2021年高考艺术生数学基础复习 考点41 直线方程（学生版）

考点41  直线方程

一．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.

(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

二．斜率公式

(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.

 (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　

三．直线方程的五种形式

四．两直线的位置关系

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.

(3)两直线相交

(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．

(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解．

(3)平行⇔方程组无解．

(4)重合⇔方程组有无数个解．

五．三种距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.

(2)点到直线的距离公式

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

(3)两平行直线间的距离公式

两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .　

六．与对称问题相关的四个结论：

(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．

(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．

(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．

(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．

考向一 斜率与倾斜角

【例1】(1)(2020·全国高三(理))直线的倾斜角是    

(2)(旧教材必修2P86练习T3改编)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．

(3)(2021·全国高三月考(理))已知直线的倾斜角为，则      

【举一反三】

1.(2020·浙江衢州市·高三学业考试)直线的倾斜角为(    )

A． B． C． D．

2．(2021·安徽高三月考(理))直线倾斜角为，则的值为(    )

A． B． C． D．

3．(2021·北京高三期末)已知、、三点共线，则的值为(    )

A． B． C． D．

4．(2020·安徽六安市·六安一中高三月考(理))直线的倾斜角是(    )

A． B． C． D．

5．(2020·江苏苏州市·高三月考)在平面直角坐标系中，直线与直线垂直，则直线的倾斜角为(    )

A． B． C． D．

考向二 直线的方程

【例2】(1)(2021·全国课时练习)过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为(    )

A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1

C．y＝x＋2 D．y＝－x－2

(2)．(2021·全国课时练习)在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(    )

A． B．

C． D．

(3)．(2021·云南省)已知直线过点(1，2)，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则直线的方程为(    )

A．            B．

C．或     D．或

【举一反三】

1．(2021·西安市)过点(5，2)，且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线方程是(    )

A． B．或

C． D．或

2．(2021·全国高二课时练习)过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_________.

3．(2021·辽宁营口市)已知直线过点，经过第一象限且在两个坐标轴上的截距相等，则直线的方程为___________.

考向三  直线的位置关系

【例3】(1)(2021·北京海淀区·高三期末)已知直线，点和点，若，则实数的值为(    )

A．1 B． C．2 D．

(2)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)

A．2或   B.或－1

C.   D．－1

【举一反三】

1．(2020·黑龙江哈尔滨市)直线与直线平行，则m等于(    )

A．2 B． C．6 D．

2．(2021·云南省)直线与直线互相垂直，则的值是(    )

A． B． C． D．

3．(2021·重庆)已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为(    )

A． B． C．2 D．4

4(2021·浙江)已知直线，直线，若，则实数______．

考向四 距离

【例4】(1)(2020·南昌模拟)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．

(2)(2021·安徽池州市)若直线与交于点A，且，则___________．

(3)(2020·江苏)两条平行直线与之间的距离为    

【举一反三】

1．(2021·浙江湖州市)点到直线的距离是(    )

A． B． C．1 D．

2．(2021·北京房山区)已知点，则线段的中点坐标为(    )

A． B． C． D．

3．(2021·黑龙江哈尔滨市)直线与直线之间的距离是___________.

4．(2021·广西桂林市)已知点，直线．

(1)求A点到直线l距离；

(2)求过点A且与直线l平行的直线的方程．

考向五 对称

【例5】(1)(2020·全国高三专题练习)点关于点的对称点为(    )

A． B．

C． D．

(2)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　　)

A．(0,4)　　　　　　　　 B．(0,2)

C．(－2,4)  D．(4，－2)

(3)(2021·黑龙江哈尔滨市)直线关于对称的直线方程为(    )

A． B．

C． D．

【举一反三】

1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．

2.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．

3．(2021·浙江)直线关于原点对称的直线方程是(    )

A． B．

C． D．

4．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2,4)  B．(－2，－4)

C．(2,4)  D．(2，－4)

1．(2021·河南平顶山市·高三二模(文))已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为(    )

A．4 B．9 C． D．

2．(2020·全国高三专题练习)直线的倾斜角为(    )

A．30° B．60° C．150° D．120°

3．(2020·宁夏银川市·贺兰县景博中学高三月考(理))若直线的倾斜角为，则的值为(    )

A． B． C． D．

4．(2020·全国高三专题练习(文))直线的倾斜角的取值范围是(    ).

A．B．

C．D．

5．(2021·全国高三专题练习)已知直线，则该直线的倾斜角为(    )

A． B． C． D．

6．(2020·贵溪市实验中学高三月考)在平直角坐标系中，过点和的直线的斜率为(    )

A． B． C．1 D．

15．(2021·舒城育才学校高二期末)直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点(    )

A．(3，1) B．(0，1)

C．(0，0) D．(2，1)

8．(2021·山东德州市)已知直线，平行，则它们之间的距离是(    )

A．1 B．2 C． D．

9．(2021·全国高三其他模拟)已知直线，，则“”是“”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．(2021·合肥市第六中学)已知直线与直线垂直，则(    )

A． B．或 C．或 D．或

11．(2021·河北唐山市)过点和点的直线与直线垂直，则(    )

A． B．4 C． D．2

11．(2021·北京房山区)已知，，则线段中点的坐标为(    )

A． B． C． D．

12．(2021·全国高二课时练习)已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．

13．(2020·江苏期中)若直线与垂直，则直线的交点为__________.

14．(2021·山东济南市=)若直线与直线互相垂直，则实数的值为__________．

15．(2021·山东淄博市)已知直线和直线垂直，则实数___________.

16(2021·江西上饶市)点到直线距离的最大值______.

17．(2020·全国高三专题练习(理))直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

18．(2021·全国高二课时练习)斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．

19．(2021·全国高二课时练习)不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________．

20．(2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期中(理))直线与之间的距离是___________.

21．(2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)在中，A(1，3)，B(2，-2)，C(-3，1)，则D是线段AC的中点，则中线BD长为_______________；

22．(2021·广东湛江市·高三一模)一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为_______________.

23．(2021·安徽池州市)若直线与平行，则间的距离为_________．

24．(2021·全国课时练习)三角形的三个顶点是，，．

(1)求边上的高所在直线的方程；

(2)求边上的中线所在直线的方程．

25．(2021·全国课时练习)求曲线上的点到直线的最短距离.

26．(2021·东至县第二中学)已知直线经过点.

(1)若原点到直线的距离为2，求直线l的方程；

(2)若直线被两条相交直线：和：所截得的线段恰被点平分，求直线的方程.