江苏省徐州市2021届高三下学期4月第三次调研测试数学试题 Word版含答案

这是一份江苏省徐州市2021届高三下学期4月第三次调研测试数学试题 Word版含答案，共23页。试卷主要包含了单项选择题， 多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U，集合M，N是U的子集．且MN，则下列结论中一定正确的是
A．(M)(N)＝U B．M(N)＝
C．M(N)＝U D．(M)N＝
2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为
A． B． C． D．
3．已知，是复数，下列结论错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．函数(x[，0)(0，])的大致图象为

A B C D
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
A．2 B． C． D．1
7．抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点M(1，1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是
A．的最小值是2
B．动点P到点H(3，0)的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y﹣3＝0对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
8．已知函数是定义在区间(0，)上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设正实数a，b满足a＋b＝1，则
A． B．
C． D．
10．已知，则
A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为 D．
11．半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则
A．BF⊥平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
12．已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是
A．在(0，)是增函数
B．是奇函数
C．在(0，)上有两个极值点
D．设，则满足的正整数n的最小值是2
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．由图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 ．
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为(k＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍．（结果精确到0.01，当较小时，）
15．已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P，且AP的长为4，则a的值为 ．
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生 表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X~B(n，p)，记＝，k＝0，1，2，…，n．在研究的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，．
（1）求sin(A＋C)和边长a；
（2）当取最小值时，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
数列中，且(n)，其中为的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）证明：(n)．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．
（1）求证：FO1∥平面ADE；
（2）若BC＝FC＝2，求二面角B—AF—C的余弦值．
20．（本小题满分12分）
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当n＝2，时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
21．（本小题满分12分）
某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
（1）若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
22．（本小题满分12分）
已知函数(aR)．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，，且＜．证明：．
江苏省徐州市2021届高三第三次调研测试
数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U，集合M，N是U的子集．且MN，则下列结论中一定正确的是
A．(M)(N)＝U B．M(N)＝
C．M(N)＝U D．(M)N＝
答案：B
解析：本题可以通过画韦恩图的方法进行判断，B正确．
2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为
A． B． C． D．
答案：D
解析：设高二年级3人相邻为事件A，高一年级2人不相邻为事件B，
．
3．已知，是复数，下列结论错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答案：D
解析：取，，则，，故D错误．
4．函数(x[，0)(0，])的大致图象为

A B C D
答案：A
解析：首先判断该函数是偶函数，排除B、D，当x(0，]，，排除C，故选A．
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
答案：C
解析：小雪的晷长为一丈一尺五寸，故C错误．
6．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
A．2 B． C． D．1
答案：A
解析：取截面为△SMN，P为MN的中点，设OP＝x(0＜x≤，SB＝2，OB＝，所以SO＝1，SP＝，MN＝，故S△SMN＝•MN•SP＝••＝，所以当x＝1时，S△SMN＝2，此时的截面面积最大．
7．抛物线C：的焦点为F，P是其上一动点，点M(1，1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是
A．的最小值是2
B．动点P到点H(3，0)的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x＋y﹣3＝0对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点，则点N在抛物线C的准线上
答案：A
解析：作PQ⊥直线x＝﹣1，垂足为Q，则PM＋PF＝PM＋PQ，当P、Q、M三点共线，且MQ⊥直线x＝﹣1时，的最小值是2，故A正确，本题选A．
8．已知函数是定义在区间(0，)上的可导函数，满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
答案：C
解析：令，则在(0，)上单调递减，
有，接下来证明，
即证明，即可判断C正确．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．设正实数a，b满足a＋b＝1，则
A． B．
C． D．
答案：BD
解析：，A错误，
，C错误，其他选项都正确，选BD．
10．已知，则
A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中所有奇次项系数和为
C．展开式中所有偶次项系数和为 D．
答案：ACD
解析：展开式中所有奇次项系数和为，B错误，其他选项都正确，选ACD．
11．半正多面体(semiregular slid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则
A．BF⊥平面EAB
B．该二十四等边体的体积为
C．该二十四等边体外接球的表面积为
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为
答案：BCD
解析：BF与AE所成角是60°，故A错，其他选项均正确，选BCD．
12．已知函数，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是
A．在(0，)是增函数
B．是奇函数
C．在(0，)上有两个极值点
D．设，则满足的正整数n的最小值是2
答案：ABD
解析：在(0，)上有一个极值点，故选项C错误，其他选项均正确，选ABD．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．由图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 ．
答案：
解析：．
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为(k＝1，2)．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍．（结果精确到0.01，当较小时，）
答案：1.26
解析：．
15．已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、N、P，且AP的长为4，则a的值为 ．
答案：2
解析：，，两式相加得AB＋AM﹣BM＝4a，所以8＝4a，a＝2．
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生 表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X~B(n，p)，记＝，k＝0，1，2，…，n．在研究的最大值时，小组同学发现：若(n＋1)p为正整数，则k＝(n＋1)p时，，此时这两项概率均为最大值；若(n＋1)p为非整数，当k取(n＋1)p的整数部分，则是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
答案：18
解析：[]＝[13.5]，取13，13＋5＝18．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，．
（1）求sin(A＋C)和边长a；
（2）当取最小值时，求△ABC的面积．
解：（1）由正弦定理及与得：，
（R是△ABC的外接圆半径），
两式相除，得，
设，
因为B是△ABC的内角，
∴，
将代入，得，
；
（2）由（1）及余弦定理知，
∴
当且仅当时，取得最小值，
．
18．（本小题满分12分）
数列中，且(n)，其中为的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）证明：(n)．
解：（1）由，取，有，得，
当时，，
两式相减得，
即，
，
两式再相减得，
即，
为等差数列，又，
则；
（2）要证，
即证，
，

故(n)．
19．（本小题满分12分）
在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．
（1）求证：FO1∥平面ADE；
（2）若BC＝FC＝2，求二面角B—AF—C的余弦值．
解：（1）证明：连接，因为EA，FC，都是圆柱的母线，
所以，
因为C，D是的两个三等分点，AB为圆的直径，
所以，
又因为，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面ADE；
（2）连接AC，因为AB为圆的直径，所以AC⊥BC，
又因为CF⊥平面ABC，所以CF⊥CB，CF⊥AC，
所以CA、CB、CF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
，
，
设平面ABF的法向量为，
，令x＝1，则，
平面ACF的法向量为，
所以二面角B—AF—C的余弦值为．
20．（本小题满分12分）
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当n＝2，时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
解：（1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，
设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，
，
∴的分布列为：
；
（2）记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为，2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率为，
因此系统工常工作的概率，
在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k＋1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
a原系统中至少有k＋1个元件正常工作，概率为；
b原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；
c原系统中恰有k﹣1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为，
故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
21．（本小题满分12分）
某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
（1）若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
解：（1）以O为坐标原点，以OD所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意A(0，1)，E(3，0)，由∠OEF＝30°，
所以， 所以，
所以直线EF的方程为：，
设，则，所以椭圆，当a最大时直线EF与椭圆相切，
整理可得：，
，解得舍)
所以椭圆的长半轴长为；
（2）因为，
所以，
所以椭圆的方程为：；
设，则，直线MN的方程为：，
联立，整理可得：，
设则，

，
要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时，
所以，当，即，
有最大值为1，
综上所述，当时，△OMN的面积最大．
22．（本小题满分12分）
已知函数(aR)．
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，，且＜．证明：．
解：（1）函数，故的定义域为，则
，令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
当时，，则，所以在上单调递减，此时无极值点；
当时，，因为，，
所以在上有且只有一个零点，
所以在上有且只有一个极值点，
又
所以在上有且只有一个零点，
所以在上有且只有一个极值点．
综上所述，当时，无极值点；当时，有2个极值点．
（2）证明：函数，
则，
当时，，则单调递减，
当1时，，则单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为函数有两个不同的零点且
所以，即所以
又，
令则
令则
所以单调递增，所以，
所以，所以单调递增，
所以，
所以，所以，
令，则，
当时，，则单调递增，
当1时，，则单调递减，
所以当时，取到最大值为，
所以，即，
所以，
令，则，所以，
所以