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2021年高考艺术生数学基础复习 考点49 合情推理与证明（学生版）
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这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点49 合情推理与证明（学生版），共11页。教案主要包含了推理，证明等内容，欢迎下载使用。
一．合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．
②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
二．演绎推理
(1)演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——一般性的原理；
②小前提——特殊对象；
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．
三．直接证明
(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．
(2)一般形式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(本题条件,已知定义,已知公理,已知定理))⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．
(3)综合法
①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．
②推证过程
eq \x(已知条件)⇒…⇒…⇒eq \x(结论)
(4)分析法
①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．
②推证过程
eq \x(结论)⇐…⇐…⇐eq \x(已知条件)
四．间接证明
(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．
(2)反证法的基本步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
考向分析
考向一 推理
【例1】(2021·河南)有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以”，这个推理( )
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的
【举一反三】
1．(2021·河南高二月考(文))已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则( )
A．B．C．D．
2．(2021·全国高三月考(理))某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有( )
A．乙B．甲、乙C．丁D．乙、丁
3．(2021·安徽省泗县第一中学)将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )
A．1915B．1917C．1919D．1921
考向二 证明
【例2】(2020·全国高三专题练习(理))已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习(文))已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
2．(2020·全国高三专题练习(文))已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小．
3．(2020·全国高三专题练习(理))已知a>5，求证：－－.
.
强化练习
1．(2021·河南高二月考(理))请阅读下列材料：若两个正实数，，满足，求证：．
证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．
根据上述证明方法，若个正实数，，，，满足，你能得到的结论是( )
A．B．
C．D．
2．(2021·河南)在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有( )
A．(且)
B．(且)
C．(且)
D．(且)
3．(2021·河南)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线(点法式)方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为( )
A．B．
C．D．
4．(2021·全国=测试)如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在( )号座位上．
A．1B．2C．3D．4
5．(2021·贵溪市实验中学)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的( )
A．庚子年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
6．(2021·全国单元测试)已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )
A．
B．
C．
D．
7．(2020·全国高三专题练习(理))已知，则下列三个数，，( )
A．都不大于-4B．至少有一个不大于-4
C．都不小于-4D．至少有一个不小于-4
8．(2020·全国高三专题练习(理))用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于B．假设三内角都大于
C．假设三内角至少有一个大于D．假设三内角至多有两个大于
9．(2020·全国高三专题练习)命题“对于任意角θ，”的证明：“”，
其过程应用了
A．分析法B．综合法
C．综合法、分析法综合使用D．间接证法
10(多选)．(2021·河北邯郸市·高三一模)新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容( )
A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食
11．(2021·江苏常州市·高三一模)已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下(为虚数单位)：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.
12．(2021·河南高二月考(理))观察下列不等式：，，，…，可归纳的一个不等式是__________(且)．
13．(2021·河南)甲、乙、丙三位同学是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．
14．(2021·山西高三一模(理))观察下列各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，_________________．
15．(2021·山东日照市·高三一模)为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.
16．(2021·全国=课时练习)观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.
17．(2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模(文))，.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.
18．(2021·全国高三专题练习)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是________.
19．(2020·全国高三专题练习(文))如果，则应满足的条件是__________．
20．(2021·全国高三专题练习)小赵、小钱、小孙、小李每人去、、、四地之一，去的地方各不相同．
小赵说：我去
小钱说：我去或或地；
小孙说：我去地；
小李说：我去地；
①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．(填写你认为正确的序号)
21．(2021·北京高三专题练习)对于正整数集合(，)，如果去掉其中任意一个元素()之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
(Ⅰ)判断集合是否是“和谐集”(不必写过程)；
(Ⅱ)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(Ⅲ)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
22．(2021·全国高三专题练习)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为.求证：a≠0且.
23．(2020·全国高三专题练习(理))已知a＞0，证明：－≥a＋－2.
24．(2020·全国高三专题练习(文))已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．
25(2020·浙江高三专题练习)已知数列满足=且=-()
(1)证明：1()；
(2)设数列的前项和为，证明().
26．(2020·全国高三专题练习)设，用综合法证明：．
27．(2020·全国高三专题练习)用综合法证明：如果，则.
一．合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．
②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
二．演绎推理
(1)演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——一般性的原理；
②小前提——特殊对象；
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．
三．直接证明
(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．
(2)一般形式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(本题条件,已知定义,已知公理,已知定理))⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．
(3)综合法
①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．
②推证过程
eq \x(已知条件)⇒…⇒…⇒eq \x(结论)
(4)分析法
①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．
②推证过程
eq \x(结论)⇐…⇐…⇐eq \x(已知条件)
四．间接证明
(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．
(2)反证法的基本步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
考向分析
考向一 推理
【例1】(2021·河南)有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以”，这个推理( )
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的
【举一反三】
1．(2021·河南高二月考(文))已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则( )
A．B．C．D．
2．(2021·全国高三月考(理))某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有( )
A．乙B．甲、乙C．丁D．乙、丁
3．(2021·安徽省泗县第一中学)将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )
A．1915B．1917C．1919D．1921
考向二 证明
【例2】(2020·全国高三专题练习(理))已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习(文))已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
2．(2020·全国高三专题练习(文))已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小．
3．(2020·全国高三专题练习(理))已知a>5，求证：－－.
.
强化练习
1．(2021·河南高二月考(理))请阅读下列材料：若两个正实数，，满足，求证：．
证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．
根据上述证明方法，若个正实数，，，，满足，你能得到的结论是( )
A．B．
C．D．
2．(2021·河南)在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有( )
A．(且)
B．(且)
C．(且)
D．(且)
3．(2021·河南)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线(点法式)方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为( )
A．B．
C．D．
4．(2021·全国=测试)如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在( )号座位上．
A．1B．2C．3D．4
5．(2021·贵溪市实验中学)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的( )
A．庚子年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年
6．(2021·全国单元测试)已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )
A．
B．
C．
D．
7．(2020·全国高三专题练习(理))已知，则下列三个数，，( )
A．都不大于-4B．至少有一个不大于-4
C．都不小于-4D．至少有一个不小于-4
8．(2020·全国高三专题练习(理))用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于B．假设三内角都大于
C．假设三内角至少有一个大于D．假设三内角至多有两个大于
9．(2020·全国高三专题练习)命题“对于任意角θ，”的证明：“”，
其过程应用了
A．分析法B．综合法
C．综合法、分析法综合使用D．间接证法
10(多选)．(2021·河北邯郸市·高三一模)新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容( )
A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食
11．(2021·江苏常州市·高三一模)已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下(为虚数单位)：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.
12．(2021·河南高二月考(理))观察下列不等式：，，，…，可归纳的一个不等式是__________(且)．
13．(2021·河南)甲、乙、丙三位同学是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．
14．(2021·山西高三一模(理))观察下列各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，_________________．
15．(2021·山东日照市·高三一模)为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.
16．(2021·全国=课时练习)观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.
17．(2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模(文))，.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.
18．(2021·全国高三专题练习)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是________.
19．(2020·全国高三专题练习(文))如果，则应满足的条件是__________．
20．(2021·全国高三专题练习)小赵、小钱、小孙、小李每人去、、、四地之一，去的地方各不相同．
小赵说：我去
小钱说：我去或或地；
小孙说：我去地；
小李说：我去地；
①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．(填写你认为正确的序号)
21．(2021·北京高三专题练习)对于正整数集合(，)，如果去掉其中任意一个元素()之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
(Ⅰ)判断集合是否是“和谐集”(不必写过程)；
(Ⅱ)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(Ⅲ)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
22．(2021·全国高三专题练习)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为.求证：a≠0且.
23．(2020·全国高三专题练习(理))已知a＞0，证明：－≥a＋－2.
24．(2020·全国高三专题练习(文))已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．
25(2020·浙江高三专题练习)已知数列满足=且=-()
(1)证明：1()；
(2)设数列的前项和为，证明().
26．(2020·全国高三专题练习)设，用综合法证明：．
27．(2020·全国高三专题练习)用综合法证明：如果，则.
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