勾股定理（一）

一、【知识精要】

1.勾股定理：

（1）.定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

（2）.表示方法：△ABC中，∠C=900，那么a2+b2=c2；

（3）.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”形式的勾股定理.后来，人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

2.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间存在的数量关系，它只直接适用于直角三角形；但可通过构造直角三角形运用勾股定理；

3.勾股定理的作用：直角三角形中，已知两边求第三边；直角三角形中，已知一边和另两边的关系，求另两边；用来证明线段的平方关系。

4．勾股定理是反映直角三角形三边长度平方关系的定量定理。

二、【学习新知】

1．问题情境，探索新知：由三角形全等的判定定理我们知道，当一个三角形的两边及其夹角已知时，第三边就是确定的，若已知两边的夹角为特殊角直角时，第三边长和已知两边有什么关系呢？从特殊的图形开始探索，用三角板画直角边分别为3、4和5、12的两个三角形，量一量第三边的长，直角三角形中，两直角边和斜边长有什么关系？

2．勾股定理及其证明：

勾股定理的证明方法多达四百多种，其中最简单的是面积方法，我国古代的赵爽用勾股玄方图给出了多种证法。这种证法的实质是将大正方形CDEF的面积用两种方式表示，从而得一个面积等式，推出结论。面积法是处理几何问题的重要方法。三国时期的数学家的赵爽弦图的证法：如图：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

3.勾股定理的运用：

三、【例题赏析】

例1．如图1－1，在钝角ΔABC中，CB＝9，AB＝17，AC＝10，于D，求AD的长；

例2. (1)如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

(2)我国古代有这样一道数学题:有一棵枯树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶（如图），请问这根藤条有多长？（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱底面周长为3尺，1丈=10尺）；

例3.如图，已知∠C=∠ABD=900，AC=BC，∠DAB=300，BD=2，求;

例4.已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求：（1）EC的长；（2）求△FEC的面积；

例5.(1).在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高;

(2).农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD（如图13），他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积；

例6. 如图所示，在中,,且,,求的长；

例7.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．

（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．

①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；

（2）如图2，若，请说明点P必在对角线AC上；