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    江苏省徐州市2021届高三数学4月第三次调研试题(Word版附答案)
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    江苏省徐州市2021届高三数学4月第三次调研试题(Word版附答案)

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    这是一份江苏省徐州市2021届高三数学4月第三次调研试题(Word版附答案),共17页。试卷主要包含了单项选择题, 多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
    1.已知全集U,集合M,N是U的子集.且MN,则下列结论中一定正确的是
    A.(M)(N)=U B.M(N)=
    C.M(N)=U D.(M)N=
    2.清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为
    A. B. C. D.
    3.已知,是复数,下列结论错误的是
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则 D.若,则
    4.函数(x[,0)(0,])的大致图象为

    A B C D
    5.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法不正确的是
    A.小寒比大寒的晷长长一尺
    B.春分和秋分两个节气的晷长相同
    C.小雪的晷长为一丈五寸
    D.立春的晷长比立秋的晷长长
    6.某圆锥母线长为2,底面半径为,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
    A.2 B. C. D.1
    7.抛物线C:的焦点为F,P是其上一动点,点M(1,1),直线l与抛物线C相交于A,B两点,下列结论正确的是
    A.的最小值是2
    B.动点P到点H(3,0)的距离最小值为3
    C.存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y﹣3=0对称
    D.与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点,则点N在抛物线C的准线上
    8.已知函数是定义在区间(0,)上的可导函数,满足且(为函数的导函数),若且,则下列不等式一定成立的是
    A. B.
    C. D.
    二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
    9.设正实数a,b满足a+b=1,则
    A. B.
    C. D.
    10.已知,则
    A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中所有奇次项系数和为
    C.展开式中所有偶次项系数和为 D.
    11.半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则
    A.BF⊥平面EAB
    B.该二十四等边体的体积为
    C.该二十四等边体外接球的表面积为
    D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为
    12.已知函数,其中e是自然对数的底数,下列说法中,正确的是
    A.在(0,)是增函数
    B.是奇函数
    C.在(0,)上有两个极值点
    D.设,则满足的正整数n的最小值是2
    三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
    13.由图,在平面四边形ABCD中,已知AD=3,BC=4,E,F为AB,CD的中点,P,Q为对角线AC,BD的中点,则的值为 .
    14.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,星星就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍.(结果精确到0.01,当较小时,)
    15.已知双曲线E:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P,且AP的长为4,则a的值为 .
    16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生 表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记=,k=0,1,2,…,n.在研究的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,当k取(n+1)p的整数部分,则是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为 的概率最大.
    四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)
    设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且,.
    (1)求sin(A+C)和边长a;
    (2)当取最小值时,求△ABC的面积.
    18.(本小题满分12分)
    数列中,且(n),其中为的前n项和.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:(n).
    19.(本小题满分12分)
    在如图所示的圆柱O1O2中,AB为圆O1的直径,C,D是的两个三等分点,EA,FC,GB都是圆柱O1O2的母线.
    (1)求证:FO1∥平面ADE;
    (2)若BC=FC=2,求二面角B—AF—C的余弦值.
    20.(本小题满分12分)
    某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成,各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统中有超过一半的电子元件正常工作,则系统G可以正常工作,否则就需维修.
    (1)当n=2,时,若该电子产品由3个系统G组成,每个系统的维修所需费用为500元,设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用,求的分布列与数学期望;
    (2)为提高系统G正常工作的概率,在系统内增加两个功能完全一样的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则系统C可以正常工作,问p满足什么条件时,可以提高整个系统G的正常工作概率?
    21.(本小题满分12分)
    某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园,如图所示,AB=2千米,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且MN的倾斜角为45°,交OD于G.
    (1)若OE=3千米,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;
    (2)若椭圆的离心率为,当线段OG长为何值时,游乐区域△OMN的面积最大?
    22.(本小题满分12分)
    已知函数(aR).
    (1)讨论函数的极值点的个数;
    (2)已知函数有两个不同的零点,,且<.证明:.
    江苏省徐州市2021届高三第三次调研测试
    数学试题
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
    1.已知全集U,集合M,N是U的子集.且MN,则下列结论中一定正确的是
    A.(M)(N)=U B.M(N)=
    C.M(N)=U D.(M)N=
    答案:B
    解析:本题可以通过画韦恩图的方法进行判断,B正确.
    2.清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为
    A. B. C. D.
    答案:D
    解析:设高二年级3人相邻为事件A,高一年级2人不相邻为事件B,

    3.已知,是复数,下列结论错误的是
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则 D.若,则
    答案:D
    解析:取,,则,,故D错误.
    4.函数(x[,0)(0,])的大致图象为

    A B C D
    答案:A
    解析:首先判断该函数是偶函数,排除B、D,当x(0,],,排除C,故选A.
    5.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法不正确的是
    A.小寒比大寒的晷长长一尺
    B.春分和秋分两个节气的晷长相同
    C.小雪的晷长为一丈五寸
    D.立春的晷长比立秋的晷长长
    答案:C
    解析:小雪的晷长为一丈一尺五寸,故C错误.
    6.某圆锥母线长为2,底面半径为,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
    A.2 B. C. D.1
    答案:A
    解析:取截面为△SMN,P为MN的中点,设OP=x(0<x≤,SB=2,OB=,所以SO=1,SP=,MN=,故S△SMN=•MN•SP=••=,所以当x=1时,S△SMN=2,此时的截面面积最大.
    7.抛物线C:的焦点为F,P是其上一动点,点M(1,1),直线l与抛物线C相交于A,B两点,下列结论正确的是
    A.的最小值是2
    B.动点P到点H(3,0)的距离最小值为3
    C.存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y﹣3=0对称
    D.与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点,则点N在抛物线C的准线上
    答案:A
    解析:作PQ⊥直线x=﹣1,垂足为Q,则PM+PF=PM+PQ,当P、Q、M三点共线,且MQ⊥直线x=﹣1时,的最小值是2,故A正确,本题选A.
    8.已知函数是定义在区间(0,)上的可导函数,满足且(为函数的导函数),若且,则下列不等式一定成立的是
    A. B.
    C. D.
    答案:C
    解析:令,则在(0,)上单调递减,
    有,接下来证明,
    即证明,即可判断C正确.
    二、 多项选择题(本大题共4小题,每小题5分, 共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
    9.设正实数a,b满足a+b=1,则
    A. B.
    C. D.
    答案:BD
    解析:,A错误,
    ,C错误,其他选项都正确,选BD.
    10.已知,则
    A.展开式中所有项的二项式系数和为 B.展开式中所有奇次项系数和为
    C.展开式中所有偶次项系数和为 D.
    答案:ACD
    解析:展开式中所有奇次项系数和为,B错误,其他选项都正确,选ACD.
    11.半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若它的所有棱长都为,则
    A.BF⊥平面EAB
    B.该二十四等边体的体积为
    C.该二十四等边体外接球的表面积为
    D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为
    答案:BCD
    解析:BF与AE所成角是60°,故A错,其他选项均正确,选BCD.
    12.已知函数,其中e是自然对数的底数,下列说法中,正确的是
    A.在(0,)是增函数
    B.是奇函数
    C.在(0,)上有两个极值点
    D.设,则满足的正整数n的最小值是2
    答案:ABD
    解析:在(0,)上有一个极值点,故选项C错误,其他选项均正确,选ABD.
    三、填空题(本大题共4小题, 每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
    13.由图,在平面四边形ABCD中,已知AD=3,BC=4,E,F为AB,CD的中点,P,Q为对角线AC,BD的中点,则的值为 .
    答案:
    解析:.
    14.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,星星就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍.(结果精确到0.01,当较小时,)
    答案:1.26
    解析:.
    15.已知双曲线E:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点.若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P,且AP的长为4,则a的值为 .
    答案:2
    解析:,,两式相加得AB+AM﹣BM=4a,所以8=4a,a=2.
    16.在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中,立德中学高三某小组的学生 表现优异,发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量X~B(n,p),记=,k=0,1,2,…,n.在研究的最大值时,小组同学发现:若(n+1)p为正整数,则k=(n+1)p时,,此时这两项概率均为最大值;若(n+1)p为非整数,当k取(n+1)p的整数部分,则是唯一的最大值.以此为理论基础,有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时,记录到此时点数1出现5次,若继续再进行80次投掷试验,则当投掷到第100次时,点数1总共出现的次数为 的概率最大.
    答案:18
    解析:[]=[13.5],取13,13+5=18.
    四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)
    设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且,.
    (1)求sin(A+C)和边长a;
    (2)当取最小值时,求△ABC的面积.
    解:(1)由正弦定理及与得:,
    (R是△ABC的外接圆半径),
    两式相除,得,
    设,
    因为B是△ABC的内角,
    ∴,
    将代入,得,

    (2)由(1)及余弦定理知,

    当且仅当时,取得最小值,

    18.(本小题满分12分)
    数列中,且(n),其中为的前n项和.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:(n).
    解:(1)由,取,有,得,
    当时,,
    两式相减得,
    即,

    两式再相减得,
    即,
    为等差数列,又,
    则;
    (2)要证,
    即证,


    故(n).
    19.(本小题满分12分)
    在如图所示的圆柱O1O2中,AB为圆O1的直径,C,D是的两个三等分点,EA,FC,GB都是圆柱O1O2的母线.
    (1)求证:FO1∥平面ADE;
    (2)若BC=FC=2,求二面角B—AF—C的余弦值.
    解:(1)证明:连接,因为EA,FC,都是圆柱的母线,
    所以,
    因为C,D是的两个三等分点,AB为圆的直径,
    所以,
    又因为,,所以平面平面,
    又因为平面,所以平面ADE;
    (2)连接AC,因为AB为圆的直径,所以AC⊥BC,
    又因为CF⊥平面ABC,所以CF⊥CB,CF⊥AC,
    所以CA、CB、CF两两垂直,
    建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得各点坐标如下:


    设平面ABF的法向量为,
    ,令x=1,则,
    平面ACF的法向量为,
    所以二面角B—AF—C的余弦值为.
    20.(本小题满分12分)
    某电子公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成,各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统中有超过一半的电子元件正常工作,则系统G可以正常工作,否则就需维修.
    (1)当n=2,时,若该电子产品由3个系统G组成,每个系统的维修所需费用为500元,设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用,求的分布列与数学期望;
    (2)为提高系统G正常工作的概率,在系统内增加两个功能完全一样的电子元件,每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则系统C可以正常工作,问p满足什么条件时,可以提高整个系统G的正常工作概率?
    解:(1)当时,一个系统有3个电子元件,则一个系统需要维修的概率为,
    设X为该电子产品需要维修的系统个数,则,

    ∴的分布列为:

    (2)记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为,2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率为,
    因此系统工常工作的概率,
    在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k+1个元件组成的系统,则新系统正常工作可分为下列情形:
    a原系统中至少有k+1个元件正常工作,概率为;
    b原系统中恰有k个元件正常工作,且新增的两个元件至少有1个正常工作,概率为;
    c原系统中恰有k﹣1个元件正常工作,且新增的两个元件均正常工作,
    概率为,
    故当时,单调增加,增加两个元件后,能提高系统的可靠性.
    21.(本小题满分12分)
    某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园,如图所示,AB=2千米,O为AB的中点,OD为椭圆的长半轴,在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN,其中M,N在椭圆上,且MN的倾斜角为45°,交OD于G.
    (1)若OE=3千米,为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;
    (2)若椭圆的离心率为,当线段OG长为何值时,游乐区域△OMN的面积最大?
    解:(1)以O为坐标原点,以OD所在的直线为x轴,以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意A(0,1),E(3,0),由∠OEF=30°,
    所以, 所以,
    所以直线EF的方程为:,
    设,则,所以椭圆,当a最大时直线EF与椭圆相切,
    整理可得:,
    ,解得舍)
    所以椭圆的长半轴长为;
    (2)因为,
    所以,
    所以椭圆的方程为:;
    设,则,直线MN的方程为:,
    联立,整理可得:,
    设则,


    要保证MN与半椭圆有交点,当N位于B时,
    所以,当,即,
    有最大值为1,
    综上所述,当时,△OMN的面积最大.
    22.(本小题满分12分)
    已知函数(aR).
    (1)讨论函数的极值点的个数;
    (2)已知函数有两个不同的零点,,且<.证明:.
    解:(1)函数,故的定义域为,则
    ,令,则,
    当时,,则单调递增,
    当时,,则单调递减,
    所以当时,取得最大值,
    当时,,则,所以在上单调递减,此时无极值点;
    当时,,因为,,
    所以在上有且只有一个零点,
    所以在上有且只有一个极值点,

    所以在上有且只有一个零点,
    所以在上有且只有一个极值点.
    综上所述,当时,无极值点;当时,有2个极值点.
    (2)证明:函数,
    则,
    当时,,则单调递减,
    当1时,,则单调递增,
    所以当时,取得最小值,
    因为函数有两个不同的零点且
    所以,即所以
    又,
    令则
    令则
    所以单调递增,所以,
    所以,所以单调递增,
    所以,
    所以,所以,
    令,则,
    当时,,则单调递增,
    当1时,,则单调递减,
    所以当时,取到最大值为,
    所以,即,
    所以,
    令,则,所以,
    所以
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