江苏省宿迁2020届高三第三次调研考试（6月） 数学 Word版含答案练习题

2020届高三模拟考试试卷

数　　学  

(满分160分，考试时间120分钟)

2020．6

参考公式：

柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．

锥体的体积公式：V锥体＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝________．

2. 设复数z满足(3－i)z＝，其中i为虚数单位，则z的模是________．

3. 如图是一个算法流程图，则输出k的值是________．

4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3.为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是________．

5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是________．

6. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线－＝1(a＞0)的左准线，则实数a的值是________．

7. 已知cos(α＋β)＝，sin β＝，α，β均为锐角，则sin α的值是________．

8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的(如图)．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是________．

9. 已知x＞1，y＞1，xy＝10，则＋的最小值是________．

10. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn.若4S2，S4，－2S3成等差数列，且a2＋a3＝2，则a6的值是________．

11. 海伦(Heron，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝.若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是________．

12. 如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE＝CF.若＝2，且DE＝，则·的值是________．

13. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是________．

14. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(2，－6)作直线交圆O：x2＋y2＝16于A，B两点， C(x0，y0)为弦AB的中点，则的取值范围是________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝.

(1) 求cos C的值；

(2) 若A＝C，求sin B的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，点D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：

(1) 平面ACD⊥平面BCC1B1；

(2) B1E∥平面ACD.

17. (本小题满分14分)

某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1 cm，2 cm的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧 所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ.

(1) 当θ＝时，求S2－S1的值；

(2) 经研究发现当S2－S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的值．[求导参考公式：(sin 2x)′＝2cos 2x，(cos 2x)′＝－2sin 2x]

18. (本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 当直线MN的斜率为 时，求F1M＋F1N的值；

(3) 若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t，0)，求实数t的取值范围．

19. (本小题满分16分)

已知{an}是各项均为正数的无穷数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋k(n∈N*)，其中常数k 为正整数．

(1) 设数列{an}前n项的积Tn＝2，当k＝2时，求数列{bn}的通项公式；

(2) 若{an}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2－b1＝4，求数列的前2 020 项的和；

(3) 若{bn}是等比数列，且对于任意的n∈N*，an·an＋2k＝a，其中k≥2，试问：{an}是等比数列吗？请证明你的结论．

20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝，g(x)＝，其中e是自然对数的底数．

(1) 若函数f(x)的极大值为，求实数a的值；

(2) 当a＝e时，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；

(3) 设函数h(x)＝g(x)－f(x)，若h(x)＞0对任意的x∈(0，1)恒成立，求实数a的取值范围．

2020届高三模拟考试试卷

数学附加题

(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. (选修42：矩阵与变换)

已知m∈R，α＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M－1.

B. (选修44：坐标系与参数方程)

在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2rsin θ(r＞0)．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．

C. (选修45：不等式选讲)

已知x＞1，y＞1，且x＋y＝4，求证：＋≥8.

【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同．开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙(其中有且只有1把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．

(1)  设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)；

(2) 求恰好成功打开4扇门的概率．

23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点．当AB⊥x轴时，EA＝2.

(1) 求抛物线的方程；

(2) 设△EAB的面积为S1，△EMN的面积为S2，求 的取值范围．

2020届高三模拟考试试卷(南通、扬州、泰州等七市)

数学参考答案及评分标准

1. {－1，0，1，2}　2. 1　3. 5　4. 55　5. 　6. 　7. 　8. 　9. 9　10. －32　11.

12. －　13. (27，＋∞)　14. [，)

15. 解：(1) 在△ABC中，因为＝，

所以由正弦定理＝＝，得5(b＋c)(c－b)＝a(5a－8b)，

即a2＋b2－c2＝ab，(4分)

所以由余弦定理得cos C＝＝.(7分)

(2) 因为cos C＝，C∈(0，π)，所以sin C＝＝，(9分)

所以sin 2C＝2sin Ccos C＝.(12分)

因为A＝C，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin 2C＝.(14分)

注：(1) 正弦定理与＝＝，写一个不扣分，两者都不写，扣2分；余弦定理同样；

(2) 只要有sin B＝sin(A＋C)，就不扣分，否则扣2分．

16. 证明：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC.(2分)

因为AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BCC1B1，

所以AC⊥平面BCC1B1.(4分)

因为AC⊂平面ACD，

所以平面ACD⊥平面BCC1B1.(6分)

(2) (证法1)取AC的中点F，连结DF，EF.

因为在△ABC中，点E是BC的中点，点F是AC的中点，

所以EF∥AB，且EF＝AB.(8分)

因为点D是A1B1的中点，所以B1D＝A1B1.

因为在棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，且AB＝A1B1，

所以EF∥DB1，且EF＝DB1，(10分)

所以四边形EFDB1是平行四边形，所以B1E∥FD.(12分)

因为B1E⊄平面ADC，FD⊂平面ADC，

所以B1E∥平面ACD.(14分)

(证法2)取AB的中点G，连结EG，B1G.

因为在△ABC中，点E是BC的中点，点G是AB的中点，

所以EG∥AC.

因为GE⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，

所以EG∥平面ACD.(8分)

在棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，且AB＝A1B1.

因为点D是A1B1的中点，点G是AB的中点，

所以AG∥DB1，且AG＝DB1，

所以四边形AGB1D是平行四边形，所以B1G∥AD.

因为B1G⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，

所以B1G∥平面ACD.(10分)

因为EG∥平面ACD，BG，GE⊂平面B1GE，B1G∩GE＝G，

所以平面B1GE∥平面ACD.(12分)

因为B1E⊂平面B1GE，

所以B1E∥平面ACD.(14分)

注：少一个条件2分全扣；(1)中没有“在直三棱柱ABCA1B1C1中”全扣．

17. 解：过点O作OD⊥BC于点D，则点D为BC的中点．

又△ABC为等腰三角形，所以A，O，D三点共线，

所以∠AOB＝∠AOC＝π－θ.

所以S1＝×2θ×12－×12×sin 2θ＝θ－sin 2θ，(2分)

S2＝2××1×2sin(π－θ)＝2sin θ，θ∈(0，)．(4分)

注：只要有S1结果的就给2分；同样，只要有S2结果的就给2分．

(1) 当θ＝时，S2－S1＝2sin θ－(θ－sin 2θ)＝2sin －(－sin )＝－.

答：当θ＝时，S2－S1的值为(－)cm2.(6分)

(2) 设f(θ)＝S2－S1＝2sin θ－θ＋sin 2θ，θ∈(0，)，

所以f′(θ)＝2cos θ－1＋cos 2θ＝2(cos2θ＋cos θ－1)．(8分)

令f′(θ)＝0，得cos θ＝，cos θ＝(舍去)，

记cos θ0＝，0<θ0<.(10分)

所以当cos θ0＝时，f(θ)取得最大值，此时S2－S1的值最大．

答：当纪念章最美观时，cos θ＝.(14分)

注：一个答案1分，写成“所以”不扣分；答案中没有单位cm2的，扣1分．

18. 解：(1) 设椭圆的焦距2c，由解得a2＝6，b2＝2，c2＝4.

所以椭圆的标准方程为 ＋＝1.(3分)

(2) 因为直线MN的斜率为，且过点F2(2，0)，所以直线MN的方程为y＝(x－2)．

由得8x2－30x＋27＝0，解得x＝，x＝.

所以M(，－)，N(，)，

所以MN＝＝.(6分)

因为(MF1＋MF2)＋(NF1＋NF2)＝MF1＋NF＋MN＝4，

所以MF1＋NF1＝.(8分)

(3) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

又P(t，0)，t>2，所以＝(x1－t，y1)，＝(x2－t，y2)．

因为点P在以MN为直径的圆上，所以⊥，

所以·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝0，

所以x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝0.(10分)

①当直线MN倾斜角为0时，N(－，0)，M(，0)，所以t＝.

②当直线MN倾斜角不为0时，设直线MN的方程为x＝my＋2.

由消去x，得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，

所以

所以x1x2＝(my1＋2)(my2＋2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4，

x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4.(12分)

所以(m2＋1)y1y2＋(2m－tm)(y1＋y2)＋4－4t＋t2＝0，

所以m2＝－≥0，(14分)

解得<t≤2＋或－<t≤2－(舍去)．

综合①②得，实数t的取值范围是[，2＋]．(16分)

19. 解：(1) n≥2时，an＝＝2n－1，

n＝1时，a1＝T1＝1，符合上式(没有验证的，扣1分)，(2分)

所以an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝anan＋2＝4n，

所以数列{bn}的通项公式为bn＝4n.(3分)

(2)  因为b1＝a1·a1＋k＝1＋kd，b2＝a2·a2＋k＝(1＋d)[1＋(k＋1)d]，b2－b1＝4，

所以4＝b2－b1＝(k＋1)d2＋2d＝d[(k＋1)d＋2]．

因为k∈N*，d≥0，且d∈Z，所以d<(k＋1)d＋2，

所以d＝1，所以4－2×1＝(k＋1)×12，则k＝1.(7分)

(只要出现d＝1，k＝1，就各得2分)

从而an＝n，bn＝anan＋1＝n(n＋1)，所以＝－，

所以＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.(9分)

(3) 设等比数列{bn}的公比为q，显然q>0.

由bn＝an·an＋k　①，bn＋k＝an＋k·an＋2k　②，

②÷①得＝＝qk.

因为an·an＋2k＝a，所以＝，即()2＝qk，所以＝q(正常数)．(12分)

由bn＝an·an＋k　③，bn＋1＝an＋1·an＋k＋1　④，

④÷③得＝·＝q　(*)．(14分)

因为＝q，所以＝，将＝代入(*)式，得()2＝q，

即＝q(正常数)，所以{an}为公比为q的等比数列．(16分)

20. 解：(1) 因为f(x)＝，则f′(x)＝，(1分)

令f′(x)＝0，得x＝e.因为a>0，列表如下：

所以f(x)极大值＝f(e)＝＝，所以a＝1.(3分)

(2) 当a＝e时，f(x)＝，则f′(x)＝，g(x)＝，则g′(x)＝.

曲线y＝f(x)与y＝g(x)在x＝x0处的切线互相垂直，

所以f′(x0)·g′(x0)＝－1，即·＝－1，(5分)

整理得x0ex0＋eln x0－e＝0.

设r(x)＝xex＋eln x－e，则r′(x)＝(x＋1)ex＋.

因为x>0，所以r′(x)>0，

所以r(x)＝xex＋eln x－e在(0，＋∞)上单调递增．(7分)

因为r(1)＝0，且r(x0)＝0，所以x0＝1.(8分)

(3) h(x)＝－，设m(x)＝ex－ex，则m′(x)＝ex－e.令m′(x)＝0，得x＝1.

列表如下：

所以m(x)最小值＝m(1)＝0.

所以ex≥ex，所以ln ex≥ln ex，即x≥1＋ln x，即ln x≤x－1.(10分)

注：主要出现上面一行内容，就给2分．

① a≥时，ln a≥－1.因为0<x<1，所以ln x<0.

h′(x)＝－≤－

≤－≤－＝<0，

所以h(x)在(0，1)上单调递减，所以h(x)>h(1)＝≥0.(14分)

②当0<a<时，h(1)＝<0，ln a<0，ea>1，

所以h(a)＝－ln a＝＋>>0.

又h(x)在(0，1)上图象不间断，所以存在t∈(0，1)，使h(t)＝0，不合题意．

综上，a的取值范围是[，＋∞)．(16分)

2020届高三模拟考试试卷(二十)(南通、扬州、泰州等七市)

数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：设α＝是矩阵M＝的一个特征向量，

所以存在非零实数λ，使得Mα＝λα，

所以＝λ，即解得，则M＝.(5分)

设M－1＝，则MM－1＝E，即＝，所以

解得a＝－，b＝，c＝，d＝－，所以M－1＝.(10分)

B. 解：将直线l的参数方程为(t为参数)化为普通方程为x－y－2＝0.(3分)

由ρ＝2rsin θ(r>0)，得ρ2＝2rρsin θ，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－r)2＝r2.(6分)

因为直线l与圆C恒有公共点，所以≤r，解得r≥2.

所以实数r的取值范围是[2，＋∞)．(10分)

C. 证明：因为x>1，y>1，且x＋y＝4，由柯西不等式得

(＋)[(x－1)＋(y－1)]≥(·＋·)2＝(x＋y)2＝16，(8分)

即(＋)×2≥16，所以＋≥8.(10分)

22. 解：(1) X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝，

P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，

P(X＝4)＝×××＋×××＝，(每个1分)

所以X的分布列为

所以随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝3.(5分)

(2) (解法1)记成功打开1扇门的事件为A，

则P(A)＝＋＋＋×××＝.(8分)

记恰好成功打开4扇门的事件为B，

则P(B)＝C()4()＝.

答：恰好成功打开4扇门的概率为.(10分)

(解法2)记成功打开1扇门的事件为A，则P(A)＝1－×××＝.(8分)

记恰好成功打开4扇门的事件为B，则P(B)＝C()4()＝.

答：恰好成功打开4扇门的概率为.(答案不写扣1分)(10分)

23. 解：(1) 当AB⊥x轴时，AF＝p，EF＝p，

所以EA＝p＝2，即p＝，所以抛物线的方程为y2＝2x.(2分)

(2) 设直线AB的方程为x＝my＋，由得y2－2my－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，

则直线AE的方程为y＝(x＋)．

令x＝0，得yM＝＝，同理yN＝＝，(4分)

所以|yM－yN|＝＝，(6分)

其中m2y1y2＋m(y1＋y2)＋2＝|－2m2＋4m2＋2|＝2m2＋2，

则 ＝＝4m2＋4≥4，因此的取值范围是[4，＋∞)．(10分)