=2y∈[0,2].则点(x+y,x-y),即点(a,b)满足约束条件0≤a≤1-1≤b≤1,0≤a+b≤2,0≤a-b≤2,作出该不等式组所表示的可行域如图②所示,由图可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=12×2×1=1,故选B.

【答案】B

6.(2017北京朝阳模拟)已知点A(-2,0),点M(x,y)为平面区域2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0上的一个动点,则|AM|的最小值是(　　).
A.5　 B.3 C.22 D.655

【解析】不等式组2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y-2=0的距离,即|AM|min=|2×(-2)+0-2|5=655.
【答案】D
7.(2017江南十校模拟)若实数x,y满足x-y+1≤0,x≤0,则x2+y2的最小值是　　　　. 

【解析】原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
∵x2+y2表示可行域内任意一点P(x,y)与原点(0,0)距离的平方,∴当P在线段AB上且OP⊥AB时,x2+y2取得最小值,∴(x2+y2)min=|0-0+1|22=12.
【答案】12
8.(2016长沙模拟)若x,y满足约束条件x-y+1≥0,x-2y≤0,x+2y-2≤0,则z=x+y的最大值为　　　　. 
【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A1,12处,z取得最大值,则zmax=32.

【答案】32
9.(2016枣强中学模拟)若实数x,y满足2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为　　　　. 

　　

【解析】由题意作出不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点Ab3,2b3处取得最小值4,所以4=2×b3+2b3,解得b=3.
【答案】3
10.(2017九江模拟)实数x,y满足x-y+1≤0,x>0,y≤2.
(1)若z=yx,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;
(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.

【解析】由不等式组x-y+1≤0,x>0,y≤2,作出可行域如图中阴影部分所示.
(1)z=yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此yx的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).
而由x-y+1=0,y=2,得B(1,2),则kOB=21=2.
∴zmax不存在,zmin=2,∴z的取值范围是[2,+∞).
(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.
因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.
由x-y+1=0,x=0,得A(0,1),∴|OA|2=(02+12)2=1,|OB|2=(12+22)2=5.
∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].

11.(2016陕西模拟)设动点P(x,y)在区域Ω:x≥0,y≥x,x+y≤4上,过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为(　　).
A.π B.2π C.3π D.4π

【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值S=π×422=4π.
【答案】D
12.(2017广西模拟)已知x,y满足2x-y≤0,x-3y+5≥0,x≥0,y≥0,则z=8-x·12y的最小值为(　　).
A.1 B.324 C.116 D.132

【解析】根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,而z=8-x·12y=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y最小.由图知当x=1,y=2时,-3x-y的值最小,且为-3×1-2=-5,此时2-3x-y最小,最小值为132.
【答案】D
13.(2016河南八市联考)已知a>0,x,y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3),若z=3x+2y的最小值为1,则a=(　　).
A.14 B.12 C.34 D.1

【解析】根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,
把z=3x+2y变形为y=-32x+z2,得到斜率为-32,在y轴上的截距为z2,随z变化的一组平行直线,当直线z=3x+2y经过点B时,截距z2最小,即z最小,又点B坐标为(1,-2a),代入3x+2y=1,得3-4a=1,得a=12,故选B.
【答案】B
14.(2017河北八校联考)若x,y满足约束条件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2.
(1)求目标函数z=12x-y+12的最值;
(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.

　　

【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).
平移直线12x-y+12=0,当直线过点A(3,4)时,z取得最小值-2,
当直线过点C(1,0)时,z取得最大值1.
所以z的最大值为1,最小值为-2.
(2)直线z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-a2<2,解得-4 故所求a的取值范围为(-4,2).
15.(2017河南洛阳质检)某企业生产A,B两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、煤和电如下表:
产品品种
劳动力(个)
煤(吨)
电(千瓦时)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5

已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦时,试问:该企业如何安排生产,才能获得最大利润?
【解析】设生产A,B两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元.
依题意,得3x+10y≤300,9x+4y≤360,4x+5y≤200,x≥0,y≥0,目标函数为z=7x+12y.
作出上述不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.

当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过点M时,z取最大值.
解方程组
3x+10y=300,4x+5y=200,
得x=20,y=24.因此,点M的坐标为(20,24).
所以该企业生产A,B两种产品分别为20吨,24吨时,才能获得最大利润.


§11.3　基本不等式



一
基本不等式ab≤a+b2

　　(1)基本不等式成立的条件:　　　　. 
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　. 

二
几个重要的不等式

　　(1)a2+b2≥　　　　(a,b∈R); 
(2)ba+ab≥　　　　(a,b同号); 
(3)ab≤a+b22(a,b∈R);
(4)a+b22≤a2+b22(a,b∈R);
(5)21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a,b>0,当且仅当a=b时取等号).

三
算术平均数与几何平均数

　　设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为　　　　　　　　　. 

四
利用基本不等式求最值问题



　　已知x>0,y>0,则
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值　　　　(简记:积定和最小); 
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值　　　　(简记:和定积最大). 
注意:①求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”指正数,“二定”是指利用定理求最值时,和或积为定值,“三相等”是指等号成立.②连续使用基本不等式时,需注意等号要同时成立.



☞ 左学右考

1 若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(　　).
A.a+b≥2ab　　　B.1a+1b>1ab
C.ba+ab≥2 D.a2+b2>2ab
2 设a>0,b>0,若a+b=1,则1a+1b的最小值是(　　).
A.2　　　　B.14　　　　C.4　　　　D.8
3 若a>b>0,且a,2,b成等比数列,则(　　).
A.a2+b2>16 B.a+b<4
C.a2+b2<16 D.a+b>4
4 (2017年杭州三模)已知0 A.13 B.12 C.34 D.23
5 已知x<54,求f(x)=4x-2+14x-5的最大值.

知识清单
一、(1)a>0,b>0　(2)a=b
二、(1)2ab　(2)2
三、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
四、(1)2p　(2)q24
基础训练
1.【解析】因为ab>0,所以ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2ba·ab=2,当且仅当a=b时取等号.
【答案】C
2.【解析】由题意1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,当且仅当ba=ab,即a=b=12时取等号,所以最小值为4.
【答案】C
3.【解析】由a,2,b成等比数列,得ab=4,且a≠b,所以a2+b2>2ab=8,a+b>2ab=4,结合选项知D正确.
【答案】D
4.【解析】∵0 【答案】B
5.【解析】因为x<54,所以5-4x>0,
则f(x)=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立.
故f(x)=4x-2+14x-5的最大值为1.



题型一
利用基本不等式求最值

　　【例1】(1)当x>0时,函数f(x)=2xx2+1有(　　).
A.最小值1　　　　　　B.最大值1
C.最小值2 D.最大值2
(2)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是(　　).
A.[0,2] B.[-2,0]
C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
(3)(2017山东临沂二模)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为　　　　. 
【解析】(1)f(x)=2x+1x≤22x·1x=1,当且仅当x=1x,即x=1时取等号,所以f(x)有最大值1.
(2)因为1=2x+2y≥22x·2y=22x+y,当且仅当2x=2y=12,即x=y=-1时,等号成立,所以2x+y≤12,所以2x+y≤14,得x+y≤-2.
(3)由1a+2b=ab,知a>0,b>0,所以ab=1a+2b≥22ab,即ab≥22,当且仅当1a=2b,1a+2b=ab,即a=42,b=242时取等号,所以ab的最小值为22.
【答案】(1)B　(2)D　(3)22

　　利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三等”这三个条件,还要注意条件的转化和应用.若多次使用基本不等式求最值,则要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号,若等号不成立,则一般利用函数单调性求解.


　　【变式训练1】已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0.
(1)求xy的最小值;
(2)求x+y的最小值.
【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,又x>0,y>0,
则1=8x+2y≥28x·2y=8xy,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由(1)知8x+2y=1,则x+y=8x+2y·(x+y)=10+2xy+8yx≥10+22xy·8yx=18,当且仅当x=12,y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为18.

题型二
基本不等式的综合问题

　　【例2】(1)(2016河北五校联考)已知函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则2m+1n的最小值为(　　).
A.22　　　　B.4　　　　C.52　　　　D.92
(2)已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则(a+b)2cd的最小值是　　　　. 
(3)(2017北京朝阳区模拟)已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,当x∈R时,f(x)恒为正值,则k的取值范围是(　　).
A.(-∞,-1) B.(-∞,22-1)
C.(-1,22-1) D.(-22-1,22-1)
【解析】(1)由函数y=loga(x+3)-1(a>0且a≠1)的解析式知,当x=-2时,y=-1,所以点A的坐标为(-2,-1).又点A在直线mx+ny+2=0上,所以-2m-n+2=0,即2m+n=2,所以2m+1n=2m+nm+2m+n2n=2+nm+mn+12≥52+2=92,当且仅当m=n=23时,等号成立,所以2m+1n的最小值为92,故选D.
(2)因为x、a、b、y成等差数列,所以a+b=x+y.
因为x、c、d、y成等比数列,所以cd=xy,
则(a+b)2cd=(x+y)2xy=yx+xy+2≥4(x>0,y>0),当且仅当yx=xy时取等号.故(a+b)2cd的最小值为4.
(3)由f(x)>0得32x-(k+1)3x+2>0,解得k+1<3x+23x,而3x+23x≥22(当且仅当3x=23x,即x=log32时,等号成立),所以k+1<22,即k<22-1.
【答案】(1)D　(2)4　(3)B

　　求形如y=ax2+bx+cdx+e的函数的值域或最值时,可以利用基本不等式求解,但在求解的过程中特别要注意取等号的情况,有些不满足取等号的情况,此时可以研究函数单调性求最值.

【变式训练2】(1)(2017豫南九校联考)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则a+1c+c+1a的最小值为(　　).
A.4 B.42 C.8 D.82
(2)(2016山东泰安模拟)若直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是　　　　. 
(3)(2017衡水中学模拟卷)已知x>0,y>0,若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)因为f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),所以a>0且Δ=4-4ac=0,所以c=1a.
所以a+1c+c+1a=a+11a+1a+1a=a2+1a2+a+1a≥4(当且仅当a=1时取等号),
所以a+1c+c+1a的最小值为4,故选A.
(2)直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b.要求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值,即求a+b的最小值.由直线l经过点(1,2)得1a+2b=1.
于是a+b=(a+b)×1=(a+b)×1a+2b=3+ba+2ab≥3+2ba·2ab=3+22,当且仅当ba=2ab,即a=2+1,b=2+2时取等号,
所以a+b≥3+22.

　　(3)根据题意,x>0,y>0,则2yx>0,8xy>0,所以2yx+8xy≥22yx·8xy=8,当且仅当2yx=8xy时,即y=2x时,等号成立,故2yx+8xy的最小值为8.若2yx+8xy>m2+2m恒成立,必有m2+2m<8恒成立,所以m2+2m-8<0,解得-4 【答案】(1)A　(2)3+22　(3)-4
题型二
基本不等式的实际应用

　　【例3】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式.
(2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=2010x.
则S(x)=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·2010x+160
=80102x+5x+4160(x>1).
(2)80102x+5x+4160≥8010×22x×5x+4160=1600+4160=5760,当且仅当2x=5x,即x=52时等号成立,此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.

　　利用基本不等式解决实际应用题的基本思路是:①设变量时一般把要求的变量定义为函数;②根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值;③在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【变式训练3】(2017常州调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位:m2).

(1)求S关于x的函数关系式;
(2)求S的最大值.
【解析】(1)由题设,得S=(x-8)900x-2=-2x-7200x+916,x∈(8,450).
(2)因为8 所以2x+7200x≥2 2x×7200x=240,
当且仅当2x=7200x,即x=60时等号成立,从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,为676 m2.


方法
与基本不等式有关的参数问题

　　与基本不等式有关的参数问题是高考的一个难点,关键是如何分离参数,如何将参数的最值或范围问题转化为基本不等式的最值问题,再利用基本不等式或对勾函数的单调性进行求解.
【突破训练】(1)已知关于x的不等式2x+2x-a≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为(　　).
A.1 B.32 C.2 D.52
(2)(2017年邯郸模拟)若不等式tt2+9≤a≤t+2t2在t∈(0,2]上恒成立,则a的取值范围是(　　).

　　A.16,1 B.16,22
C.16,413 D.213,1
(3)设x>y>z,且1x-y+1y-z≥nx-z(n∈N)恒成立,则n的最大值为(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】(1)2x+2x-a=2(x-a)+2x-a+2a≥2 2(x-a)·2x-a+2a=4+2a,由题意可知4+2a≥7,解得a≥32,即实数a的最小值为32,故选B.
(2)tt2+9=1t+9t,而t+9t在(0,2]上单调递减,故t+9t≥2+92=132,tt2+9=1t+9t≤213(当且仅当t=2时等号成立).因为1t≥12,所以t+2t2=1t+2t2=21t+142-18≥1(当且仅当t=2时等号成立),故a的取值范围为213,1.
(3)因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,不等式1x-y+1y-z≥nx-z恒成立等价于n≤(x-z)·1x-y+1y-z恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)≥2(x-y)(y-z),1x-y+1y-z≥21x-y×1y-z,所以(x-z)·1x-y+1y-z≥2(x-y)(y-z)×21x-y×1y-z=4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n≤(x-z)·1x-y+1y-z恒成立,只需使n≤4(n∈N),故n的最大值为4.
【答案】(1) B　(2)D　 (3)C



1.(2017河北模拟)下列不等式一定成立的是(　　).
A.lgx2+14>lg x(x>0)
B.sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)
C.x2+1≥2|x|(x∈R)
D.1x2+1>1(x∈R)
【解析】对于选项A,当x>0时,x2+14-x=x-122≥0,∴lgx2+14≥lg x,故A不成立;对于选项B,当sin x<0时,显然B不成立;对于选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,故C一定成立;对于选项D,∵x2+1≥1,∴0<1x2+1≤1,故D不成立.
【答案】C
2.(2016山西联考)(3-a)(a+6)(-6≤a≤3)的最大值为(　　).
A.9　　　　B.92　　　　C.3　　　　D.322
【解析】因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,(3-a)(a+6)≤(3-a)+(a+6)2=92,当且仅当a=-32时,等号成立.
【答案】B
3.(2017海南模拟)已知直线ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则4b+1c的最小值是(　　).
A.9 B.8 C.4 D.2
【解析】圆x2+y2-2y-5=0化成标准方程,得x2+(y-1)2=6,所以圆心为C(0,1).
因为直线ax+by+c-1=0经过圆心C,所以a×0+b×1+c-1=0,即b+c=1.
因此4b+1c=(b+c)4b+1c=4cb+bc+5,又因为b,c>0,所以4cb+bc≥24cb·bc=4,当且仅当4cb=bc,即b=23,c=13时,等号成立,所以4b+1c取得最小值9.
【答案】A
4.(2017山东菏泽模拟)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0 A.2+1 B.42 C.3+22 D.6
【解析】注意到曲线y=1+sin πx(0 【答案】C
5.(2017南昌统考)设x,y∈R,a>1,b>1.若ax=by=2,a2+b=4,则2x+1y的最大值为(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由ax=by=2得x=loga2=1log2a,y=logb2=1log2b,2x+1y=2log2a+log2b=log2(a2·b)≤log2a2+b22=2(当且仅当a2=b=2时取等号).
【答案】B
6.(2017武邑中学模拟)已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=　　　　. 
【解析】f(x)=4x+ax≥24x·ax=4a,当且仅当4x=ax,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.
【答案】36
7.(2016武汉模拟)已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是　　　　. 
【解析】由题意知ab=1,∴m=b+1a=2b,n=a+1b=2a.∵a>0,b>0,∴m+n=2(a+b)≥4ab=4,当且仅当a=b=1时取等号.
【答案】4
8.(2017四川资阳诊断)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)两点的距离相等,则2x+4y的最小值为　　　　. 
【解析】由题意得,点P在线段AB的中垂线上,则易得x+2y=3,∴2x+4y≥22x·4y=22x+2y=42,当且仅当x=2y=32时,等号成立,故2x+4y的最小值为42.
【答案】42
9.(2017云南月考)已知a>0,b>0,a+2b=3,则2a+1b的最小值为　　　　. 
【解析】由a+2b=3,得a3+2b3=1,∴2a+1b=a3+2b32a+1b=43+a3b+4b3a≥43+2 a3b·4b3a=83,当且仅当a=2b=32时取等号.
【答案】83

10.(2016山东模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab,则a+2b的最小值为(　　).
A.5+22 B.82 C.5 D.9
【解析】∵a>0,b>0,且2a+b=ab,∴a=bb-2>0,解得b>2.
则a+2b=bb-2+2b=1+2b-2+2(b-2)+4≥5+22b-2·2(b-2)=9,当且仅当b=3,a=3时取等号.
【答案】D
11.(2017吉安月考)已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0.又(a+1)(b+2)≤a+1+b+222,即16≤a+b+322,整理得a+b≥5,当且仅当a+1=b+2=4,即a=3,b=2时,等号成立.
【答案】B
12.(2017铜陵模拟)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y4 A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1) D.(-∞,0)∪(3,+∞)
【解析】∵不等式x+y40,y>0,且1x+4y=1,
∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy·y4x+2=4,当且仅当4xy=y4x,即x=2,y=8时取等号,∴x+y4min=4,∴m2-3m>4,即(m+1)(m-4)>0,解得m<-1或m>4.故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).
【答案】B
13.(2016南昌模拟)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为(　　).
A.0 B.1 C.94 D.3
【解析】由题意知xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14-3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.所以2x+1y-2z=-1y2+2y=-1y-12+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故2x+1y-2z的最大值为1.
【答案】B
14.(2017青岛模拟)已知实数x,y均大于零,且x+2y=4,则log2x+log2y的最大值为　　　　. 
【解析】因为log2x+log2y=log22xy-1≤log2x+2y22-1=2-1=1,当且仅当x=2y=2,即x=2,y=1时,等号成立,所以log2x+log2y的最大值为1.
【答案】1
15.(2017九江模拟)已知不等式2x+m+8x-1>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
【解析】不等式2x+m+8x-1>0可化为2(x-1)+8x-1>-m-2,
∵x>1,∴2(x-1)+8x-1≥22(x-1)·8x-1=8,当且仅当x=3时取等号.
∵不等式2x+m+8x-1>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,
∴-m-2<8,解得m>-10.
【答案】(-10,+∞)
16.(2017南昌月考)某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将该厂家2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数.
(2)当该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
【解析】(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-2m+1,每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),
∴2017年的利润y=1.5x×8+16xx-8-16x-m=-16m+1+(m+1)+29(m≥0).
(2)∵m≥0,∴16m+1+(m+1)≥216=8,∴y≤-8+29=21,
当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,ymax=21.
故当该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.
阶段总结四



微专题一
数列与不等式相结合问题的处理

　　1.如果是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等.
2.如果是解不等式问题,则要使用不等式的各种不同解法,如列表法、因式分解法、“穿针引线”法等.
【例1】(2016南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S3=6,正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn=2Sn.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若λbn>an对n∈N*均成立,求实数λ的取值范围.
【分析】第(2)问,代入(1)中的an和bn,分离出λ,则问题转化为研究数列的最值问题,由数列的单调性可求得其范围.
【解析】(1)∵a1=1,S3=6,∴3a1+3d=6,∴数列{an}的公差d=1,∴an=n.
由题意知,b1·b2·b3·…·bn=2Sn,　①b1·b2·b3·…·bn-1=2Sn-1(n≥2),　②
①÷②得bn=2Sn-Sn-1=2an=2n(n≥2),又b1=2S1=21=2,满足上式,故bn=2n.
(2)λbn>an恒成立⇒λ>n2n恒成立,设cn=n2n,
当n≥2时,cn<1,数列{cn}单调递减,∴(cn)max=12,故λ>12.
∴实数λ的取值范围为12,+∞.
【拓展训练1】对于数列{xn},若对任意n∈N*,都有xn+xn+22 (1)求数列{an}的通项公式,并判断数列{Sn}是否为“减差数列”;
(2)设bn=(2-nan)t+an,若数列b3,b4,b5,…是“减差数列”,求实数t的取值范围.
【解析】(1)设数列{an}的公比为q,因为a1=1,S3=74,所以1+q+q2=74,
即4q2+4q-3=0,所以(2q-1)(2q+3)=0.
因为q>0,所以q=12,所以an=12n-1,Sn=1-12n1-12=2-12n-1,
所以Sn+Sn+22=2-12n-12n+2<2-12n=Sn+1,所以数列{Sn}是“减差数列”.
(2)由题设知,bn=2-n2n-1t+12n-1=2t-tn-12n-1.
由bn+bn+22 即tn-12n+t(n+2)-12n+2>t(n+1)-12n,化简得t(n-2)>1.
又当n≥3时,t(n-2)>1恒成立,即t>1n-2恒成立,所以t>1n-2max=1.
故t的取值范围是(1,+∞).

微专题二
基本不等式与其他知识的交汇问题

　　1.利用基本不等式判断不等式是否成立:先对所给不等式(或式子)进行变形,再利用基本不等式求解.
2.条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
【例2】(1)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则3a+2b的最小值为(　　).
A.256　　　B.83　　　C.113　　　D.4
(2)(2016东北育才学校模拟)已知向量a=(m,1-n),b=(1,2),其中m>0,n>0,若a∥b,则1m+1n的最小值是(　　).
A.22 B.3+22 C.42 D.3+2
【分析】(1)根据线性规划的知识可求得目标函数的最优解,将问题转化为“1”的代换问题;(2)由向量共线知识可得m,n之间的关系,将问题转化为“1”的代换问题.

【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=ax+by得y=-abx+zb,当z变化时,它表示经过可行域的一组平行直线,其斜率为-ab,在y轴上的截距为zb.由图可知当直线经过点A(4,6)时,在y轴上的截距最大,从而z也最大,所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以3a+2b=2a+3b6·3a+2b=16×6+6+4ab+9ba≥4,当且仅当3a=2b,即a=32,b=1时,等号成立.
(2)因为向量a=(m,1-n),b=(1,2),a∥b,所以2m-(1-n)=0,即2m+n=1.
又m>0,n>0,所以1m+1n=1m+1n(2m+n)=3+2mn+nm≥3+22mn·nm=3+22,当且仅当2mn=nm,即m=1-22,n=2-1时取等号.故1m+1n的最小值为3+22.
【答案】(1)D　(2)B
【拓展训练2】(1)已知x,y满足约束条件x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7,则3a+4b的最小值为　　　　. 
(2)已知f(x)=|log3x|,若f(a)=f(b)且a≠b,则1a+2b的取值范围是　　　　. 
【解析】(1)作出不等式组x+y≥1,x-y≥-1,2x-y≤2表示的平面区域,

如图中阴影部分所示,其中A(1,0),B(3,4),C(0,1),设z=F(x,y)=ax+by(a>0,b>0).
将直线l:z=ax+by进行平移,并观察直线l在x轴上的截距变化,可得当l经过点B时,目标函数z达到最大值.∴zmax=F(3,4)=7,即3a+4b=7.
因此3a+4b=17(3a+4b)3a+4b=1725+12ba+ab.
∵a>0,b>0,可得ba+ab≥2ba·ab=2,∴3a+4b≥17(25+12×2)=7,当且仅当a=b=1时,3a+4b的最小值为7.
(2)根据题设,对于f(x)=|log3x|,有x>0,若f(a)=f(b),则|log3a|=|log3b|.
由a≠b,得log3a=-log3b,即log3a+log3b=log3ab=0,则ab=1.
∴1a+2b=b+2b≥22,当且仅当b=2时取等号,故1a+2b的取值范围是[22,+∞).
【答案】(1)7　(2)[22,+∞)


微专题三
自主招生真题赏析

本专题供参加自主招生考试的学生使用
1.设集合S={x|logx(3x2-4x)≥2,x>0},T={x|logx(2x2-k2x)≥2,x>0}且S⊆T,则实数k的取值范围是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.k2≥2　　　　　　　　　　 B.k2≤2
C.k≥2 D.k≤2
【解析】logx(3x2-4x)≥2⇔x>1,3x2-4x≥x2或0 logx(2x2-k2x)≥2⇔x>1,2x2-k2x≥x2或01,x(x-k2)≥0或00⇔x>1,x≥k2或0 若k2>2,则T:x≥k2,不满足条件;若11或k221或12 【答案】B
2.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项和为Sn,则满足不等式|Sn-n-6|<1125的最小整数n是(　　).
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】由3an+1+an=4,知an+1=-13an+43,令an+1+λ=-13(an+λ),即an+1=-13an-43λ,从而-43λ=43,λ=-1.
故{an-1}是公比为-13的等比数列.
由an-1=-13n-1(a1-1)=-13n-1(9-1)知
an=1+8×-13n-1,从而Sn=1+8×-130+1+8×-131+…+1+8×-13n-1=n+8·1--13n1--13.
故|Sn-n-6|=6×-13n<1125⇒-13n<1750⇒13n<1750,解得n≥7.
【答案】B
3.设数列{an}中,a1=1,an+3≤an+3,an+2≥an+2,求a2018.
【解析】依题意,an+6≤an+3+3≤an+3+3=an+6;　①
另一方面,an+6≥an+4+2≥an+2+4≥an+6.　②
由①②知,an+6=an+6,且等号成立的条件是①②同时取等号,
即an+3=an+3,an+2=an+2,所以an+3=an+2+1.
又a1=1,所以a3=a1+2=3,a4=a1+3=4,a5=a3+2=5.
所以a2=a5-3=5-3=2.而由an+3=an+2+1知{an}从第3项开始成公差为1的等差数列,且由前两项知,{an}成等差数列.又an=n,所以a2018=2018.
4.定义在R上的函数f(x)=4x4x+2,Sn=f1n+f2n+…+fn-1n,n=2,3,…
(1)求Sn.
(2)是否存在常数M>0,对∀n≥2,有1S2+1S3+…+1Sn+1≤M?
【解析】(1)fkn+fn-kn=4kn4kn+2+4n-kn4n-kn+2=4+2·4kn+4+2·4n-kn4+2·4kn+2·4n-kn+4=1,
故2Sn=?k=1n-1fkn+fn-kn=n-1,即Sn=n-12.
(2)不存在.对于?k=2n+11Sk=21+12+13+…+1n,
取n=2m,则?k=2n+11Sk>212+12+14+14+18+18+18+18+…+12m+1=21+12+12+…+12m个=21+m2.
当m→+∞时,21+m2→+∞.故不存在M>0,使得∀n≥2,?k=2n+11Sk≤M.

阶段检测四
一、选择题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2017北京平谷区质检)已知a,b,c,d均为实数,有下列命题:
①若ab>0,bc-ad>0,则ca-db>0;
②若ab>0,ca-db>0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,ca-db>0,则ab>0.
其中正确命题的个数是(　　).
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
【解析】对于①,∵ab>0,bc-ad>0,∴ca-db=bc-adab>0,∴①正确;对于②,∵ab>0,又ca-db>0,即bc-adab>0,∴bc-ad>0,∴②正确;对于③,∵bc-ad>0,又ca-db>0,即bc-adab>0,∴ab>0,∴③正确.
【答案】D
2.(2017衡水中学模拟卷)不等式x-12x+1≤0的解集为(　　).
A.-12,1
B.-12,1
C.-∞,-12∪[1,+∞)
D.-∞,-12∪[1,+∞)
【解析】不等式x-12x+1≤0⇒(x-1)(2x+1)≤0,2x+1≠0⇒-12 【答案】A
3.(2017黑龙江省大庆市三模)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2017=S2017=2017,则首项a1=(　　).
A.-2014 B.-2015 C.-2016 D.-2017
【解析】S2017=2017(a1+a2017)2=2017,∴a1+a2017=2,∴a1=-2015.
【答案】B
4.(2016北京东城区质检)已知f(x)=x2-4x+3,x≤0,-x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,-2) B.(-∞,0)
C.(0,2) D.(-2,0)
【解析】因为f(x)为R上的减函数,所以f(x+a)>f(2a-x)⇒x+a<2a-x,从而2x 【答案】A
5.(2017湖北六校联合体4月模拟)设等差数列{an}的公差d≠0,a1=2d,若ak是a1与a2k+7的等比中项,则k=(　　).
A.2 B.3 C.5 D.8
【解析】∵等差数列{an}的公差d≠0,a1=2d,ak是a1与a2k+7的等比中项,∴a1+(k-1)d2=a1·[a1+(2k+6)d],且a1=2d,解得k=5或k=-3(舍).
【答案】C
6.(2017湖北鄂州5月调研)若实数x,y满足条件x+y-2≥0,x-y≤0,y≤3则z=3x-4y的最大值是(　　).
A.-13　 B.-3　 C.-1 D.1
【解析】满足约束条件x+y-2≥0,x-y≤0,y≤3的平面区域如图所示,

当目标函数z=3x-4y过点A(1,1)时取得最大值,最大值为3×1-4×1=-1.
【答案】C
7.(2017河南洛阳模拟)设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则1c+9a的最小值为(　　).
A.3　 B.92　 C.5　 D.7
【解析】由题意知,a>0,二次函数f(x)的图象与x轴有一个交点,则Δ=16-4ac=0,所以ac=4,c>0.则1c+9a≥2×9ac=3,当且仅当1c=9a时取等号,则1c+9a的最小值是3.
【答案】A
8.(2017黑龙江哈尔滨师大附中三模)设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则Sn的取值范围是(　　).
A.(0,1) B.(0,+∞)
C.12,1 D.12,+∞
【解析】已知an+Sn=1,当n=1时,得a1=12;当n≥2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,得an-an-1+an=0,即2an=an-1.由题意知,an-1≠0,∴anan-1=12(n≥2),∴数列{an}是首项为12,公比为12的等比数列,∴Sn=121-12n1-12=1-12n,∴Sn∈12,1.
【答案】C
二、填空题
9.(2017福州质检)若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是　　　　. 
【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;
当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;
当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1 综上,-4≤a≤3.
【答案】[-4,3]
10.(2017江西六校联考)设x,y满足约束条件x+1≥0,x+y≤1,x-y≤1,则目标函数z=y-3x的取值范围是　　　　. 

【解析】画出满足约束条件x+1≥0,x+y≤1,x-y≤1的平面区域,如图所示.
目标函数z=y-3x的几何意义为区域内的点与D(0,3)连线的斜率,
因为过点B(-1,2)与点D(0,3)时斜率最小,k≥kBD,所以k≥2-3-1=1,
过点D(0,3)与点A(1,0)时斜率最大,k≤0-31=-3,
则目标函数z=y-3x的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).
【答案】(-∞,-3]∪[1,+∞)
11.(2016四川成都一模)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.若在区间[-1,1]上,不等式f(x)-2x-m>0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 
【解析】由f(0)=1,得c=1,所以f(x)=ax2+bx+1.
由f(x+1)-f(x)=2x,化简整理得2ax+a+b=2x,所以a=1,b=-1,所以二次函数的解析式为f(x)=x2-x+1.由已知得在区间[-1,1]上,不等式f(x)-2x-m>0恒成立,即m 【答案】(-∞,-1)
12.(2017江西新余二模)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S100=　　　　. 
【解析】奇数项:a2k+1=1+(-1)2k-1+a2k-1=a2k-1,偶数项:a2k+2=1+(-1)2k+a2k=2+a2k,
所以奇数项相等,偶数项为等差数列,公差为2,a100=a2+49×2=100,
S100=50×a1+50×(a1+a100)×12=50+2550=2600.
【答案】2600
三、解答题
13.(2017江西八校联考)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)由题意有10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d=2或a1=9,d=29.
故an=2n-1,bn=2n-1或an=19(2n+79),bn=9·29n-1.
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,
于是Tn=1+32+522+723+924+…+2n-12n-1,　①
12Tn=12+322+523+724+925+…+2n-32n-1+2n-12n.　②
①-②可得,12Tn=2+12+122+…+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,
故Tn=6-2n+32n-1.

滚动检测三
一、选择题
1.(2017湖北六校联合体4月模拟)设集合A={x|x2-3x-4≤0},B={x||x|≤3},则集合A∩B=(　　).
A.[-3,-1]　 B.[-3,4]　 C.[-1,3]　 D.[3,4]
【解析】由题意知,x2-3x-4≤0⇒-1≤x≤4,即A={x|x2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}=[-1,4],|x|≤3⇒-3≤x≤3,即B={x||x|≤3}={x|-3≤x≤3}=[-3,3],
则A∩B=[-1,3].
【答案】C
2.(2017黑龙江哈尔滨师大附中模拟)已知命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0,则?p为(　　).
A.∀x∈R,x2+5x+8<0
B.∃x0∈R,x02+5x0+8≤0
C.∃x0∈R,x02+5x0+8<0
D.∀x∈R,x2+5x+8≤0
【解析】由全称命题的否定为特称命题可知,命题p:∀x∈R,x2+5x+8>0的否定为∃x0∈R,x02+5x0+8≤0.
【答案】B
3.(2017黑龙江大庆实验中学三模)已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=2x2-1,则f(1)的值为(　　).
A.1　 B.-1 C.2　　 D.-2
【解析】函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=2x2-1,则f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-1]=-1.
【答案】B
4.(2017南昌月考)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),若p-q=5,则ap-aq=(　　).
A.10　　 B.15　 C.-5　 D.20
【解析】当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,又a1=S1=-1符合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q).又因为p-q=5,所以ap-aq=20.
【答案】D
5.(2016黄冈模拟)若a,b∈{-1,0,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为(　　).
A.1316　 B.78　　 C.34　 D.58
【解析】显然总的方法数为16种.当a=0时,f(x)=2x+b,显然b∈{-1,0,1,2}时,原函数必有零点,所以有4种取法;当a≠0时,函数f(x)=ax2+2x+b为二次函数,若f(x)有零点,须Δ≥0,即ab≤1,所以a,b取值组成的数对分别为(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),共9种.综上,符合条件的概率为9+416=1316,故选A.
【答案】A
6.(2016抚州模拟)已知函数f(x)=1x-lnx-1,则y=f(x)的图象大致为(　　).

　　

【解析】令g(x)=x-ln x-1,则g'(x)=1-1x=x-1x.由g'(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增;由g'(x)<0得0 【答案】A
7.(2017江西上饶二模)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生的回答如下:
甲说:“我们四人都没考好”;
乙说:“我们四人中有人考得好”;
丙说:“乙和丁至少有一人没考好”;
丁说:“我没考好”.
成绩出来后发现,四名学生中有且只有两人说对了,他们是(　　).
A.甲、丙　　 B.乙、丁　 C.丙、丁　 D.乙、丙
【解析】如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错;因为甲错,所以乙对;如果丙错,则丁错,与题意不符,故丙对,丁错.
故四名学生中有且只有乙、丙两人说对了.
【答案】D
8.(2017河南三门峡一模)设函数f(x)=2x,x<2,x2,x≥2,若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是(　　).
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.[2,6] D.[2,+∞)
【解析】函数f(x)=2x,x<2,x2,x≥2是定义域为R上的增函数.∵f(a+1)≥f(2a-1),∴a+1≥2a-1,解得a≤2.
故实数a的取值范围是(-∞,2].
【答案】B
9.(2017湖北六校联合体4月模拟)已知函数f(x)(x∈R)是偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,则方程f(x)=11-|x|在区间[-10,10]上的解的个数是(　　).
A.8 B.9 C.10 D.11
【解析】由函数f(x)是R上的偶函数,可得f(-x)=f(x).又f(2-x)=f(2+x),可得f(4-x)=f(x),故可得f(-x)=f(4-x),即f(x)=f(x+4),即函数f(x)的周期是4.
当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,要研究方程f(x)=11-|x|在区间[-10,10]上解的个数,
可将问题转化为y=f(x)与y=11-|x|在区间[-10,10]上有几个交点,如图所示.

由可图知,有9个交点,故选B.
【答案】B
10.(2017江西萍乡模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)+f(x)=2xe-x,若f(0)=1,则函数f'(x)f(x)的取值范围为(　　).
A.[-1,0]　 B.[-2,0]　 C.[0,1]　 D.[0,2]
【解析】由f'(x)+f(x)=2xe-x,得exf'(x)+exf(x)=2x,∴[exf(x)]'=2x.设exf(x)=x2+c,由于f(0)=1,因而c=1,∴f(x)=x2+1ex,f'(x)=2xex-(x2+1)exe2x=-(x-1)2ex,∴f'(x)f(x)=-(x-1)2x2+1=-1+2xx2+1.当x=0时,f'(x)f(x)=-1,当x≠0时,2xx2+1=2x+1x∈[-1,1],当x=-1时取得最小值,当x=1时取得最大值,从而f'(x)f(x)的取值范围为[-2,0],故选B.
【答案】B
二、填空题
11.(2017宁夏中卫模拟)已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则tanα-π4等于　　　　. 
【解析】∵a∥b,∴cos α+2sin α=0,∴tan α=-12,∴tanα-π4=tanα-11+tanα=-3.
【答案】-3
12.(2017浙江联考)已知x,y满足不等式组x-3y+5≥0,2x-y≤0,x≥0,y≥0,则目标函数z=12x×4y的最小值为　　　　. 

　　

【解析】通过不等式组x-3y+5≥0,2x-y≤0,x≥0,y≥0作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),B0,53,求z=12x×4y=22y-x的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=12x×4y的最小值为1.
【答案】1
13.(2017陕西师大附中模拟改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ccos B=2a+b,△ABC的面积为S=312c,则ab的最小值为　　　　. 
【解析】在△ABC中,由条件及正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin(B+C)+sin B,即 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B,∴2sin Bcos C+sin B=0,∴cos C=-12,C=2π3.∵△ABC的面积为S=12ab·sin C=34ab=312c,∴c=3ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C,整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时取等号,∴ab≥13.
【答案】13
14.(2017河南三门峡一模)若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,则实数a的最大值是　　　　. 
【解析】因为ex+y-2+ex-y-2+2=ex-2(ey+e-y)+2≥2(ex-2+1),再由2(ex-2+1)≥4ax,可有2a≤1+ex-2x.令g(x)=1+ex-2x,则g'(x)=ex-2(x-1)-1x2,可得g'(2)=0,且在(2,+∞)上g'(x)>0,在[0,2)上g'(x)<0,故g(x)的最小值为g(2)=1,于是2a≤1,即a≤12.
【答案】12
三、解答题
15.(2017山东烟台二模)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,满足AD·AC=0,sin ∠BAC=223,AB=32,BD=3.

(1)求AD的长;
(2)求cos C.
【解析】(1)∵AD·AC=0,∴AD⊥AC,∴sin∠BAC=sinπ2+∠BAD=cos∠BAD.
∵sin∠BAC=223,∴cos∠BAD=223.
在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,
即AD2-8AD+15=0,解得AD=5或AD=3.
∵AB>AD,∴AD=3.
(2)在△ABD中,由正弦定理可知BDsin∠BAD=ABsin∠ADB.
又由cos∠BAD=223,可知sin∠BAD=13,
∴sin∠ADB=ABsin∠BADBD=63.
∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC=π2,∴cos C=63.
16.(2017豫南八校)已知函数f(x)=2sin xcos x+23cos2x-3.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足fA2-π6=3,且sin B+sin C=13314,求△ABC的面积.
【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+23cos2x-3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3,
因此f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
故f(x)的单调递减区间为2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z),即x∈kπ+π12,kπ+7π12(k∈Z).
(2)由fA2-π6=2sin2A2-π6+π3=2sin A=3,
又A为锐角,所以A=π3.
由正弦定理可得2R=asinA=732=143,sin B+sin C=b+c2R=13314,则b+c=13314×143=13,由余弦定理可知cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=12,可求得bc=40,故S△ABC=12bcsin A=103.
17.(2016西安八校联考)已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3-b3=1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由已知可得1+d=q,2(1+2d)-q2=1,
解得d=0,q=1或d=2,q=3,
从而an=bn=1或an=2n-1,bn=3n-1.
(2)①当an=bn=1时,cn=1,所以Sn=n;
②当an=2n-1,bn=3n-1时,cn=(2n-1)×3n-1,
Sn=1+3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1,
3Sn=3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1)×3n,
从而有(1-3)Sn=1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n-1)×3n
=1+2(3+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n
=1+2×3(1-3n-1)1-3-(2n-1)×3n=-2(n-1)×3n-2,
故Sn=(n-1)×3n+1.
综合①②,得Sn=n或Sn=(n-1)×3n+1.
18.(2017山东青岛质检)已知f(x)=mx+1+nln x(m,n为常数)在x=1处的切线为x+y-2=0.
(1)求y=f(x)的单调区间;
(2)若任意实数x∈1e,1,使得对任意的t∈12,2上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f(x)=mx+1+nln x的定义域为(0,+∞),
∴f'(x)=-m(x+1)2+nx,
∴f'(1)=-m4+n=-1,把x=1代入x+y-2=0可得y=1,∴f(1)=m2=1,∴m=2,n=-12,
∴f(x)=2x+1-12ln x,f'(x)=-2(x+1)2-12x.
∵x>0,∴f'(x)<0,∴f(x)的单调递减区间是(0,+∞),无递增区间.
(2)由(1)可知,f(x)在1e,1上单调递减,∴f(x)在1e,1上的最小值为f(1)=1,
∴只需t3-t2-2at+2≤1,即2a≥t2-t+1t对任意的t∈12,2恒成立.
令g(t)=t2-t+1t,则g'(t)=2t-1-1t2=2t3-t2-1t2.
∵t∈12,2,∴2t3-t2-1=(t-1)(2t2+t+1),
∴在t∈12,1上,g(t)单调递减;在t∈[1,2]上,g(t)单调递增.
又g12=74,g(2)=52,∴g(t)在12,2上的最大值是52,
∴只需2a≥52,即a≥54,∴实数a的取值范围是54,+∞.