2021年高考艺术生数学基础复习 考点12 基本不等式（教师版含解析）

考点12  基本不等式

一．基本不等式公式

二．几个重要结论

(1)≥2

(2)＋≥2(ab>0)．

(3)≤≤ (a>0，b>0)

三．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

考向一 公式的直接运用

【例1(2020·辽宁高三期中)已知，那么的最小值是(    )

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】根据题意，，则，当且仅当时等号成立，即的最小值是4；

故选：C.

【举一反三】

1．(2020·河北高三月考)已知正数，满足，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】因为.当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为12，故答案为：12

2．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为       。

【答案】9

【解析】因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．

3．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋的最小值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

【答案】6

【解析】因为a>0，所以9a＋≥2  ＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，9a＋取得最小值6.

考向二 配凑型

【例2】(1)(2020·全国高三专题练习)当时，则的最大值为(    )

A． B． C． D．

(2)(2020·全国高三专题练习)函数的最小值是(    )

A． B．

C． D．

(3)(2020·四川省阆中东风中学校高三月考)若正数a，b满足，，且，则的最小值为(    )

A．4 B．6 C．9 D．16

(4)(2021·全国高三专题练习)已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(    )

A． B．

C．－1 D．0

【答案】(1)D(2)D(3)C(4)D

【解析】(1)∵，，，

当，即时等号成立，∴，即最大值为，故选：D.

（2）因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.

(3)由，可得，，

所以

当且仅当，即时等号成立.故选：C

(4)f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.故选：D

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习)设，则函数的最大值为(    )

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，当且仅当，即时，等号成立，即函数的最大值为.故选：D

2．(2020·全国高三专题练习)已知，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

若，则，时等号成立；

若，则，时等号成立

∴的取值范围为，故选：A.

3．若，则取最大值时的值是        。

【答案】

【解析】

，，由基本不等式得，

当且仅当，即，时取等号，

取最大值时的值是．

4．若，都是正数，且，则的最大值为     。

【答案】4

【解析】由题意，可知：

，当且仅当即时取等号；

考向三 条件型

【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)已知，，且，则的最小值为(    )．

A． B． C． D．

(2)(2020·全国高三专题练习)若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是(  )

A． B． C．5 D．6

【答案】(1)B(2)C

【解析】(1)∵，，且，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

∴的最小值为.故选：B．

(2)由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C．

【举一反三】

1．(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知，则的最小值是(    )

A． B．4 C． D．3

【答案】D

【解析】因为，，，

所以，

当且仅当，即，时取等号.故选：D

2．(2020·河北沧州市·高三期中)若，，则的最小值为(    )

A．2 B．6 C．9 D．3

【答案】D

【解析】因为，，所以

．当且仅当，即，时取等号.故选：D.

3．(2020·全国高三专题练习)已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，因为，为正实数，则，

当且仅当，即时取等号.故选：A.

4．(2020·河津中学高三月考)设，为正实数，满足，则目标函数的最小值为(    )

A．4 B．32 C．16 D．0

【答案】C

【解析】由，为正实数，满足，可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故的最小值为为．故选：C

考向四 换元型

【例4】(2020·通榆县第一中学校高三月考)已知正数x，y满足，则的最小值为(    )

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】B

【解析】由题意，得，．

法一：，当且仅当，即，时，的最小值为5．

法二：由，得，则，当且仅当，即，时，的最小值为5．故选：B．

【举一反三】

1．(2021·天津市)已知，则的最小值为(    )

A． B．8 C．9 D．

【答案】C

【解析】由可得，，可得

则

当且仅当，即时取得等号.故选：C

2．(2020·重庆市江津中学校高三期中)已知，，且，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由得，

所以当且仅当，即且时取得等号.

故答案为：

3．若正实数，满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由可得

当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：

考向五 求参数

【例5】(2020·全国高三专题练习)已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为(    )

A．10 B．12 C．16 D．9

【答案】D

【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，

转化成求的最小值，，所以．
故选：D．

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习)若，则恒成立的一个充分条件是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，由基本不等式，

当且仅当即时，取等号，要使得恒成立，则，

所以恒成立的一个充分条件是故选：B

2．(2020·河北高三月考)已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，∴，

∴．

∵，，∴

(当且仅当，即时取等号)，∴．故选：D

3．(2020·江苏淮安市·高三期中)已知x>0，y>0，且x+3y=xy，若t2﹣t≤x+3y恒成立，则实数t的取值范围是___________.

【答案】

【解析】因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，

因为恒成立，即，解得.

所以实数t的取值范围是.

故答案为：.

4．(2020·全国高三专题练习)若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】，，当且仅当，即时等号成立，

.故答案为：.

1．(2020·全国高三专题练习)已知，则的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，

若，，当且仅当，即时取等号；

若，，当且仅当，即时取等号；

∴的取值范围为.故选：A.

2．(2020·福建福州市·高三期中)已知，则的最小值为(    )

A．36 B．16 C．8 D．4

【答案】C

【解析】，，当且仅当时即时等号成立，故的最小值为8.故选：C.

3．(2021·全国高三专题练习)已知点在直线上，则的最小值为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为点在直线上，所以，

因为所以，当且仅当，即时取等号，故选：C

4．(2020·河北张家口市·高三月考)已知，则的最小值是(    )

A．6 B．8 C．4 D．9

【答案】D

【解析】∵∴

则

当且仅当，即时取等号故选:D.

5．(2020·河南郑州市·高三月考)已知正实数，满足，则的最小值为(    )

A．32 B．34 C．36 D．38

【答案】A

【解析】由，且，

得，

当且仅当，即时，取等号，此时，则的最小值为32．故选：A.

6．(2020·全国高三专题练习)已知，，且，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，，∴，

当且仅当，等号成立，所以最小值为，故选：A.

7．(2020·山东菏泽市·高三期中)若正实数，满足，则下列选项中正确的是(    )

A．有最大值 B．有最小值

C．有最小值4 D．有最小值

【答案】C

【解析】当且仅当时等号成立，即，故A错误；

B中，若，有，即最小值不为，错误；

C中，，正确；

D中，若，有，即最小值不为，错误；故选：C

8．(多选)(2020·江苏南通市·高三期中)设正实数，满足，则下列说法正确的是(    )

A．的最小值为4 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ABD

【解析】因为

所以，当且仅当，即时等号成立，故A正确因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故B正确

因为，

所以的最大值为，故C错误因为所以D正确故选：ABD

9．(多选)(2020·福清西山学校高三期中)若，，且，则(    )

A．有最大值64 B．有最小值64

C．有最小值18 D．有最小值16．

【答案】BC

【解析】因为，，所以，即 ，所以，有最小值64，故选项B正确，选项A不正确，

，

所以有最小值18，故选项C正确，选项D 不正确，故选：BC

10．(2020·全国高三专题练习)在中，点是线段上任意一点(不包含端点)，若，则的最小值是(    )

A．4 B．9 C．8 D．13

【答案】B

【解析】

因为点是线段上任意一点(不包含端点)，所以，

则，

因为，所以，，所以．因为，

所以，，则，当且仅当，时，等号成立．

故选：B

11．(2020·全国高三专题练习)已知，，则的最小值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，

，，由基本不等式可得，

且当，即，时等号成立，

因此，的最小值为.

故选：D.

12．(2020·全国高三专题练习)若正实数满足，则的最小值为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由题意，正实数满足，则，

当且仅当时，等号成立，即，

所以，即的最小值为1.故选：A.

13．(2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是___．

【答案】

【解析】，，且，

则，

当且仅当时，上式取得等号，

若恒成立，

则，

解得．

故答案为：

14．(2020·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知正实数、满足，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

故答案为：.

15．(2020·山东日照市·日照一中高三月考)已知，则的最小值为______.

【答案】9

【解析】由得：；

,

(当且仅当，即时取等号)，

的最小值为9.

故答案为:9

16．(2020·江苏镇江市·高三期中)已知，且，则的最小值为________.

【答案】4

【解析】，因为，所以，当且仅当时，取到最小值故答案为：4

17．(2020·广东佛山市·高三月考)已知，且，求的最小值为______.

【答案】

【解析】，且，

(当且仅当，即时取等号)，

.故答案为：.

18．(2020·大荔县大荔中学高三月考)已知正数满足，则的最小值为________.

【答案】25

【解析】正数满足，

，

当且仅当，即时等号成立，

的最小值为25.

故答案为：25.

19．(2020·全国高三专题练习)已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，，即，

所以，，

当且仅当，即，时取等号，

故答案为：.

20．(2020·湖北省鄂州高中高三月考)已知，，且，则的最小值为______.

【答案】

【解析】由，得，

则，当且仅当，时等号成立.

因此，的最小值为.

故答案为：.

21．(2020·福建高三期中)已知向量，若，则的最小值为____．

【答案】8

【解析】由，，所以即，即，且，

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为：

故答案为：.

22．(2020·辽宁葫芦岛市·高三月考)正实数a，b满足3a+2b＝9，则的最小值为________.

【答案】3

【解析】因为3a+2b＝9，所以，当且仅当a＝1，b＝3时取等号.

故答案为：3

23．(2020·全国高三专题练习(理))已知实数，满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】令，，则，

且仅当即时取等号．

故答案为：．

24．(2020·河西区·天津实验中学高三月考)是等腰直角三角形，，，点D满足，点E是BD所在直线上一点.如果，则的最小值__________.

【答案】

【解析】由知，D在边CA的延长线上，且A为CD的中点，

因为点E是BD所在直线上一点，

且，

∴，

∴，

当且仅当时“”成立，

故答案为：.

25．(2020·任丘市第一中学高三月考)已知向量，，若，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】因为，所以，即，整理得：，

又因为，所以，解得：.

所以

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：.

26．(2020·全国高三专题练习)已知，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_________．

【答案】5

【解析】，当且仅当，即时，取等号，

因为不等式对恒成立，

所以对任意实数恒成立，

即对任意实数恒成立，

令，.故答案为：5