2021年高考艺术生数学基础复习 考点44 双曲线（学生版）

考点44  双曲线

一．双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

二.双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.

三．双曲线的几何性质

四．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．

例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：

Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，

若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

考向一  双曲线的定义

【例1-1】(2021·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左､右焦点分别为､，若点在的右支上，且，则(    )

A．3 B．5 C． D．

【例1-2】．(2020·河北张家口市)已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为(    )

A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线

C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线

【例1-3】．(2021·全国课时练习)已知F1，F2分别为双曲线C：的左､右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.

【举一反三】

1．(2021·上海普陀区)设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则(    )

A．4 B．5 C．8 D．10

2．(2021·上海市)已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是(    )

A．椭圆 B．双曲线 C．一条射线 D．双曲线的右支

3．(2021·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，，，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

4．(2021·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________

考向二  双曲线的标准方程

【例2-1】(2021·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【例2-2】．(2021·全国课时练习)过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是(    )

A． B．

C． D．或

【举一反三】

1．(2021·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；

(2)，，焦点在轴上，求双曲线的标准方程．

2．(2021·浙江)已知曲线，(    )

A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线

C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆

3．(2021·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的(    )

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

考向三 直线与曲线的位置关系

【例3】(2021·全国课时练习)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．

【举一反三】

1．(2021·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？

2．(2021·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有(    )个

A． B． C． D．

3．(2021·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有(    )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

考向四 弦长

【例4】(2020·全国高三专题练习)直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．(2020·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为，，则(    )

A．2 B． C．4 D．

2．(2021·全国高三专题练习)过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝(    )

A．2 B．2

C．3 D．4

考向五 离心率与渐近线

【例5】(2021·浙江湖州市)双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)

【举一反三】

1．(2021·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是___________；离心率为___________.

2．(2021·湖北高三一模)已知分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为___________.

3．(2020·河北张家口市)已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.

1．(2021·甘肃高三一模(文))设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于(    )

A． B． C． D．

2．(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文))点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是(  )

A． B． C． D．

3．(2021·云南高三其他模拟(理))设双曲线：的左､右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则(    )

A． B． C．2 D．

4．(2021·江西赣州市·高三期末(理))已知双曲线的离心率为，则实数的值为(    )

A．1 B． C． D．1或

5．(2021·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是(    )

A． B． C．或 D．

6．(2021·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线，则的取值范围是(    )

A．或 B．

C．或 D．

7．(2021·全国单元测试)焦距为10，且的双曲线的标准方程为(    )

A． B．

C． D．或

8．(2021·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为(    )

A． B．

C． D．

9．(2021·安徽)已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为(     )

A． B．

C． D．

10．(2021·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是(    )

A． B． C． D．

11．(2021·宁夏银川市·银川一中)已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为(    )

A． B． C． D．

12．(2021·全国高三月考(理))已知双曲线的一个顶点坐标为，且该双曲线的离心率是，则(    )

A． B． C． D．

13．(2021·全国高三月考(文))若双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为(    )

A． B．

C． D．

14．(2021·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为(    )

A． B． C． D．

15．(2021·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

16．(2020·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有(    )条．

A．1 B．2 C．3 D．4

17．(多选)(2020·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是(    )

A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆

C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线

18．(多选)(2021·广东东莞市)已知曲线，则下列选项正确的是(    )

A．，曲线表示椭圆

B．，曲线表示椭圆

C．，曲线表示双曲线

D．，曲线表示双曲线

19．(多选)(2021·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率可能为(    )

A． B． C． D．

20．(多选)(2020·武冈市第二中学)已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为(    )

A． B．

C． D．

21．(2021·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为，则(    )

A．的焦点在轴上 B．的虚轴长为2

C．直线与相交的弦长为1 D．的渐近线方程为

22．(2021·广西玉林市)已知双曲线的左､右焦点分别是，，点关于，对称的点分别是，，线段的中点在双曲线的右支上，则___________.

23．(2021·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围___________.

24．(2021·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.

25．(2020·北京人大附中高三月考)若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是__________．

26．(2021·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________．

27．(2021·河南新乡市)过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.

28．(2020·全国课时练习)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.

29．(2020·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.

30．(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_________.

31．(2021·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.

32．(2021·全国课时练习)已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

33．(2021·六安市裕安区新安中学)已知双曲线及直线．

(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．

(2)若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．

34．(2020·福建福州)双曲线C：，过点，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为的中点．

(1)求直线的方程；

(2)求弦的长

35．(2021·全国高三专题练习)过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.

(1)求双曲线的离心率和渐近线；

(2)求的长.