2021年高考艺术生数学基础复习 考点27 空间几何体的外接球（学生版）

考点27  空间几何体的外接球

1.墙角模型

(1)    使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

(2)推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

(2)    秒杀公式：

(4)图示过程

(3)    秒杀公式：

2.汉堡模型

(1)使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

(2)推导过程

第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置

第二步：根据勾股定理可得

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

3.斗笠模型

(1)使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

(2)推导过程

第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h

第二步：在h上取一点作为球心O

第三步：根据勾股定理

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

4.切瓜模型

(1)使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

(2)推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON

第二步：

(3)秒杀公式：

(4)图示过程

考向一  墙角模型

【例1】(2021·平罗中学高三期末)已知长方体的两个底面是边长为的正方形，长方体的一条体对角线与底面成角，则此长方体的外接球表面积为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2020·天津静海区·高三月考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·河南高三月考)已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

3．(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

考向二 汉堡包模型

【例2】(2021·陕西西安市·高三一模)三棱柱中，棱两两垂直，，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为(    )

A．8 B． C． D．

【举一反三】

1．(2021·陕西咸阳市·高三一模)在直三棱柱中，，，若该直三棱柱的外接球表面积为，则此直三棱柱的高为(    )．

A．4 B．3 C． D．

2．(2021·山西吕梁市·高三一模)四面体中，面，，，，则四面体外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

3．(2021·山东德州市·高三期末)如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，O为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球表面积为_________．

考向三 斗笠模型

【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2020·江西吉安市·高三其他模拟)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为(    )

A． B． C． D．

2．(2021·安徽芜湖市·高三期末)已知正四棱锥的体积为，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥外接球的表面积为___________.

3．(2020·秦皇岛市抚宁区第一中学)已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.

考向四 切瓜模型

【例4】(2021·江西高三其他模拟)已知三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，三角形ABC是边长为3的正三角形，三角形BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，CD=2，则此三棱锥外接球的体积等于(    )

A． B． C．16π D．32π

【举一反三】

1．(2020·内蒙古赤峰市·高三月考)已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·四川泸州市·高三一模)已知三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，且平面平面，该三棱锥外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

3．(2021·全国高三专题练习)已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为(    )

A． B． C． D．

1．(2020·江西高三其他模拟(理))在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

2．(2020·四川泸州市·高三一模)已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

3．(2020·四川宜宾市·高三一模)已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为(    )

A．6π B．8π C．12π D．16π

4．(2020·广东广州市·高三月考)在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为(    )

A． B． C． D．

5．(2020·全国高三月考)三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为(    )

A． B． C． D．

6．(2020·江西赣州市·高三)四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为(    )

A． B． C． D．

7．(2021·天津滨海新区·高三月考)直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为(    )

A． B． C． D．

8．(2020·江苏南通市·高三期中)正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

9．(2021·安徽宣城市·高三期末(文))在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是(    )

A． B． C． D．

10．(2020·江苏南京市第二十九中学高三期中)已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是(    )

A． B． C． D．

11．(2021·平凉市庄浪县第一中学高三其他模拟(理))已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(    )

A． B． C． D．

12．(2020·甘肃省民乐县第一中学高三其他模拟(理))在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

13．(2021·固原市第五中学高三期末(理))已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.

14．(2021·安徽池州市·高三期末(理))已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为___________.

15．(2021·吉林四平市·高三期末)已知直三棱柱其外接球的体积为____.

16．(2021·河南郑州市·高三一模)已知是球的内接三棱锥，则球的表面积为_______________________．

17．(2021·石嘴山市第三中学高三月考)在三棱锥中，底面ABC，，则此三棱锥的外接球的表面积为______.

18．(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知三棱锥中，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为__________.

19．(2020·山西高三月考(文))已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．

20．(2020·济南市·山东省实验中学高三月考)在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．