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全国版高考数学必刷题：第一单元 集合与常用逻辑用语
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这是一份全国版高考数学必刷题：第一单元 集合与常用逻辑用语，共37页。试卷主要包含了设有下面四个命题，设p，函数f在x=x0处导数存在等内容，欢迎下载使用。
第一单元 集合与常用逻辑用语
考点一
集合
1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ).
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀
【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
【答案】A
2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ).
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
【答案】C
3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ).
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,
集合B表示直线y=x上的所有点的集合.
由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,
所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
【答案】B
4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ).
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1
5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(RQ)=( ).
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},
∴RQ={x∈R|x2<4}={x|-2
∴P∪(RQ)={x|-2
6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1
【解析】∵P={x|-1
考点二
命题及其关系、充分条件与必要条件
7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z-2;
p4:若复数z∈R,则z-∈R.
其中的真命题为( ).
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).
对于p1,若1z∈R,即1a+bi=a-bia2+b2∈R,则b=0,所以z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题.
对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∈/R,所以p2为假命题.
对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=z-2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.
对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒z-=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.
故选B.
【答案】B
8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足y≥x-1,y≥1-x,y≤1,则p是q的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】
p表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).
由图可知,p是q的必要不充分条件.
【答案】A
9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( ).
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.
【答案】C
考点三
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则?p为( ).
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,?p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
【答案】C
11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( ).
A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
由x+y=1,x-2y=4,
得交点A(2,-1).
-12>-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-x2+u2,u2表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.
【答案】C
12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(?q);④(?p)∨q中,真命题是( ).
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则?p为假命题,?q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③p∧(?q)为真命题,④(?p)∨q为假命题.所以选C.
【答案】C
13.(2015年山东卷)若“∀x∈0,π4,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
【解析】∵函数y=tan x在0,π4上是增函数,∴ymax=tanπ4=1.依题意,m≥ymax,即m≥1,∴m的最小值为1.
【答案】1
高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.
命题特点:试题注重基础,一般是选择题.
§1.1 集合
一
集合的概念
1.集合中元素的特征: 、 、无序性.
2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作 ;b不属于集合A,记作 .
3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).
4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
5.集合间的关系
子集:A⊆B或 .真子集:A⫋B或 .集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.
空集是 集合的子集,是 集合的真子集.
二
集合的性质
1.集合的运算
(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
(3)补集:UA={x|x∈U且x∉A}.
2.需要特别注意的运算性质和结论
A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(UA)=⌀,A∪(UA)=U;
A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.( )
2 若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是( ).
A.{a}⊆A B.a⊆A
C.{a}∈A D.a∉A
3 集合A={x|x-2<0},B={x|x
知识清单
一、1.确定性 互异性
2.a∈A b∉A
5.B⊇A B⫌A 任何 任何非空
基础训练
1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.
(2)错误,x=0.
(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.
(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】因为a=22=8∉N,所以a∉A,故选D.
【答案】D
3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x
题型一
集合的概念
【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;
若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);
若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);
若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).
综上所述,有序数组的个数为6.
【答案】6
研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ).
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为 .
【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.
(2)由题意得(2-a)2<1,(3-a)2≥1,即1
题型二
集合间的基本关系
【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
当B≠⌀时,若B⊆A,则m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2
【答案】(-∞,4]
在集合运算中,遇到B⊆A,应注意是否需要分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.
【变式训练2】(1)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|-x2+x+2>0},则下列结论正确的是( ).
A.A∪B=R B.A∩B≠⌀
C.A⊆RB D.A⊇RB
(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|x=x2-2,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( ).
A.2 B.-1 C.-1或2 D.2或2
【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1
因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.
【答案】(1)C (2)A
题型三
集合的运算
【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|log12(x-1)>0},B=x2x-3x<0,则阴影部分表示的集合是( ).
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1) D.(0,1]
【解析】图中阴影部分表示集合B∩RA.∵A={x|log12(x-1)>0}={x|1
在进行集合的运算时要尽可能借助Venn图和数轴求解,使抽象问题直观化.
【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ).
A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1]
(2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是( ).
A.[-1,1)
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)
D.(-3,-1)
【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0
【答案】(1)A (2)D
方法
数形结合思想在集合中的应用
对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.
【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的35,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的13多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?
【解析】赞成A地重建的专家人数为50×35=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.
如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.
设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为x3+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.
依题意,(30-x)+(33-x)+x+x3+1=50,解得x=21.
所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.
1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
【答案】D
2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( ).
A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3}
【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.
【答案】B
3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(UB)等于( ).
A.{4,6} B.{1,8}
C.{1,4,6,8} D.{1,4,6,8,9}
【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以UB={1,8,9},因此A∩(UB)={1,8}.
【答案】B
4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=x12≤2x≤4,x∈Z,则M∩N=( ).
A.{-2,-1,0,1,2} B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{0,1}
【解析】由12≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.
【答案】C
5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=x1x<2,则下列结论正确的是( ).
A.N⊆M B.M⊆N
C.M∩N=⌀ D.M∪N=R
【解析】∵1x-2<0,即2x-1x>0,解得x<0或x>12,∴N=(-∞,0)∪12,+∞.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.
【答案】B
6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若UB⊆A,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,1) B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)
【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,
所以A={x|x>2或x<1}.
因为B={x|x≤a},所以UB={x|x>a}.
因为UB⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.
【答案】D
7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(RB)=( ).
A.{-1,2} B.{-2,-1,1,2,4}
C.{1,4} D.⌀
【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},RB={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(RB)={-1,2}.
【答案】A
8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|01,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(UB)={2,3,4}.
【答案】{2,3,4}
9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆UA,则集合B的个数是 .
【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以UA={-2,4},所以集合B的个数是22=4.
【答案】4
10.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(RB)=( ).
A.⌀ B.{x|x>2或x≤-1}
C.{x|x<-1} D.{x|x≥2或x<-1}
【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},
RB={x|x≥2或x<-1},
则A∩(RB)={x|x≥2或x<-1}.
【答案】D
11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则( ).
A.A⊆B B.A∪B=R
C.A∩B={2} D.A∩B=⌀
【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.
由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,
∴B={x|-1≤x≤2}.
∴A∩B=⌀.
【答案】D
12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是( ).
A.4n B.4n+1 C.4n+2 D.4n+3
【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.
∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.
∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.
若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,
∴4n+2=(x+y)(x-y).
∵x+y和x-y的奇偶性相同,
若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;
若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,
∴4n+2∉M.
【答案】C
13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|00},若(A∪B)⊆C,则实数m的取值范围为( ).
A.{m|-2≤m≤1} B.m-12≤m≤1
C.m-1≤m≤12 D.m-12≤m≤14
【解析】由题意得A∪B={x|-1
①当m<0时,x<-1m,∴-1m≥2,∴m≥-12,∴-12≤m<0;
②当m=0时,满足题意;
③当m>0时,x>-1m,∴-1m≤-1,∴m≤1,∴0
【答案】B
14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是 .
【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.
【答案】6
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一
命题
用语言、符号或式子表达的,可以 的陈述句叫作命题,其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.
二
四种命题及其相互关系
1.四种命题间的相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性.
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 .
三
充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,那么p是q的 条件,q是p的 条件.
2.如果p⇔q,那么p是q的 条件.
3.如果p⇒/ q且q⇒/ p,那么p是q的 条件.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
2 若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 .
3 已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的( ).
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
知识清单
一、判断真假 判断为真 判断为假
二、1.若q,则p 若?q,则?p
2.(1)相同 (2)没有关系
三、1.充分 必要 2.充要 3.既不充分也不必要
基础训练
1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.
(2)正确,由充分条件的定义知正确.
(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.
【答案】(1)× (2)√ (3)√
2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.
【答案】[2,+∞)
3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.
【答案】C
题型一
四种命题及其关系
【例1】下列命题中为真命题的是( ).
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若1x>1,则x>1”的逆否命题
【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则1x≤1”,易知其为假命题.故选B.
【答案】B
当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其等价命题的真假.
【变式训练1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是( ).
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.
当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.
【答案】B
题型二
充分条件、必要条件的判断
【例2】下列说法正确的是( ).
A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件
C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,q:{an}为等差数列,则p是q的充要条件
D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件
【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.
B错误,由A∩B=A,得 A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.
C错误,因为点Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an=2n+1(n∈N*),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列,即p⇒q.
反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/ p.所以p是q的充分不必要条件.
D正确,因为ln(x+1)<0⇔0
判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.
【变式训练2】“a<0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;
当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.
【答案】A
题型三
充分条件、必要条件的应用
【例3】 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( ).
A.0
当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.
设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-2a,x1x2=1a,
当方程有一个负实根和一个正实根时,有a<1,1a<0⇒a<0;
当方程有两个负实根时,有a≤1,-2a<0,⇒00
综上所述,a≤1.
【答案】C
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
【变式训练3】(2017常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为 .
【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.
因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,
所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,
故a的最小值为3.
【答案】3
方法
集合与充分条件、必要条件“联手”求参数
集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.
设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:
1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.
2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.
3.若A=B,则p是q的充要条件.
【突破训练】已知p:1-x-13≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且?p是?q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
【解析】由1-x-13≤2,得-2≤x≤10,所以?p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.
设A={x|x>10或x<-2}.
因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),
所以?q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
因为?p是?q的必要不充分条件,所以B⫋A,
所以m>0,1-m≤-2,1+m≥10,且不能同时取得等号,
解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).
【答案】[9,+∞)
1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是( ).
A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”
B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”
C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”
D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”
【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.
【答案】D
2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.
【答案】B
3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是( ).
A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0
B.若x2+y2≥4,则xy=2
C.若x+y=2,则xy≤1
D.若a≥b,则ac2≥bc2
【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.
【答案】B
4. (2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.
【答案】D
5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.
【答案】B
6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.
【答案】B
7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.
【答案】A
8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为( ).
①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;
②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;
③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;
④“每个正方形都是平行四边形”的否定.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.
【答案】B
9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:
①“面积相等的三角形全等”的否命题;
②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题是 .(填写所有真命题的序号)
【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.
【答案】①②
10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1
11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则( ).
A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题
B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题
C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题
D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题
【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.
原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.
因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.
原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.
【答案】D
12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ).
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
【解析】∵f(x)=ex-mx,∴f'(x)=ex-m.
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,
∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.
【答案】B
13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
【解析】∵函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限,∴1+m-13≥0,解得m≥-23.∵“m>a”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-23.
【答案】-∞,-23
14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-12
②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;
③函数f(x)的最小正周期为1;
④函数f(x)在-12,32上是增函数.
其中,真命题的序号是 .
【解析】令x=m+a,a∈-12,12,则f(x)=x-{x}=a∈-12,12,∴①正确.
令k=0,∵f12=12-12=12,
f-12=-12--12=-12+1=12,
∴f12≠-f-12,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.
∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),
∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.
当x=32时,m=1,f32=12,
当x=12时,m=0,f12=12,
∴f32=f12,∴④错误.
【答案】①③
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一
简单的逻辑联结词
1.命题中的“ ”“ ”“ ”叫作逻辑联结词.
2.命题p∧q,p∨q,?p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
假
假
真
假
假
二
全称命题与存在命题
1.全称量词:短语“ ”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.
2.全称命题:含有 的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 .
3.存在量词:短语“ ”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“ ”表示.
4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 .
三
含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.( )
(2)命题p和?p不可能都是真命题.( )
2 命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∨(?q) D.(?p)∧(?q)
3 给出下列命题:
①对任意x∈N,x3>x2;
②存在x0∈R,x02-x0+1≤0;
③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
以上命题的否定中,真命题为 .(填序号)
4 下列命题中的假命题是( ).
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,ln x0<1
D.∃x0∈R,tan x0=2
知识清单
一、1.或 且 非
2.真 真 假
假 真 假
假 真 真
假 假 真
二、1.所有的
2.全称量词 ∀x∈M,p(x)
3.存在一个 ∃
4.∃x0∈M,p(x0)
三、∃x0∈M,?p(x0) ∀x∈M,?p(x)
基础训练
1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.
(2)正确,命题p和?p真假相反,故不可能都是真命题.
【答案】(1)× (2)√
2.【解析】当x=π2时,sin x=1,所以p为假命题,?p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,?q为假命题.故(?p)∧q为真命题.
【答案】B
3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.
【答案】①②
4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】已知命题p:函数y=sin2x+π4和函数y=cos2x-3π4的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+π2(k∈Z)时,函数y=2(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是( ).
A.p∨q是假命题 B.(?p)∧q是假命题
C.p∧q是真命题 D.(?p)∨q是真命题
【解析】命题p中,y=cos2x-3π4=cos2x-π4-π2=cosπ2-2x-π4=sin2x-π4,y=sin2x-π4与y=sin2x+π4的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=2(sin 2x+cos 2x)=2sin2x+π4取得极小值时,2x+π4=2kπ-π2,即x=kπ-3π8,k∈Z,故q为假命题.所以(?p)∧q为假命题,故选B.
【答案】B
要判断p∧q,p∨q,?p的真假,首先确定每个简单命题p,q的真假,然后判断复合命题的真假.
【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=52;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(?q)”是假命题;
③命题“(?p)∨q”是真命题;
④命题“(?p)∨(?q)”是假命题.
其中结论正确的是( ).
A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③
【解析】因为52>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=x+122+34≥34>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.
【答案】A
题型二
全称命题与特称命题
【例2】下列命题中的真命题是( ).
A.存在x∈R,使得sin x+cos x=32
B.对任意x∈(0,+∞),ex>x+1
C.存在x∈(-∞,0),2x<3x
D.对任意x∈(0,π),sin x>cos x
【解析】因为sin x+cos x=2sinx+π4≤2<32,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈0,π4时,sin x
对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定.
【变式训练2】已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则?p是( ).
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
【解析】由命题的否定的定义可得,?p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.
【答案】C
题型三
根据命题的真假求参数的取值范围
【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.
x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.
设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.
由a≤1,a≥1或a≤-2,得a=1或a≤-2,
故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.
根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:先根据题目条件,得出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);然后求出每个命题是真命题时参数的取值范围;最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
【变式训练3】已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为( ).
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
【解析】依题意知p,q均为假命题.
当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2
【答案】A
方法
分类讨论思想在命题真假判断中的应用
【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,
因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,
所以12-2×1+a<0,22-2×2+a>0,得0
因为p且q是假命题,p或q是真命题,
所以p,q一真一假.
若p真q假,则0
故实数a的取值范围是a≤0或12≤a<1或a>52.
【答案】a≤0或12≤a<1或a>52
1.(2017吉林长春第一次质检)命题“∃x0>0,使得2x0(x0-a)>1”的否定是( ).
A.∀x>0,2x(x-a)>1
B.∀x>0,2x(x-a)≤1
C.∀x≤0,2x(x-a)≤1
D.∀x≤0,2x(x-a)>1
【解析】该命题的否定为“∀x>0,2x(x-a)≤1”,故选B.
【答案】B
2.(银川一中2018届月考)下列命题中的真命题是( ).
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.“a+b=0”的充要条件是“ab=-1”
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
【解析】因为y=ex>0(x∈R)恒成立,所以A不正确;
因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立,所以B不正确;
当a=b=0时,a+b=0,但是ab没有意义,所以C不正确;
“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,显然正确.故选D.
【答案】D
3.(2017凯里一中联考)一道数学试题,甲、乙两位同学独立完成.设命题p是“甲同学解出试题”,命题q是“乙同学解出试题”,则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为( ).
A.(?p)∨(?q) B.p∨(?q)
C.(?p)∧(?q) D.p∨q
【解析】由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”,故此命题可以表示为(?p)∨(?q).
【答案】A
4.(2017黑龙江大庆实验中学模拟)已知命题p:若a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;命题q:“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.下列命题为真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)
【解析】命题p:若a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件,是假命题;
“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故命题q:“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”,是假命题.
故(?p)∧(?q)是真命题.
【答案】D
5.(2017吉林实验中学第二次模拟)下列说法正确的是( ).
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否命题为“若x<-1,则x2-2x-3≤0”
D.已知命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则?p:∃x∈R,x2+x-1≥0
【解析】A错误,若p∨q为真命题,则p∧q不一定为真命题;B正确,“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件;C错误,其否命题为“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”;D错误,?p应为∀x∈R,x2+x-1≥0.
【答案】B
6.(2017贵州质检)下列说法正确的是( ).
A.命题“对任意x∈R,ex>0”的否定是“存在x∈R,ex>0”
B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
【解析】A错误,该命题的否定是“存在x∈R,ex≤0”.B正确,原命题的逆否命题为“已知x,y∈R,若x=2,y=1,则x+y=3”,易知其为真命题.C错误,分析题意可知,不等式两边的最值不一定在同一个点取到.D错误,若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则当a=0时,符合题意;当a≠0时,Δ=4+4a=0,a=-1.故原命题的逆命题是假命题.
【答案】B
7.(2017湖南衡阳四中月考)已知命题p:∀x∈R,有sin x≤1,则?p是 .
【解析】命题p为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,得?p:∃x∈R,有sin x>1.
【答案】∃x∈R,有sin x>1
8.(柳州市2018届月考)已知命题p:对任意x∈[0,1],a≥ex;命题q:存在x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p且q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【解析】若命题p且q是真命题,则命题p,q都是真命题.由对任意x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由存在x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4.因此e≤a≤4.
【答案】[e,4]
9.(2017成都市“五校联考”)下列命题中的假命题是( ).
A.∃φ∈R,使函数f(x)=sin(2x+φ)是偶函数
B.∃α,β∈R,使得cos(α+β)=cos α+cos β
C.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.对任意的正实数a,b,lg(a+b)≠lg a+lg b
【解析】当φ=π2时,函数f(x)=sin(2x+φ)=cos 2x为偶函数,故选项A中的命题为真命题;
当α=3π4,β=π2时,cos(α+β)=-22,cos α+cos β=-22,故选项B中的命题为真命题;
当m=2时,f(x)=(m-1)·xm2-4m+3=x-1是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,故选项C中的命题为真命题;
当a=b=2时,lg(a+b)=lg a+lg b=lg 4,故选项D中的命题是假命题.故选D.
【答案】D
10.(2017山东平阴一中期中)下列说法正确的是( ).
A.若a∈R,则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件
B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C.若命题p是“∀x∈R,sin x+cos x≤2”,则?p是真命题
D.命题“∃x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”
【解析】若“1a<1”成立,则“a>1”或“a<0”,故“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件,故A正确.
若p∧q为真命题,则p,q均为真命题,即“p∨q为真命题”成立;
若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,即“p∧q为真命题”不一定成立.
综上所述,“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,故B错误.
因为∀x∈R,sin x+cos x=2sinx+π4≤2,所以命题p是真命题,则?p是假命题,故C错误.
命题“∃x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”,故D错误.
【答案】A
11.(2017河南八市重点质检)已知命题p:∀x∈(1,+∞),2x>-x+3,命题q:∃x∈(0,1),lg x+x>0,则下列为真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)
【解析】作出函数y=2x和y=-x+3的图象(图略),由图可得,∀x∈(1,+∞),2x>-x+3,即p为真命题.作出函数y=lg x和y=-x的图象(图略),由图可得,∃x∈(0,1),lg x+x>0,即q为真命题.故p∧q为真命题,(?p)∧q,p∧(?q),(?p)∧(?q)均为假命题.
【答案】A
12.(2017长沙质检)命题p:对任意x∈R,ax2+ax+1≥0,若?p是真命题,则实数a的取值范围是( ).
A.(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
【解析】命题?p:存在x∈R,ax2+ax+1<0,要使其为真命题,则a<0或a>0,Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4.
【答案】D
13.(2017湖北八校联考)已知命题p:∀x∈R,|1-x|-|x-5|4,故实数a的取值范围是(4,+∞).
【答案】(4,+∞)
14.(2017苏北四市联考)已知命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为 .
【解析】由命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,可得m≤-1;由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2
【答案】(-∞,-2]∪(-1,+∞)
15.(2017六安市霍邱一中月考)已知a>0,命题p:函数y=ax为减函数,命题q:当x∈12,2时,函数f(x)=x+1x>1a恒成立,若p或q为真命题,p且q为假命题,求a的取值范围.
【解析】∵函数y=ax为减函数,∴0
又∵a>0,∴a>12.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p,q中必有一个真命题和一个假命题.
当p真q假时,由0
综上可知,a的取值范围为0,12∪[1,+∞).
第一单元 集合与常用逻辑用语
考点一
集合
1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ).
A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R
C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀
【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.
【答案】A
2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ).
A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5}
【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
【答案】C
3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ).
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,
集合B表示直线y=x上的所有点的集合.
由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,
所以A∩B中元素的个数为2.故选B.
【答案】B
4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ).
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1
5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(RQ)=( ).
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},
∴RQ={x∈R|x2<4}={x|-2
∴P∪(RQ)={x|-2
6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1
【解析】∵P={x|-1
考点二
命题及其关系、充分条件与必要条件
7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:
p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z-2;
p4:若复数z∈R,则z-∈R.
其中的真命题为( ).
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,b2∈R).
对于p1,若1z∈R,即1a+bi=a-bia2+b2∈R,则b=0,所以z=a+bi=a∈R,所以p1为真命题.
对于p2,若z2∈R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2∈R,则ab=0.当a=0,b≠0时,z=a+bi=bi∈/R,所以p2为假命题.
对于p3,若z1z2∈R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈R,则a1b2+a2b1=0.而z1=z-2,即a1+b1i=a2-b2i⇔a1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0⇒/a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.
对于p4,若z∈R,即a+bi∈R,则b=0⇒z-=a-bi=a∈R,所以p4为真命题.
故选B.
【答案】B
8.(2016年四川卷)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足y≥x-1,y≥1-x,y≤1,则p是q的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】
p表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆面(含边界),如图.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).
由图可知,p是q的必要不充分条件.
【答案】A
9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( ).
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.
【答案】C
考点三
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则?p为( ).
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,?p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.
【答案】C
11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:
p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;
p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;
p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;
p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( ).
A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3
【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).
由x+y=1,x-2y=4,
得交点A(2,-1).
-12>-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-x2+u2,u2表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.
【答案】C
12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(?q);④(?p)∨q中,真命题是( ).
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则?p为假命题,?q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③p∧(?q)为真命题,④(?p)∨q为假命题.所以选C.
【答案】C
13.(2015年山东卷)若“∀x∈0,π4,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为 .
【解析】∵函数y=tan x在0,π4上是增函数,∴ymax=tanπ4=1.依题意,m≥ymax,即m≥1,∴m的最小值为1.
【答案】1
高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.
命题特点:试题注重基础,一般是选择题.
§1.1 集合
一
集合的概念
1.集合中元素的特征: 、 、无序性.
2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作 ;b不属于集合A,记作 .
3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).
4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
5.集合间的关系
子集:A⊆B或 .真子集:A⫋B或 .集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.
空集是 集合的子集,是 集合的真子集.
二
集合的性质
1.集合的运算
(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
(3)补集:UA={x|x∈U且x∉A}.
2.需要特别注意的运算性质和结论
A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(UA)=⌀,A∪(UA)=U;
A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.( )
2 若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是( ).
A.{a}⊆A B.a⊆A
C.{a}∈A D.a∉A
3 集合A={x|x-2<0},B={x|x
知识清单
一、1.确定性 互异性
2.a∈A b∉A
5.B⊇A B⫌A 任何 任何非空
基础训练
1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.
(2)错误,x=0.
(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.
(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)√
2.【解析】因为a=22=8∉N,所以a∉A,故选D.
【答案】D
3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x
题型一
集合的概念
【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;
若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);
若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);
若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).
综上所述,有序数组的个数为6.
【答案】6
研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ).
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为 .
【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B中有5个元素.
(2)由题意得(2-a)2<1,(3-a)2≥1,即1
题型二
集合间的基本关系
【例2】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
当B≠⌀时,若B⊆A,则m+1≥-2,2m-1≤7,m+1<2m-1,解得2
【答案】(-∞,4]
在集合运算中,遇到B⊆A,应注意是否需要分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.
【变式训练2】(1)已知集合A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|-x2+x+2>0},则下列结论正确的是( ).
A.A∪B=R B.A∩B≠⌀
C.A⊆RB D.A⊇RB
(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|x=x2-2,x∈R},B={1,m},若A⊆B,则m的值为( ).
A.2 B.-1 C.-1或2 D.2或2
【解析】(1)A={x|x≥2或x≤-2},B={x|-1
因为B={1,m},且A⊆B,所以m=2.
【答案】(1)C (2)A
题型三
集合的运算
【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|log12(x-1)>0},B=x2x-3x<0,则阴影部分表示的集合是( ).
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1) D.(0,1]
【解析】图中阴影部分表示集合B∩RA.∵A={x|log12(x-1)>0}={x|1
在进行集合的运算时要尽可能借助Venn图和数轴求解,使抽象问题直观化.
【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=( ).
A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1]
(2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是( ).
A.[-1,1)
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)
D.(-3,-1)
【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lg x≤0}={x|0
【答案】(1)A (2)D
方法
数形结合思想在集合中的应用
对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.
【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的35,其余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的13多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的专家各有多少人?
【解析】赞成A地重建的专家人数为50×35=30,赞成B地重建的专家人数为30+3=33.
如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.
设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为x3+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人数为33-x.
依题意,(30-x)+(33-x)+x+x3+1=50,解得x=21.
所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.
1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
【答案】D
2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( ).
A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3}
【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.
【答案】B
3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩(UB)等于( ).
A.{4,6} B.{1,8}
C.{1,4,6,8} D.{1,4,6,8,9}
【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以UB={1,8,9},因此A∩(UB)={1,8}.
【答案】B
4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N=x12≤2x≤4,x∈Z,则M∩N=( ).
A.{-2,-1,0,1,2} B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1} D.{0,1}
【解析】由12≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.
【答案】C
5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N=x1x<2,则下列结论正确的是( ).
A.N⊆M B.M⊆N
C.M∩N=⌀ D.M∪N=R
【解析】∵1x-2<0,即2x-1x>0,解得x<0或x>12,∴N=(-∞,0)∪12,+∞.又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.
【答案】B
6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若UB⊆A,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,1) B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)
【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,
所以A={x|x>2或x<1}.
因为B={x|x≤a},所以UB={x|x>a}.
因为UB⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.
【答案】D
7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(RB)=( ).
A.{-1,2} B.{-2,-1,1,2,4}
C.{1,4} D.⌀
【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},RB={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(RB)={-1,2}.
【答案】A
8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0
【答案】{2,3,4}
9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆UA,则集合B的个数是 .
【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以UA={-2,4},所以集合B的个数是22=4.
【答案】4
10.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(RB)=( ).
A.⌀ B.{x|x>2或x≤-1}
C.{x|x<-1} D.{x|x≥2或x<-1}
【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log3(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},
RB={x|x≥2或x<-1},
则A∩(RB)={x|x≥2或x<-1}.
【答案】D
11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则( ).
A.A⊆B B.A∪B=R
C.A∩B={2} D.A∩B=⌀
【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.
由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,
∴B={x|-1≤x≤2}.
∴A∩B=⌀.
【答案】D
12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是( ).
A.4n B.4n+1 C.4n+2 D.4n+3
【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.
∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.
∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.
若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,
∴4n+2=(x+y)(x-y).
∵x+y和x-y的奇偶性相同,
若x+y和x-y都是奇数,则(x+y)(x-y)为奇数,而4n+2是偶数;
若x+y和x-y都是偶数,则(x+y)(x-y)能被4整除,而4n+2不能被4整除,
∴4n+2∉M.
【答案】C
13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0
A.{m|-2≤m≤1} B.m-12≤m≤1
C.m-1≤m≤12 D.m-12≤m≤14
【解析】由题意得A∪B={x|-1
①当m<0时,x<-1m,∴-1m≥2,∴m≥-12,∴-12≤m<0;
②当m=0时,满足题意;
③当m>0时,x>-1m,∴-1m≤-1,∴m≤1,∴0
【答案】B
14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若x-1∉A,x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是 .
【解析】S中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.
【答案】6
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一
命题
用语言、符号或式子表达的,可以 的陈述句叫作命题,其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.
二
四种命题及其相互关系
1.四种命题间的相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性.
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 .
三
充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,那么p是q的 条件,q是p的 条件.
2.如果p⇔q,那么p是q的 条件.
3.如果p⇒/ q且q⇒/ p,那么p是q的 条件.
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
2 若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是 .
3 已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的( ).
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
知识清单
一、判断真假 判断为真 判断为假
二、1.若q,则p 若?q,则?p
2.(1)相同 (2)没有关系
三、1.充分 必要 2.充要 3.既不充分也不必要
基础训练
1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.
(2)正确,由充分条件的定义知正确.
(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.
【答案】(1)× (2)√ (3)√
2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.
【答案】[2,+∞)
3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.
【答案】C
题型一
四种命题及其关系
【例1】下列命题中为真命题的是( ).
A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若1x>1,则x>1”的逆否命题
【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对于D,逆否命题为“若x≤1,则1x≤1”,易知其为假命题.故选B.
【答案】B
当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其等价命题的真假.
【变式训练1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是( ).
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.
当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.
【答案】B
题型二
充分条件、必要条件的判断
【例2】下列说法正确的是( ).
A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件
C.已知数列{an},若p:对于任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,q:{an}为等差数列,则p是q的充要条件
D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件
【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.
B错误,由A∩B=A,得 A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.
C错误,因为点Pn(n,an)在直线y=2x+1上,所以an=2n+1(n∈N*),则an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列,即p⇒q.
反之则不成立,如:令an=n,则{an}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/ p.所以p是q的充分不必要条件.
D正确,因为ln(x+1)<0⇔0
判断充分条件、必要条件的方法有定义法,集合法,等价转化法.
【变式训练2】“a<0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;
当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.
【答案】A
题型三
充分条件、必要条件的应用
【例3】 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是( ).
A.0
当a≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即a≤1.
设此时方程的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-2a,x1x2=1a,
当方程有一个负实根和一个正实根时,有a<1,1a<0⇒a<0;
当方程有两个负实根时,有a≤1,-2a<0,⇒0
综上所述,a≤1.
【答案】C
解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
【变式训练3】(2017常德一中月考)若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为 .
【解析】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.
因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,
所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,
故a的最小值为3.
【答案】3
方法
集合与充分条件、必要条件“联手”求参数
集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解.
设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:
1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.
2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.
3.若A=B,则p是q的充要条件.
【突破训练】已知p:1-x-13≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且?p是?q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
【解析】由1-x-13≤2,得-2≤x≤10,所以?p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.
设A={x|x>10或x<-2}.
因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),
所以?q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
因为?p是?q的必要不充分条件,所以B⫋A,
所以m>0,1-m≤-2,1+m≥10,且不能同时取得等号,
解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).
【答案】[9,+∞)
1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是( ).
A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”
B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”
C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”
D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”
【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.
【答案】D
2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.
【答案】B
3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是( ).
A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0
B.若x2+y2≥4,则xy=2
C.若x+y=2,则xy≤1
D.若a≥b,则ac2≥bc2
【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.
【答案】B
4. (2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.
【答案】D
5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.
【答案】B
6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.
【答案】B
7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.
【答案】A
8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为( ).
①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;
②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;
③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;
④“每个正方形都是平行四边形”的否定.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.
【答案】B
9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:
①“面积相等的三角形全等”的否命题;
②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题是 .(填写所有真命题的序号)
【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.
【答案】①②
10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1
11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则( ).
A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题
B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题
C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题
D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题
【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.
原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.
因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.
原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.
【答案】D
12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是( ).
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
【解析】∵f(x)=ex-mx,∴f'(x)=ex-m.
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f'(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≤1,
∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B正确,C,D错误.A错误,否命题应为“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B.
【答案】B
13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
【解析】∵函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限,∴1+m-13≥0,解得m≥-23.∵“m>a”是“函数f(x)=13x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-23.
【答案】-∞,-23
14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-12
②点(k,0)(k∈Z)是函数f(x)图象的对称中心;
③函数f(x)的最小正周期为1;
④函数f(x)在-12,32上是增函数.
其中,真命题的序号是 .
【解析】令x=m+a,a∈-12,12,则f(x)=x-{x}=a∈-12,12,∴①正确.
令k=0,∵f12=12-12=12,
f-12=-12--12=-12+1=12,
∴f12≠-f-12,即函数f(x)不关于点(0,0)对称,∴②错误.
∵f(x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x}=f(x),
∴函数f(x)的最小正周期为1,∴③正确.
当x=32时,m=1,f32=12,
当x=12时,m=0,f12=12,
∴f32=f12,∴④错误.
【答案】①③
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一
简单的逻辑联结词
1.命题中的“ ”“ ”“ ”叫作逻辑联结词.
2.命题p∧q,p∨q,?p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
?p
真
真
真
假
假
真
假
假
二
全称命题与存在命题
1.全称量词:短语“ ”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.
2.全称命题:含有 的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为 .
3.存在量词:短语“ ”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“ ”表示.
4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为 .
三
含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
☞ 左学右考
1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.( )
(2)命题p和?p不可能都是真命题.( )
2 命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∨(?q) D.(?p)∧(?q)
3 给出下列命题:
①对任意x∈N,x3>x2;
②存在x0∈R,x02-x0+1≤0;
③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
以上命题的否定中,真命题为 .(填序号)
4 下列命题中的假命题是( ).
A.∀x∈R,2x-1>0
B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x0∈R,ln x0<1
D.∃x0∈R,tan x0=2
知识清单
一、1.或 且 非
2.真 真 假
假 真 假
假 真 真
假 假 真
二、1.所有的
2.全称量词 ∀x∈M,p(x)
3.存在一个 ∃
4.∃x0∈M,p(x0)
三、∃x0∈M,?p(x0) ∀x∈M,?p(x)
基础训练
1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.
(2)正确,命题p和?p真假相反,故不可能都是真命题.
【答案】(1)× (2)√
2.【解析】当x=π2时,sin x=1,所以p为假命题,?p为真命题;当x=π时,cos x=-1,所以q为真命题,?q为假命题.故(?p)∧q为真命题.
【答案】B
3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.
【答案】①②
4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0
题型一
含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】已知命题p:函数y=sin2x+π4和函数y=cos2x-3π4的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+π2(k∈Z)时,函数y=2(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是( ).
A.p∨q是假命题 B.(?p)∧q是假命题
C.p∧q是真命题 D.(?p)∨q是真命题
【解析】命题p中,y=cos2x-3π4=cos2x-π4-π2=cosπ2-2x-π4=sin2x-π4,y=sin2x-π4与y=sin2x+π4的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=2(sin 2x+cos 2x)=2sin2x+π4取得极小值时,2x+π4=2kπ-π2,即x=kπ-3π8,k∈Z,故q为假命题.所以(?p)∧q为假命题,故选B.
【答案】B
要判断p∧q,p∨q,?p的真假,首先确定每个简单命题p,q的真假,然后判断复合命题的真假.
【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=52;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:
①命题“p∧q”是真命题;
②命题“p∧(?q)”是假命题;
③命题“(?p)∨q”是真命题;
④命题“(?p)∨(?q)”是假命题.
其中结论正确的是( ).
A.②③ B.②④ C.③④ D.①②③
【解析】因为52>1,所以命题p是假命题.因为x2+x+1=x+122+34≥34>0,所以命题q是真命题.故结论②③正确.
【答案】A
题型二
全称命题与特称命题
【例2】下列命题中的真命题是( ).
A.存在x∈R,使得sin x+cos x=32
B.对任意x∈(0,+∞),ex>x+1
C.存在x∈(-∞,0),2x<3x
D.对任意x∈(0,π),sin x>cos x
【解析】因为sin x+cos x=2sinx+π4≤2<32,所以A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;当x∈0,π4时,sin x
对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定.
【变式训练2】已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))·(x2-x1)≥0,则?p是( ).
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
【解析】由命题的否定的定义可得,?p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.
【答案】C
题型三
根据命题的真假求参数的取值范围
【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.
x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.
设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.
由a≤1,a≥1或a≤-2,得a=1或a≤-2,
故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.
根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:先根据题目条件,得出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);然后求出每个命题是真命题时参数的取值范围;最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
【变式训练3】已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假命题,则实数m的取值范围为( ).
A.m≥2 B.m≤-2
C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2
【解析】依题意知p,q均为假命题.
当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;
当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2
【答案】A
方法
分类讨论思想在命题真假判断中的应用
【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p:函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,命题q:函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点.若p且q是假命题,p或q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【解析】若命题p为真命题,则函数y=x2-2x+a在区间(1,2)上有一个零点,
因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1,
所以12-2×1+a<0,22-2×2+a>0,得0
因为p且q是假命题,p或q是真命题,
所以p,q一真一假.
若p真q假,则0
故实数a的取值范围是a≤0或12≤a<1或a>52.
【答案】a≤0或12≤a<1或a>52
1.(2017吉林长春第一次质检)命题“∃x0>0,使得2x0(x0-a)>1”的否定是( ).
A.∀x>0,2x(x-a)>1
B.∀x>0,2x(x-a)≤1
C.∀x≤0,2x(x-a)≤1
D.∀x≤0,2x(x-a)>1
【解析】该命题的否定为“∀x>0,2x(x-a)≤1”,故选B.
【答案】B
2.(银川一中2018届月考)下列命题中的真命题是( ).
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.“a+b=0”的充要条件是“ab=-1”
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件
【解析】因为y=ex>0(x∈R)恒成立,所以A不正确;
因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立,所以B不正确;
当a=b=0时,a+b=0,但是ab没有意义,所以C不正确;
“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件,显然正确.故选D.
【答案】D
3.(2017凯里一中联考)一道数学试题,甲、乙两位同学独立完成.设命题p是“甲同学解出试题”,命题q是“乙同学解出试题”,则命题“至少有一位同学没有解出试题”可表示为( ).
A.(?p)∨(?q) B.p∨(?q)
C.(?p)∧(?q) D.p∨q
【解析】由于命题“至少有一位同学没有解出试题”指的是“甲同学没有解出试题”或“乙同学没有解出试题”,故此命题可以表示为(?p)∨(?q).
【答案】A
4.(2017黑龙江大庆实验中学模拟)已知命题p:若a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;命题q:“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.下列命题为真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)
【解析】命题p:若a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件,是假命题;
“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故命题q:“∃x∈R,x2+2>3x”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”,是假命题.
故(?p)∧(?q)是真命题.
【答案】D
5.(2017吉林实验中学第二次模拟)下列说法正确的是( ).
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件
C.命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否命题为“若x<-1,则x2-2x-3≤0”
D.已知命题p:∃x∈R,x2+x-1<0,则?p:∃x∈R,x2+x-1≥0
【解析】A错误,若p∨q为真命题,则p∧q不一定为真命题;B正确,“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件;C错误,其否命题为“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”;D错误,?p应为∀x∈R,x2+x-1≥0.
【答案】B
6.(2017贵州质检)下列说法正确的是( ).
A.命题“对任意x∈R,ex>0”的否定是“存在x∈R,ex>0”
B.命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C.“x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D.命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
【解析】A错误,该命题的否定是“存在x∈R,ex≤0”.B正确,原命题的逆否命题为“已知x,y∈R,若x=2,y=1,则x+y=3”,易知其为真命题.C错误,分析题意可知,不等式两边的最值不一定在同一个点取到.D错误,若函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点,则当a=0时,符合题意;当a≠0时,Δ=4+4a=0,a=-1.故原命题的逆命题是假命题.
【答案】B
7.(2017湖南衡阳四中月考)已知命题p:∀x∈R,有sin x≤1,则?p是 .
【解析】命题p为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,得?p:∃x∈R,有sin x>1.
【答案】∃x∈R,有sin x>1
8.(柳州市2018届月考)已知命题p:对任意x∈[0,1],a≥ex;命题q:存在x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题p且q是真命题,则实数a的取值范围是 .
【解析】若命题p且q是真命题,则命题p,q都是真命题.由对任意x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由存在x∈R,使得x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4.因此e≤a≤4.
【答案】[e,4]
9.(2017成都市“五校联考”)下列命题中的假命题是( ).
A.∃φ∈R,使函数f(x)=sin(2x+φ)是偶函数
B.∃α,β∈R,使得cos(α+β)=cos α+cos β
C.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.对任意的正实数a,b,lg(a+b)≠lg a+lg b
【解析】当φ=π2时,函数f(x)=sin(2x+φ)=cos 2x为偶函数,故选项A中的命题为真命题;
当α=3π4,β=π2时,cos(α+β)=-22,cos α+cos β=-22,故选项B中的命题为真命题;
当m=2时,f(x)=(m-1)·xm2-4m+3=x-1是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,故选项C中的命题为真命题;
当a=b=2时,lg(a+b)=lg a+lg b=lg 4,故选项D中的命题是假命题.故选D.
【答案】D
10.(2017山东平阴一中期中)下列说法正确的是( ).
A.若a∈R,则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件
B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
C.若命题p是“∀x∈R,sin x+cos x≤2”,则?p是真命题
D.命题“∃x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3>0”
【解析】若“1a<1”成立,则“a>1”或“a<0”,故“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件,故A正确.
若p∧q为真命题,则p,q均为真命题,即“p∨q为真命题”成立;
若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,即“p∧q为真命题”不一定成立.
综上所述,“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件,故B错误.
因为∀x∈R,sin x+cos x=2sinx+π4≤2,所以命题p是真命题,则?p是假命题,故C错误.
命题“∃x0∈R,使得x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”,故D错误.
【答案】A
11.(2017河南八市重点质检)已知命题p:∀x∈(1,+∞),2x>-x+3,命题q:∃x∈(0,1),lg x+x>0,则下列为真命题的是( ).
A.p∧q B.(?p)∧q
C.p∧(?q) D.(?p)∧(?q)
【解析】作出函数y=2x和y=-x+3的图象(图略),由图可得,∀x∈(1,+∞),2x>-x+3,即p为真命题.作出函数y=lg x和y=-x的图象(图略),由图可得,∃x∈(0,1),lg x+x>0,即q为真命题.故p∧q为真命题,(?p)∧q,p∧(?q),(?p)∧(?q)均为假命题.
【答案】A
12.(2017长沙质检)命题p:对任意x∈R,ax2+ax+1≥0,若?p是真命题,则实数a的取值范围是( ).
A.(0,4] B.[0,4]
C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞)
【解析】命题?p:存在x∈R,ax2+ax+1<0,要使其为真命题,则a<0或a>0,Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4.
【答案】D
13.(2017湖北八校联考)已知命题p:∀x∈R,|1-x|-|x-5|
【答案】(4,+∞)
14.(2017苏北四市联考)已知命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为 .
【解析】由命题p:∃x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,可得m≤-1;由命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2
【答案】(-∞,-2]∪(-1,+∞)
15.(2017六安市霍邱一中月考)已知a>0,命题p:函数y=ax为减函数,命题q:当x∈12,2时,函数f(x)=x+1x>1a恒成立,若p或q为真命题,p且q为假命题,求a的取值范围.
【解析】∵函数y=ax为减函数,∴0
又∵a>0,∴a>12.
∵p或q为真命题,p且q为假命题,
∴p,q中必有一个真命题和一个假命题.
当p真q假时,由0
综上可知,a的取值范围为0,12∪[1,+∞).
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