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全国版高考数学必刷题：第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理
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这是一份全国版高考数学必刷题：第五单元 导数的概念与计算、定积分与微积分定理，共31页。试卷主要包含了 ②，定积分01 dx的值为等内容，欢迎下载使用。
第五单元 导数的概念与计算、定积分
与微积分定理
考点一
导数的计算
1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,01图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ).
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】
由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,-ln x1)(01),
则函数f(x)的图象在点P1处的切线l1的方程为y+ln x1=-1x1(x-x1),
即y=-xx1+1-ln x1. ①
则函数f(x)的图象在点P2处的切线l2的方程为y-ln x2=1x2(x-x2),即y=xx2-1+ln x2. ②
由l1⊥l2,得-1x1×1x2=-1,
∴x1x2=1.
由切线方程可求得A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1),
由①②知l1与l2交点的横坐标xP=2-lnx1-lnx21x1+1x2=2x1+x2.
∴S△PAB=12×(1-ln x1-ln x2+1)×2x1+x2
=2x1+x2=2x1+1x1.
又∵x1∈(0,1),∴x1+1x1>2,
∴0<2x1+1x1<1,即0
2.(2015年天津卷)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为 .
【解析】f'(x)=alnx+x·1x=a(1+ln x).
因为f'(1)=a(1+ln 1)=a,又f'(1)=3,所以a=3.
【答案】3
考点二
导数的几何意义
3.(2016年山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( ).
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
【解析】若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x1)·f'(x2)=-1.
对于A:y'=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则存在x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;
对于B:y'=1x,若有1x1·1x2=-1,则存在x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1;
对于C:y'=ex,若有ex1·ex2=-1,则存在ex1+x2=-1,显然不存在这样的x1,x2;
对于D:y'=3x2,若有3x12·3x22=-1,则存在9x12x22=-1,显然不存在这样的x1,x2.
综上所述,故选A.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
【解析】∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1.
又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.
【答案】1
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
【解析】设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0).
∵当x>0时,f'(x)=ex-1+1,
∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2.
∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),
即2x-y=0.
【答案】2x-y=0
6.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
【解析】求得(ln x+2)'=1x,[ln(x+1)]'=1x+1.
设曲线y=ln x+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2),
则k=1x1=1x2+1,所以x2+1=x1.
又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,
所以k=y1-y2x1-x2=2,
所以x1=1k=12,y1=ln12+2=2-ln 2,
所以b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
【答案】1-ln 2
考点三
定积分及其应用
7.(2014年江西卷)若f(x)=x2+201 f(x)dx,则01 f(x)dx=( ).
A.-1 B.-13 C.13 D.1
【解析】∵f(x)=x2+201 f(x)dx,∴01 f(x)dx=13x3+2x01f(x)dx| 01=13+201f(x)dx,
∴ 01 f(x)dx=-13.
【答案】B
8.(2014年山东卷)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).
A.22 B.42 C.2 D.4
【解析】令4x=x3,解得x=0或x=±2,∴S=024x-x3)=2x2-x44 02=8-4=4,故选D.
【答案】D
9.(2014年陕西卷)定积分01 (2x+ex)dx的值为( ).
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
【解析】01 (2x+ex)dx=(x2+ex) 1 0=e.故选C.
【答案】C
10.(2015年天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .
【解析】
如图,阴影部分的面积即为所求.
由y=x2,y=x,得A(1,1).
故所求面积为S=01 (x-x2)dx=12x2-13x3 01=16.
【答案】16
11.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=225x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=-55 2-225x2dx=403,梯形面积S2=(6+10)×22=16.故原始的最大流量与当前最大流量比为S2∶S1=1.2.
【答案】1.2
高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.
命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.
§5.1 导数概念及其运算
一
导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:
定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
limΔx→0=f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y' x=x0.
几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点 处的 .相应地,切线方程为 .
2.函数f(x)的导函数:limΔx→0=f(x+Δx)-f(x)Δx.
二
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=xn(n∈Q*)
f'(x)=
f(x)=sin x
f'(x)=
f(x)=cos x
f'(x)=
f(x)=ax
f'(x)= (a>0)
f(x)=ex
f'(x)=
f(x)=logax
f'(x)=1xlna
f(x)=ln x
f'(x)=1x
三
导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'= ;
2.[f(x)·g(x)]'= ;
3.f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
四
复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同.( )
(2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为3(x2-a2).( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(4)若f(x)=sin α+cos x,则f'(x)=cos α-sin x.( )
2 若f(x)=x·ex,则f'(1)等于( ).
A.0 B.e
C.2e D.e2
3 曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是( ).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
4 若y=ln(2x+5),则y'= .
5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'π2sin x+cos x,则f'π4= .
6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.
知识清单
一、1.(x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
二、n·xn-1 cos x -sin x axln a ex
三、1.f'(x)±g'(x)
2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
四、y'u·u'x y对u u对x
基础训练
1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.
(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).
(3)正确.
(4)错误,f'(x)=-sin x.
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.【解析】f'(x)=ex+xex,则f'(1)=2e.
【答案】C
3.【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.
【答案】C
4.【解析】y'=22x+5.
【答案】22x+5
5.【解析】因为f'(x)=f'π2cos x-sin x,所以f'π2=-1,所以f'π4=22f'π2-22=-2.
【答案】-2
6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=1x+a,
所以1m+a=2,ln(m+a)=2m-1,解得a=12ln 2.
题型一
导数的计算
【例1】(1)f(x)=x2+xex;
(2)f(x)=x3+2x-x2lnx-1x2;
(3)y=xsin2x+π2cos2x+π2.
【解析】(1)f'(x)=(2x+1)ex-(x2+x)ex(ex)2=1+x-x2ex.
(2)由已知得f(x)=x-ln x+2x-1x2,∴f'(x)=1-1x-2x2+2x3=x3-x2-2x+2x3.
(3)∵y=xsin2x+π2cos2x+π2=12xsin(4x+π)=-12xsin 4x,
∴y'=-12sin 4x-12x·4cos 4x=-12sin 4x-2xcos 4x.
熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确定中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
【变式训练1】(1)函数y=(1-x)1+1x,则y'= .
(2)已知f(x)=sin3x-π4,则f'π3= .
【解析】∵y=(1-x)1+1x=1x-x=x-12-x12,
∴y'=-12x-32-12x-12=-12x-32+x-12.
(2)∵y'=cos3x-π4·3x-π4'=3cos3x-π4,
∴f'π3=3cos3×π3-π4=-322.
【答案】(1)-12x-32-x12 (2)-322
题型二
导数的几何意义
【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),
∵f'(x0)=3x02-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).
又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),
∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
导数f'(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,曲线在点P处的切线是以点P为切点,曲线过点P的切线则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标.
【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
(2)设a∈R,函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 .
【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y' x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.
(2)函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x)=ex-aex.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-aex=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=ex-1ex.令ex-1ex=32,解得ex=2或ex=-12(舍去),所以x=ln 2.
【答案】(1)B (2)ln 2
题型三
导数运算的应用
【例3】设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( ).
A.222-1e B.22-1e
C.22 D.2
【解析】y'=e-x-xe-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得ex=1-x,ex+x-1=0,令h(x)=ex+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程ex+x-1=0只有一解x=0,曲线y=xe-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=12=22,即P,Q两点间距离的最小值为22,故选C.
【答案】C
导数是研究函数问题的工具,解题时,要有运用导数的意识.
【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于( ).
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.
【答案】B
方法一
化归转化思想在导数运算中的应用
对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.
【突破训练1】求下列函数的导数.
(1)y=1+x1-x+1-x1+x;
(2)y=xln 2x.
【解析】(1)∵y=(1+x)2+(1-x)21-x=2(1+x)1-x=41-x-2,∴y'=4(1-x)2.
(2)y=xln(2x)12=12xln 2x,
y'=12xln2x'=12[x'ln 2x+x(ln 2+ln x)']=12(ln 2x+1).
方法二
求切线斜率的方法
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0)),求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由y1=f(x1),y0-y1=f'(x1)(x0-x1)求解即可.
【突破训练2】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.
【解析】∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+ln x,∴y0=x0lnx0,y0+1=(1+lnx0)x0,解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
1.(2017海南八校一模)已知函数f(x)=axx2+3,若f'(1)=12,则实数a的值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】函数f(x)=axx2+3,则f'(x)=a(x2+3)-ax(2x)(x2+3)2,
∵f'(1)=12,即f'(1)=4a-2a16=12,∴a=4.
【答案】B
2.(2017吉林白山二模)设f(x)存在导函数且满足limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)Δx=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ).
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=limΔx→0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx=-1.
【答案】A
3.(2017惠州模拟)已知函数f(x)=1xcos x,则f(π)+f'π2=( ).
A.-3π2 B.-1π2 C.-3π D.-1π
【解析】因为f'(x)=-1x2cos x+1x(-sin x),所以f(π)+f'π2=-1π+2π×(-1)=-3π.
【答案】C
4.(2017江西南昌模拟)已知函数f(x)=lnx2+1,则f'(2)=( ).
A.15 B.25 C.35 D.45
【解析】因为f(x)=lnx2+1=12ln(x2+1),所以f'(x)=12×2x1+x2=x1+x2,所以f'(2)=21+22=25,故选B.
【答案】B
5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).
A.-2 B.2 C.-12 D.12
【解析】由y'=-2(x-1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A.
【答案】A
6.(2017河南郑州二模)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)的值为( ).
A.6+24 B.6-24 C.0 D.1
【解析】f0(x)=sin x,则f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,…,则f(1)(x)=f(5)(x)=f(9)(x)=…,
即f(n)(x)=f(n+4)(x),则f(n)(x)是周期为4的周期函数.
又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,
∴f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)=f(1)(15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
【答案】A
7.(2017江西七校一模)已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(4)= .
【解析】f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(x)=2x+f'(2)1x-1,则f'(2)=4+f'(2)12-1,
∴f'(2)=83,∴f'(x)=2x+831x-1,∴f'(4)=6.
【答案】6
8.(2017郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= .
【解析】由题图可得曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-13=0.
【答案】0
9.(2017保定一模)若函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .
【解析】函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在x∈(0,+∞)上有解,而f'(x)=1x+a,即1x+a=2在x∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
【答案】(-∞,2)
10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0,f(x0)),则点M( ).
A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上
C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上
【解析】 f'(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,令f″(x)=0,则有4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故拐点M(x0,f(x0))在直线y=3x上.
【答案】B
11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则8a+bab的最小值是( ).
A.9 B.10 C.16 D.25
【解析】由f(x)=ax2+bx,得f'(x)=2ax+b.又因为f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab+b2a+5≥28ab·b2a+5=9,当且仅当2a+b=2,8ab=b2a,即a=13,b=43时等号成立.所以8a+bab的最小值是9.
【答案】A
12.(2017北京东城区模考)已知M,N分别是曲线y=ex与直线y=ex-1上的点,则线段MN的最小值为( ).
A.1e2+1 B.e2+1e2+1 C.e2+1 D.e
【解析】设曲线y=ex在某点处的切线为l,当切线l与直线y=ex-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l与直线y=ex-1平行,所以切线l的斜率为e.设切点坐标为M(a,b),又曲线y=ex在点M(a,b)处的切线的斜率为y' x=a=ea,
由ea=e,得a=1,所以切点M的坐标为(1,e),
故切线l的方程为y-e=e(x-1),即ex-y=0.
又直线y=ex-1,即ex-y-1=0,
所以d=1e2+1=e2+1e2+1,即线段MN的最小值为e2+1e2+1.
【答案】B
13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a
C.12,1 D.13,1
【解析】由题意可知,在区间[0,a]存在x1,x2(0
∴方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.
令g(x)=3x2-2x-a2+a(0
【答案】C
14.(2017四川南充一诊)已知函数f(x)=sin(2x+θ),f'(x)是f(x)的导函数,若函数f(x)+f'(x)为奇函数,则tan θ= .
【解析】∵f(x)=sin(2x+θ),∴f'(x)=2cos(2x+θ),
则f(x)+f'(x)=sin(2x+θ)+2cos(2x+θ).
∵f(x)+f'(x)为奇函数,
∴sin(-2x+θ)+2cos(-2x+θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),
即-sin(2x-θ)+2cos(2x-θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),
则-sin 2xcos θ+cos 2xsin θ+2cos 2xcos θ+2sin 2xsin θ
=-sin 2xcos θ-cos 2xsin θ-2cos 2xcos θ+2sin 2xsin θ,
得2cos 2xsin θ=-4cos 2xcos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2,
【答案】-2
15.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f(x)=ax3+x2+bx+2中a,b为参数,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=6x-1,则f(-1)= .
【解析】∵f(x)=ax3+x2+bx+2,∴f'(x)=3ax2+2x+b,∴f(1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,
故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1.
而y=6x-1,则3a+b+2=6,-2a+1=-1,解得a=1,b=1,故f(x)=x3+x2+x+2,
则f(-1)=1.
【答案】1
16.(2017河北唐山一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】 (1)由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a,
因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.
(2)存在.由已知得直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).
因为g'(x0)=6x0+6,
所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),
将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.
当x0=-1时,切线方程为y=9;
当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,
①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.
在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,
在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,
所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.
②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.
在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,
在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,
所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.
综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.
§5.2 定积分与微积分基本定理
一
定积分的几何意义
ab f(x)dx(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的 的面积.
二
定积分的性质
1.ab kf(x)dx=kab f(x)dx (k为常数).
2.ab [f1(x)±f2(x)]dx=ab f1(x)dx±ab f2(x)dx.
3.ab f(x)dx=ac f(x)dx+cb f(x)dx(其中a
三
微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么ab f(x)dx= ,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.
为了方便,常把F(b)-F(a)记作 ,
即ab f(x)dx=F(x) b a=F(b)-F(a).
☞ 左学右考
1 01 (ex+2x)dx等于( ).
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
2 定积分-22 |x2-2x|dx等于( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
3 若0T x2dx=9,则常数T的值为 .
4 已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.
知识清单
一、曲边梯形
三、F(b)-F(a) F(x) b a
基础训练
1.【解析】01 (ex+2x)dx=(ex+x2) 1 0=e+1-1=e.
【答案】C
2.【解析】-22 |x2-2x|dx=-20 (x2-2x)dx+02 (2x-x2)dx=13x3-x2 0 -2+x2-13x3 2 0=8.
【答案】D
3.【解析】由0T x2dx=9得13(T3-0)=9,解得T=3.
【答案】3
4.【解析】S=02 vdt=02 10tdt=5t2 2 0=20.
题型一
定积分的计算
【例1】(1)-11 (x2+sin x)dx;
(2)13 3+2x-x2dx.
【解析】(1)-11 (x2+sin x)dx=-11 x2dx+-11 sin xdx=2·01 x2dx=2·x33 1 0=23.
(2)由定积分的几何意义知,13 3+2x-x2dx表示圆(x-1)2+y2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,
∴13 3+2x-x2dx=14×π×4=π.
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
(1)对被积函数要先化简,再求积分.
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”分段积分,再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号,再求积分.
【变式训练1】-11 (x2+1-x2)dx= .
(2)设f(x)=x2,x∈(0,1],1x,x∈(1,e)(e为自然对数的底数),则e 0f(x)dx的值为 .
【解析】 (1)原式-11 x2dx+-11 1-x2dx=13x3 1 -1+-11 1-x2dx=23+-11 1-x2dx,∵-11 1-x2dx等于半径为1的圆的面积的12,∴-11 1-x2dx=π2,故原式=π2+23.
(2)∵f(x)=x2,x∈(0,1],1x,x∈(1,e),
∴e 0f(x)dx=01 x2dx+e 11xdx=13x3 1 0+ln x e 1=13+ln e=43.
【答案】(1)π2+23 (2)43
题型二
定积分在平面几何中的应用
【例2】求由曲线y=x、y=2-x、y=-13x所围成的图形的面积.
【解析】画出草图,如图.
解方程组y=x,x+y=2,y=x,y=-13x及x+y=2,y=-13x,
得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
所以S=01 x--13xdx+13 (2-x)--13xdx
=01 x+13xdx+13 2-x+13xdx
=23x32+16x2 1 0+2x-12x2+16x2 3 1
=23+16+2x-13x2 3 1=56+6-13×9-2+13
=136.
利用定积分求曲边图形的面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.
【变式训练2】求抛物线y2=2x和直线y=-x+4所围成的图形的面积.
【解析】
先求抛物线和直线的交点,解方程组y2=2x,y=-x+4,得交点坐标为A(2,2)和B(8,-4).选取x为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S1+S2=202 2xdx+28 (2x-x+4)dx=423x32 2 0+223x32-12x2+4x 8 2=18.
题型三
定积分在物理中的应用
【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ).
A.1+25ln 5 B.8+25ln 113
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
【解析】令v(t)=0,得t=4或t=-83(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=04 7-3t+251+tdt=7t-32t2+25ln(1+t) 4 0=28-24+25ln 5=4+25ln 5.
【答案】C
定积分在物理中的两个应用:
(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动的物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ab v(t)dt.
(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=ab F(x)dx.
【变式训练3】一物体在力F(x)=5,0≤x≤2,3x+4,x>2(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为 J.
【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=04 F(x)dx=02 5dx+24 (3x+4)dx=5×2+32x2+4x 4 2=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).
【答案】36
方法
计算定积分的方法
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.
(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.
【突破训练】用min{a,b}表示a,b两个数中的较小的数,设f(x)=min{x2,x},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=12和直线x=4所围成的封闭图形的面积为 .
【解析】
由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=121 x2dx+14 xdx=13x3 1 12+23x32 4 1=13-13×18+163-23=11924.
【答案】11924
1.(2017山东模拟)若f(x)=x+201 f(t)dt,则f(x)=( ).
A.2x-1 B.2x+1 C.x+1 D.x-1
【解析】记a=01 f(t)dt,则f(x)=x+2a,故01 f(x)dx=01 (x+2a)dx=12+2a,
所以a=12+2a,a=-12,故f(x)=x-1.
【答案】D
2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{an}中,a5+a7=-22 4-x2dx,则a6(a4+2a6+a8)的值为( ).
A.16π2 B.4π2 C.2π2 D.π2
【解析】∵-22 4-x2dx表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之一,∴-22 4-x2dx=12π×4=2π,∴a5+a7=2π.∵{an}为等比数列,∴a6(a4+2a6+a8)=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=(a5+a7)2=4π2.
【答案】B
3.(2017江西南昌模拟)若a=02 x2dx,b=02 x3dx,c=02 sin xdx,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a
b=02 x3dx=14x4 2 0=4,c=02 sin xdx=(-cos x) 2 0=1-cos 2<2,所以c
4.(2017广西南宁二模)定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,设f(x)=minx2,1x,则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( ).
A.712 B.512
C.13+ln 2 D.16+ln 2
【解析】由1x=x2,得x=1,又当x<0时,1x
所以根据新定义有f(x)=minx2,1x=x2,01.
函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图),
则其面积为S=01 x2dx+12 1xdx=13x3 1 0+ln x 2 1=13+ln 2.
【答案】C
5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:
①01 xdx<01 3xdx;
②0π4 sin xdx<0π4 cos xdx;
③01 e-xdx<01 e-x2dx;
④02 sin xdx<02 xdx.
其中,正确的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①∵x∈(0,1),∴x<3x,∴01 xdx<01 3xdx;
②∵x∈0,π4,∴sin x
综上可知,正确的个数为4.
【答案】D
6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为0t (3t2+1)dt,物体B在t s内行驶的路程为0t 10tdt,所以0t (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) t 0=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.
【答案】C
7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于( ).
A.1 B.43
C.23 D.13
【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于201 xdx=2×23x32 1 0=43.
【答案】B
8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为( ).
A.13 B.12 C.1 D.2
【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).
曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是01 (x-x3)dx=12x2-14x4 1 0=12-14-0=14.由y=x3与y=x都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.
所以曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为12,故选B.
【答案】B
9.(2017山东联考)由曲线y=x3与y=x围成的封闭图形的面积是 .
【解析】
如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=x的图象,则封闭图形的面积S=01 (x-x3)dx=23x32-14x4 1 0=23-14=512.
【答案】512
10.
(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sin x及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成.向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为38,则a= .
【解析】根据题意,阴影部分的面积为0a sin xdx=-cos x a 0=1-cos a,矩形的面积为a·4a=4.由几何概型的概率公式可得1-cosa4=38,
即cos a=-12,又a∈(0,π),∴a=2π3.
【答案】2π3
11.(2017广东湛江二模)曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( ).
A.2-ln 2 B.2ln 2-12
C.2+ln 2 D.2ln 2+12
【解析】联立方程组y=2x,y=x-1,解得x=2,y=1,
则曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为
S=12 2x-x+1dx=(2ln x-12x2+x) 2 1=(2ln 2-2+2)-(0-12+1)=2ln 2-12.
【答案】B
12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C、M、D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是( ).
A.23 B.43 C.52 D.83
【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D(2,1),设抛物线方程为y2=2px,代入D,可得p=14,∴y=12x,∴S=202 12xdx=2·23x32 2 0=83,故选D.
【答案】D
13.(2017哈尔滨六中一模)设函数f(x)是R上的奇函数,f(x+π)=-f(x),当0≤x≤π2时,f(x)=cos x-1,则当-2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为( ).
A.4π-8 B.2π-4 C.π-2 D.3π-6
【解析】由f(x+π)=-f(x),得f(x+2π)=f(x),
即函数的周期是2π.若-π2≤x≤0,则0≤-x≤π2,即f(-x)=cos(-x)-1=cos x-1.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=cos x-1=-f(x),即f(x)=1-cos x,-π2≤x≤0.
∵函数的周期是2π,∴当3π2
当π2
综上,f(x)=cosx-1,0≤x≤π2,-cosx-1,π2
【答案】A
14.(2016山东济南二模)已知曲线y=1x与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为 .
【解析】由题意,A对应区域的面积为13 1xdx=ln x 3 1=ln 3,B对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为ln32.
【答案】ln32
15.(2017山东德州期中)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f1x=-3x+2,那么12 f(x)dx= .
【解析】∵函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f1x=-3x+2,
∴f(x)-2f1x=-3x+2,f1x-2f(x)=-3x+2,解得f(x)=x+2x-2,
∴12 f(x)dx=12 xdx+12 2xdx-12 2dx=x22 2 1+2ln x 2 1-2x 2 1=2ln 2-12.
【答案】2ln 2-12
16.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B12,5、C(1,0),则函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为 .
【解析】当0≤x≤12时,线段AB的方程为y=10x;当12
第五单元 导数的概念与计算、定积分
与微积分定理
考点一
导数的计算
1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【解析】
由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,-ln x1)(0
则函数f(x)的图象在点P1处的切线l1的方程为y+ln x1=-1x1(x-x1),
即y=-xx1+1-ln x1. ①
则函数f(x)的图象在点P2处的切线l2的方程为y-ln x2=1x2(x-x2),即y=xx2-1+ln x2. ②
由l1⊥l2,得-1x1×1x2=-1,
∴x1x2=1.
由切线方程可求得A(0,1-ln x1),B(0,ln x2-1),
由①②知l1与l2交点的横坐标xP=2-lnx1-lnx21x1+1x2=2x1+x2.
∴S△PAB=12×(1-ln x1-ln x2+1)×2x1+x2
=2x1+x2=2x1+1x1.
又∵x1∈(0,1),∴x1+1x1>2,
∴0<2x1+1x1<1,即0
2.(2015年天津卷)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为 .
【解析】f'(x)=alnx+x·1x=a(1+ln x).
因为f'(1)=a(1+ln 1)=a,又f'(1)=3,所以a=3.
【答案】3
考点二
导数的几何意义
3.(2016年山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( ).
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
【解析】若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则f'(x1)·f'(x2)=-1.
对于A:y'=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,则存在x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立;
对于B:y'=1x,若有1x1·1x2=-1,则存在x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1;
对于C:y'=ex,若有ex1·ex2=-1,则存在ex1+x2=-1,显然不存在这样的x1,x2;
对于D:y'=3x2,若有3x12·3x22=-1,则存在9x12x22=-1,显然不存在这样的x1,x2.
综上所述,故选A.
【答案】A
4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
【解析】∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1.
又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1).
∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1.
【答案】1
5.(2016年全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
【解析】设x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.
∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0).
∵当x>0时,f'(x)=ex-1+1,
∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2.
∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),
即2x-y=0.
【答案】2x-y=0
6.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .
【解析】求得(ln x+2)'=1x,[ln(x+1)]'=1x+1.
设曲线y=ln x+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2),
则k=1x1=1x2+1,所以x2+1=x1.
又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,
所以k=y1-y2x1-x2=2,
所以x1=1k=12,y1=ln12+2=2-ln 2,
所以b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
【答案】1-ln 2
考点三
定积分及其应用
7.(2014年江西卷)若f(x)=x2+201 f(x)dx,则01 f(x)dx=( ).
A.-1 B.-13 C.13 D.1
【解析】∵f(x)=x2+201 f(x)dx,∴01 f(x)dx=13x3+2x01f(x)dx| 01=13+201f(x)dx,
∴ 01 f(x)dx=-13.
【答案】B
8.(2014年山东卷)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).
A.22 B.42 C.2 D.4
【解析】令4x=x3,解得x=0或x=±2,∴S=024x-x3)=2x2-x44 02=8-4=4,故选D.
【答案】D
9.(2014年陕西卷)定积分01 (2x+ex)dx的值为( ).
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
【解析】01 (2x+ex)dx=(x2+ex) 1 0=e.故选C.
【答案】C
10.(2015年天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 .
【解析】
如图,阴影部分的面积即为所求.
由y=x2,y=x,得A(1,1).
故所求面积为S=01 (x-x2)dx=12x2-13x3 01=16.
【答案】16
11.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=225x2-2,抛物线与x轴围成的面积S1=-55 2-225x2dx=403,梯形面积S2=(6+10)×22=16.故原始的最大流量与当前最大流量比为S2∶S1=1.2.
【答案】1.2
高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及.
命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题.
§5.1 导数概念及其运算
一
导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数:
定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
limΔx→0=f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx→0ΔyΔx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y' x=x0.
几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点 处的 .相应地,切线方程为 .
2.函数f(x)的导函数:limΔx→0=f(x+Δx)-f(x)Δx.
二
基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=xn(n∈Q*)
f'(x)=
f(x)=sin x
f'(x)=
f(x)=cos x
f'(x)=
f(x)=ax
f'(x)= (a>0)
f(x)=ex
f'(x)=
f(x)=logax
f'(x)=1xlna
f(x)=ln x
f'(x)=1x
三
导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]'= ;
2.[f(x)·g(x)]'= ;
3.f(x)g(x)'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).
四
复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)f'(x0)与(f(x0))'表示的意义相同.( )
(2)函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为3(x2-a2).( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
(4)若f(x)=sin α+cos x,则f'(x)=cos α-sin x.( )
2 若f(x)=x·ex,则f'(1)等于( ).
A.0 B.e
C.2e D.e2
3 曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是( ).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
4 若y=ln(2x+5),则y'= .
5 设函数f(x)的导数为f'(x),且f(x)=f'π2sin x+cos x,则f'π4= .
6 已知直线y=2x-1与曲线y=ln(x+a)相切,求a的值.
知识清单
一、1.(x0,f(x0)) 切线斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
二、n·xn-1 cos x -sin x axln a ex
三、1.f'(x)±g'(x)
2.f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
四、y'u·u'x y对u u对x
基础训练
1.【解析】(1)错误,f'(x0)表示导函数值,(f(x0))'=0,是常数的导数.
(2)正确,由求导公式计算可知f(x)'=3(x2-a2).
(3)正确.
(4)错误,f'(x)=-sin x.
【答案】(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.【解析】f'(x)=ex+xex,则f'(1)=2e.
【答案】C
3.【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率k=2,所以切线方程2x-y+1=0.
【答案】C
4.【解析】y'=22x+5.
【答案】22x+5
5.【解析】因为f'(x)=f'π2cos x-sin x,所以f'π2=-1,所以f'π4=22f'π2-22=-2.
【答案】-2
6.【解析】设切点P(m,ln(m+a)),又y'=1x+a,
所以1m+a=2,ln(m+a)=2m-1,解得a=12ln 2.
题型一
导数的计算
【例1】(1)f(x)=x2+xex;
(2)f(x)=x3+2x-x2lnx-1x2;
(3)y=xsin2x+π2cos2x+π2.
【解析】(1)f'(x)=(2x+1)ex-(x2+x)ex(ex)2=1+x-x2ex.
(2)由已知得f(x)=x-ln x+2x-1x2,∴f'(x)=1-1x-2x2+2x3=x3-x2-2x+2x3.
(3)∵y=xsin2x+π2cos2x+π2=12xsin(4x+π)=-12xsin 4x,
∴y'=-12sin 4x-12x·4cos 4x=-12sin 4x-2xcos 4x.
熟记导数运算法则,求导之前能化简的要化简;求复合函数的导数,关键在于分析函数的复合关系,适当确定中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
【变式训练1】(1)函数y=(1-x)1+1x,则y'= .
(2)已知f(x)=sin3x-π4,则f'π3= .
【解析】∵y=(1-x)1+1x=1x-x=x-12-x12,
∴y'=-12x-32-12x-12=-12x-32+x-12.
(2)∵y'=cos3x-π4·3x-π4'=3cos3x-π4,
∴f'π3=3cos3×π3-π4=-322.
【答案】(1)-12x-32-x12 (2)-322
题型二
导数的几何意义
【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
【解析】∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1.又f(2)=-2,
∴曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2,即x-y-4=0.
(2)设切点坐标为(x0,x03-4x02+5x0-4),
∵f'(x0)=3x02-8x0+5,
∴切线方程为y-(-2)=(3x02-8x0+5)(x-2).
又切线过点(x0,x03-4x02+5x0-4),
∴x03-4x02+5x0-2=(3x02-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或x0=1,
∴经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.
导数f'(x0)的几何意义就是函数y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,曲线在点P处的切线是以点P为切点,曲线过点P的切线则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标.
【变式训练2】(1)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
(2)设a∈R,函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为 .
【解析】(1)设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).又y'=1x+a,所以y' x=x0=1x0+a=1,即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a),所以y0=0,则x0=-1,所以a=2.
(2)函数f(x)=ex+aex的导函数是f'(x)=ex-aex.又f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-aex=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)·(1-a)=0,解得a=1,所以f'(x)=ex-1ex.令ex-1ex=32,解得ex=2或ex=-12(舍去),所以x=ln 2.
【答案】(1)B (2)ln 2
题型三
导数运算的应用
【例3】设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+1上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( ).
A.222-1e B.22-1e
C.22 D.2
【解析】y'=e-x-xe-x=(1-x)e-x,令(1-x)e-x=1,得ex=1-x,ex+x-1=0,令h(x)=ex+x-1,显然h(x)是增函数,且h(0)=0,即方程ex+x-1=0只有一解x=0,曲线y=xe-x在x=0处的切线方程为y=x,故两条平行线x-y=0和x-y+1=0间的距离为d=12=22,即P,Q两点间距离的最小值为22,故选C.
【答案】C
导数是研究函数问题的工具,解题时,要有运用导数的意识.
【变式训练3】f(x)=x(2017+ln x),若f'(x0)=2018,则x0等于( ).
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
【解析】f'(x)=2017+ln x+x×1x=2018+ln x,故由f'(x0)=2018得2018+ln x0=2018,则ln x0=0,解得x0=1.
【答案】B
方法一
化归转化思想在导数运算中的应用
对于比较复杂的函数求导,若直接套用求导法则,计算过程繁琐冗长,且易出错.可先化简将其转化为基本初等函数,再求导,但要注意变形的等价性,避免不必要的失误.
【突破训练1】求下列函数的导数.
(1)y=1+x1-x+1-x1+x;
(2)y=xln 2x.
【解析】(1)∵y=(1+x)2+(1-x)21-x=2(1+x)1-x=41-x-2,∴y'=4(1-x)2.
(2)y=xln(2x)12=12xln 2x,
y'=12xln2x'=12[x'ln 2x+x(ln 2+ln x)']=12(ln 2x+1).
方法二
求切线斜率的方法
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0)),求斜率k,即求该点处的导数值:k=f'(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k.
(3)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由y1=f(x1),y0-y1=f'(x1)(x0-x1)求解即可.
【突破训练2】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.
【解析】∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,∴设切点为(x0,y0).又∵f'(x)=1+ln x,∴y0=x0lnx0,y0+1=(1+lnx0)x0,解得x0=1,y0=0.∴切点为(1,0).又∵f'(1)=1+ln 1=1,
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
1.(2017海南八校一模)已知函数f(x)=axx2+3,若f'(1)=12,则实数a的值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】函数f(x)=axx2+3,则f'(x)=a(x2+3)-ax(2x)(x2+3)2,
∵f'(1)=12,即f'(1)=4a-2a16=12,∴a=4.
【答案】B
2.(2017吉林白山二模)设f(x)存在导函数且满足limΔx→0f(1)-f(1-2Δx)Δx=-2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ).
A.-1 B.-2 C.1 D.2
【解析】y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=limΔx→0=f(1)-f(1-2Δx)2Δx=-1.
【答案】A
3.(2017惠州模拟)已知函数f(x)=1xcos x,则f(π)+f'π2=( ).
A.-3π2 B.-1π2 C.-3π D.-1π
【解析】因为f'(x)=-1x2cos x+1x(-sin x),所以f(π)+f'π2=-1π+2π×(-1)=-3π.
【答案】C
4.(2017江西南昌模拟)已知函数f(x)=lnx2+1,则f'(2)=( ).
A.15 B.25 C.35 D.45
【解析】因为f(x)=lnx2+1=12ln(x2+1),所以f'(x)=12×2x1+x2=x1+x2,所以f'(2)=21+22=25,故选B.
【答案】B
5.(2017西宁复习检测)已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( ).
A.-2 B.2 C.-12 D.12
【解析】由y'=-2(x-1)2,得曲线在点(3,2)处的切线的斜率为-12.又因为切线与直线ax+y+1=0垂直,所以a=-2,故选A.
【答案】A
6.(2017河南郑州二模)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],…,f(n)(x)=f'[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)的值为( ).
A.6+24 B.6-24 C.0 D.1
【解析】f0(x)=sin x,则f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sin x,f(5)(x)=cos x,…,则f(1)(x)=f(5)(x)=f(9)(x)=…,
即f(n)(x)=f(n+4)(x),则f(n)(x)是周期为4的周期函数.
又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=sin x+cos x-sin x-cos x=0,且2017=504×4+1,
∴f(1)(15°)+f(2)(15°)+…+f(2017)(15°)=f(1)(15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
【答案】A
7.(2017江西七校一模)已知函数f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(4)= .
【解析】f(x)=x2+f'(2)(ln x-x),则f'(x)=2x+f'(2)1x-1,则f'(2)=4+f'(2)12-1,
∴f'(2)=83,∴f'(x)=2x+831x-1,∴f'(4)=6.
【答案】6
8.(2017郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)= .
【解析】由题图可得曲线y=f(x)在x=3处的切线的斜率为-13,即f'(3)=-13.又因为g(x)=xf(x),所以g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-13=0.
【答案】0
9.(2017保定一模)若函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 .
【解析】函数f(x)=ln x+ax的图象上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=2在x∈(0,+∞)上有解,而f'(x)=1x+a,即1x+a=2在x∈(0,+∞)上有解,a=2-1x,因为x>0,所以2-1x<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
【答案】(-∞,2)
10.(2017安徽安庆二模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0,f(x0)),则点M( ).
A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上
C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上
【解析】 f'(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,令f″(x)=0,则有4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故拐点M(x0,f(x0))在直线y=3x上.
【答案】B
11.(湖南衡阳八中2017适应性试卷)已知函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,则8a+bab的最小值是( ).
A.9 B.10 C.16 D.25
【解析】由f(x)=ax2+bx,得f'(x)=2ax+b.又因为f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2,所以f'(1)=2a+b=2,即a+b2=1.则8a+bab=8b+1a=a+b28b+1a=8ab+b2a+5≥28ab·b2a+5=9,当且仅当2a+b=2,8ab=b2a,即a=13,b=43时等号成立.所以8a+bab的最小值是9.
【答案】A
12.(2017北京东城区模考)已知M,N分别是曲线y=ex与直线y=ex-1上的点,则线段MN的最小值为( ).
A.1e2+1 B.e2+1e2+1 C.e2+1 D.e
【解析】设曲线y=ex在某点处的切线为l,当切线l与直线y=ex-1平行时,这两条平行直线间的距离就是所求的最小值.因为切线l与直线y=ex-1平行,所以切线l的斜率为e.设切点坐标为M(a,b),又曲线y=ex在点M(a,b)处的切线的斜率为y' x=a=ea,
由ea=e,得a=1,所以切点M的坐标为(1,e),
故切线l的方程为y-e=e(x-1),即ex-y=0.
又直线y=ex-1,即ex-y-1=0,
所以d=1e2+1=e2+1e2+1,即线段MN的最小值为e2+1e2+1.
【答案】B
13.(2017河北衡水一模)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a
C.12,1 D.13,1
【解析】由题意可知,在区间[0,a]存在x1,x2(0
∴方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的解.
令g(x)=3x2-2x-a2+a(0
【答案】C
14.(2017四川南充一诊)已知函数f(x)=sin(2x+θ),f'(x)是f(x)的导函数,若函数f(x)+f'(x)为奇函数,则tan θ= .
【解析】∵f(x)=sin(2x+θ),∴f'(x)=2cos(2x+θ),
则f(x)+f'(x)=sin(2x+θ)+2cos(2x+θ).
∵f(x)+f'(x)为奇函数,
∴sin(-2x+θ)+2cos(-2x+θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),
即-sin(2x-θ)+2cos(2x-θ)=-sin(2x+θ)-2cos(2x+θ),
则-sin 2xcos θ+cos 2xsin θ+2cos 2xcos θ+2sin 2xsin θ
=-sin 2xcos θ-cos 2xsin θ-2cos 2xcos θ+2sin 2xsin θ,
得2cos 2xsin θ=-4cos 2xcos θ,解得sin θ=-2cos θ,即tan θ=-2,
【答案】-2
15.(2017辽宁葫芦岛模考)已知函数f(x)=ax3+x2+bx+2中a,b为参数,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=6x-1,则f(-1)= .
【解析】∵f(x)=ax3+x2+bx+2,∴f'(x)=3ax2+2x+b,∴f(1)=a+b+3,f'(1)=3a+b+2,
故切线方程为y-(a+b+3)=(3a+b+2)(x-1),即y=(3a+b+2)x-2a+1.
而y=6x-1,则3a+b+2=6,-2a+1=-1,解得a=1,b=1,故f(x)=x3+x2+x+2,
则f(-1)=1.
【答案】1
16.(2017河北唐山一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f'(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
【解析】 (1)由已知得f'(x)=3ax2+6x-6a,
因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.
(2)存在.由已知得直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x02+6x0+12).
因为g'(x0)=6x0+6,
所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),
将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.
当x0=-1时,切线方程为y=9;
当x0=1时,切线方程为y=12x+9.
由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,
①由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.
在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18,
在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,
所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.
②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.
在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11,
在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,
所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.
综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.
§5.2 定积分与微积分基本定理
一
定积分的几何意义
ab f(x)dx(f(x)>0)的几何意义:表示直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的 的面积.
二
定积分的性质
1.ab kf(x)dx=kab f(x)dx (k为常数).
2.ab [f1(x)±f2(x)]dx=ab f1(x)dx±ab f2(x)dx.
3.ab f(x)dx=ac f(x)dx+cb f(x)dx(其中a
三
微积分基本定理
一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且F'(x)=f(x),那么ab f(x)dx= ,这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼兹公式.
为了方便,常把F(b)-F(a)记作 ,
即ab f(x)dx=F(x) b a=F(b)-F(a).
☞ 左学右考
1 01 (ex+2x)dx等于( ).
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
2 定积分-22 |x2-2x|dx等于( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
3 若0T x2dx=9,则常数T的值为 .
4 已知质点的速率v=10t,求从t=0到t=2质点所经过的路程.
知识清单
一、曲边梯形
三、F(b)-F(a) F(x) b a
基础训练
1.【解析】01 (ex+2x)dx=(ex+x2) 1 0=e+1-1=e.
【答案】C
2.【解析】-22 |x2-2x|dx=-20 (x2-2x)dx+02 (2x-x2)dx=13x3-x2 0 -2+x2-13x3 2 0=8.
【答案】D
3.【解析】由0T x2dx=9得13(T3-0)=9,解得T=3.
【答案】3
4.【解析】S=02 vdt=02 10tdt=5t2 2 0=20.
题型一
定积分的计算
【例1】(1)-11 (x2+sin x)dx;
(2)13 3+2x-x2dx.
【解析】(1)-11 (x2+sin x)dx=-11 x2dx+-11 sin xdx=2·01 x2dx=2·x33 1 0=23.
(2)由定积分的几何意义知,13 3+2x-x2dx表示圆(x-1)2+y2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,
∴13 3+2x-x2dx=14×π×4=π.
运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
(1)对被积函数要先化简,再求积分.
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”分段积分,再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号,再求积分.
【变式训练1】-11 (x2+1-x2)dx= .
(2)设f(x)=x2,x∈(0,1],1x,x∈(1,e)(e为自然对数的底数),则e 0f(x)dx的值为 .
【解析】 (1)原式-11 x2dx+-11 1-x2dx=13x3 1 -1+-11 1-x2dx=23+-11 1-x2dx,∵-11 1-x2dx等于半径为1的圆的面积的12,∴-11 1-x2dx=π2,故原式=π2+23.
(2)∵f(x)=x2,x∈(0,1],1x,x∈(1,e),
∴e 0f(x)dx=01 x2dx+e 11xdx=13x3 1 0+ln x e 1=13+ln e=43.
【答案】(1)π2+23 (2)43
题型二
定积分在平面几何中的应用
【例2】求由曲线y=x、y=2-x、y=-13x所围成的图形的面积.
【解析】画出草图,如图.
解方程组y=x,x+y=2,y=x,y=-13x及x+y=2,y=-13x,
得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).
所以S=01 x--13xdx+13 (2-x)--13xdx
=01 x+13xdx+13 2-x+13xdx
=23x32+16x2 1 0+2x-12x2+16x2 3 1
=23+16+2x-13x2 3 1=56+6-13×9-2+13
=136.
利用定积分求曲边图形的面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.
【变式训练2】求抛物线y2=2x和直线y=-x+4所围成的图形的面积.
【解析】
先求抛物线和直线的交点,解方程组y2=2x,y=-x+4,得交点坐标为A(2,2)和B(8,-4).选取x为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如图),则面积为S=S1+S2=202 2xdx+28 (2x-x+4)dx=423x32 2 0+223x32-12x2+4x 8 2=18.
题型三
定积分在物理中的应用
【例3】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ).
A.1+25ln 5 B.8+25ln 113
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
【解析】令v(t)=0,得t=4或t=-83(舍去),∴汽车继续行驶的距离S=04 7-3t+251+tdt=7t-32t2+25ln(1+t) 4 0=28-24+25ln 5=4+25ln 5.
【答案】C
定积分在物理中的两个应用:
(1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动的物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=ab v(t)dt.
(2)变力做功,一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=ab F(x)dx.
【变式训练3】一物体在力F(x)=5,0≤x≤2,3x+4,x>2(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为 J.
【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=04 F(x)dx=02 5dx+24 (3x+4)dx=5×2+32x2+4x 4 2=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).
【答案】36
方法
计算定积分的方法
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差,用积分性质求积分.
(2)根据定积分的几何意义,转化为求封闭图形的面积.
【突破训练】用min{a,b}表示a,b两个数中的较小的数,设f(x)=min{x2,x},那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=12和直线x=4所围成的封闭图形的面积为 .
【解析】
由题意知,所求图形的面积为如图所示的阴影部分的面积,即所求的面积S=121 x2dx+14 xdx=13x3 1 12+23x32 4 1=13-13×18+163-23=11924.
【答案】11924
1.(2017山东模拟)若f(x)=x+201 f(t)dt,则f(x)=( ).
A.2x-1 B.2x+1 C.x+1 D.x-1
【解析】记a=01 f(t)dt,则f(x)=x+2a,故01 f(x)dx=01 (x+2a)dx=12+2a,
所以a=12+2a,a=-12,故f(x)=x-1.
【答案】D
2.(2017广东汕头模拟)已知等比数列{an}中,a5+a7=-22 4-x2dx,则a6(a4+2a6+a8)的值为( ).
A.16π2 B.4π2 C.2π2 D.π2
【解析】∵-22 4-x2dx表示以原点为圆心,2为半径的圆的面积的二分之一,∴-22 4-x2dx=12π×4=2π,∴a5+a7=2π.∵{an}为等比数列,∴a6(a4+2a6+a8)=a6a4+2a62+a6a8=a52+2a5a7+a72=(a5+a7)2=4π2.
【答案】B
3.(2017江西南昌模拟)若a=02 x2dx,b=02 x3dx,c=02 sin xdx,则a,b,c的大小关系是( ).
A.a
b=02 x3dx=14x4 2 0=4,c=02 sin xdx=(-cos x) 2 0=1-cos 2<2,所以c
4.(2017广西南宁二模)定义min{a,b}=a,a≤b,b,a>b,设f(x)=minx2,1x,则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为( ).
A.712 B.512
C.13+ln 2 D.16+ln 2
【解析】由1x=x2,得x=1,又当x<0时,1x
所以根据新定义有f(x)=minx2,1x=x2,0
函数f(x)的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形为图中阴影部分(如图),
则其面积为S=01 x2dx+12 1xdx=13x3 1 0+ln x 2 1=13+ln 2.
【答案】C
5.(2017湖南衡阳一模)下列4个不等式:
①01 xdx<01 3xdx;
②0π4 sin xdx<0π4 cos xdx;
③01 e-xdx<01 e-x2dx;
④02 sin xdx<02 xdx.
其中,正确的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①∵x∈(0,1),∴x<3x,∴01 xdx<01 3xdx;
②∵x∈0,π4,∴sin x
综上可知,正确的个数为4.
【答案】D
6.(2017安徽合肥期中)物体A以速度v=3t2+1(单位:m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间为( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】因为物体A在t s内行驶的路程为0t (3t2+1)dt,物体B在t s内行驶的路程为0t 10tdt,所以0t (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) t 0=t3+t-5t2=5,即(t-5)(t2+1)=0,所以t=5.
【答案】C
7.(2017天津市红桥区期中)如图,由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于( ).
A.1 B.43
C.23 D.13
【解析】由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于201 xdx=2×23x32 1 0=43.
【答案】B
8.(2017山东烟台期中)曲线y=x3与直线y=x所围成的图形的面积为( ).
A.13 B.12 C.1 D.2
【解析】曲线y=x3与直线y=x的交点坐标为(0,0),(1,1),(-1,-1).
曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是01 (x-x3)dx=12x2-14x4 1 0=12-14-0=14.由y=x3与y=x都是奇函数,可知它们在第三象限的面积与第一象限的面积相等.
所以曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为12,故选B.
【答案】B
9.(2017山东联考)由曲线y=x3与y=x围成的封闭图形的面积是 .
【解析】
如图,在同一平面直角坐标系内画出y=x3与y=x的图象,则封闭图形的面积S=01 (x-x3)dx=23x32-14x4 1 0=23-14=512.
【答案】512
10.
(2017山西晋中月考)如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sin x及直线x=a(a∈(0,π))与x轴围成.向矩形OABC内随机掷一点,该点落在阴影部分的概率为38,则a= .
【解析】根据题意,阴影部分的面积为0a sin xdx=-cos x a 0=1-cos a,矩形的面积为a·4a=4.由几何概型的概率公式可得1-cosa4=38,
即cos a=-12,又a∈(0,π),∴a=2π3.
【答案】2π3
11.(2017广东湛江二模)曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为( ).
A.2-ln 2 B.2ln 2-12
C.2+ln 2 D.2ln 2+12
【解析】联立方程组y=2x,y=x-1,解得x=2,y=1,
则曲线y=2x与直线y=x-1及x=1所围成的封闭图形的面积为
S=12 2x-x+1dx=(2ln x-12x2+x) 2 1=(2ln 2-2+2)-(0-12+1)=2ln 2-12.
【答案】B
12.(2017邯郸一模)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C、M、D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是( ).
A.23 B.43 C.52 D.83
【解析】由题意,建立平面直角坐标系,如图所示,则D(2,1),设抛物线方程为y2=2px,代入D,可得p=14,∴y=12x,∴S=202 12xdx=2·23x32 2 0=83,故选D.
【答案】D
13.(2017哈尔滨六中一模)设函数f(x)是R上的奇函数,f(x+π)=-f(x),当0≤x≤π2时,f(x)=cos x-1,则当-2π≤x≤2π时,f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为( ).
A.4π-8 B.2π-4 C.π-2 D.3π-6
【解析】由f(x+π)=-f(x),得f(x+2π)=f(x),
即函数的周期是2π.若-π2≤x≤0,则0≤-x≤π2,即f(-x)=cos(-x)-1=cos x-1.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=cos x-1=-f(x),即f(x)=1-cos x,-π2≤x≤0.
∵函数的周期是2π,∴当3π2
当π2
综上,f(x)=cosx-1,0≤x≤π2,-cosx-1,π2
【答案】A
14.(2016山东济南二模)已知曲线y=1x与直线x=1,x=3,y=0围成的封闭区域为A,直线x=1,x=3,y=0,y=1围成的封闭区域为B,在区域B内任取一点P,该点P落在区域A的概率为 .
【解析】由题意,A对应区域的面积为13 1xdx=ln x 3 1=ln 3,B对应区域的面积为2,由几何概型的公式得所求概率为ln32.
【答案】ln32
15.(2017山东德州期中)设函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f1x=-3x+2,那么12 f(x)dx= .
【解析】∵函数f(x)对x≠0的实数满足f(x)-2f1x=-3x+2,
∴f(x)-2f1x=-3x+2,f1x-2f(x)=-3x+2,解得f(x)=x+2x-2,
∴12 f(x)dx=12 xdx+12 2xdx-12 2dx=x22 2 1+2ln x 2 1-2x 2 1=2ln 2-12.
【答案】2ln 2-12
16.(2017江西南昌模拟)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B12,5、C(1,0),则函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为 .
【解析】当0≤x≤12时,线段AB的方程为y=10x;当12
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