2021年高考艺术生数学基础复习 考点10 平面向量线性运算（教师版含解析）

考点10  平面向量的线性运算

一．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(没有方向上的规定)

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量

二．向量的线性运算

(一)加法：求两个向量和的运算

1.三角形法则：首尾连，连首尾

2.平行四边形法则：起点相同连对角

3.运算律

交换律：＋＝＋

结合律：(＋)＋＝＋(＋)

（二）减法

1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减

2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减

(三)数乘：求实数λ与向量的积的运算

1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同；

当λ<0时，λ与的方向相反；

当λ＝0时，λ＝0

2.运算律

(1)λ(μ)＝(λμ)

(2)(λ＋μ)＝λ＋μ

(3)λ(＋)＝λ＋λ

3．向量共线定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ.

4．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

考向一  概念的辨析

【例1】(2020·全国高三专题练习)下列关于向量的叙述不正确的是(    )

A．向量的相反向量是

B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝

D．若向量与满足关系，则与共线

【答案】C

【解析】A选项中，向量的相反向量是，故正确；

B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确；

C选项中，若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则与方向可能相同或相反，故不正确，；

D选项中，若向量与满足关系，则与共线，正确.故选：C.

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习(文))给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③若  (λ为实数)，则λ必为零．

④λ，μ为实数，若，则共线．

其中错误的命题的个数为

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】C

【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．

③错误，当时，不论λ为何值，.

④错误，当λ=μ=0时，，此时，与可以是任意向量．故选C．

2．(2020·全国高三专题练习)给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③(为实数)，则必为零.

④为实数，若，则与共线.

其中正确的命题的个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若(为实数)，则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A．

3．(2020·全国高三专题练习)下列命题中正确的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线

【答案】C

【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；

两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故选：C

考向二 线性运算

【例2-1】(2020·山西高三期中)如图，中，E是AB的中点，点F满足，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故选：A

【例2-2】(2020·武威第六中学高三月考)在中，为的重心，若，则＝______．

【答案】

【解析】如图所示，因为为的重心，则点为的中点，

根据向量的线性运算和三角形重心的性质，

可得：

，

又因为，所以，

所以.

故答案为：.

【举一反三】

1．(2020·河南高三月考)如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得，故选：D．

2．(2020·广东深圳市·明德学校高三月考)在中，点P为中点，点D在上，且，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵点P为中点，∴,

∵，,

∴,

∴=,故选：B.

3．(2021·全国高三专题练习)设分别为的三边的中点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，故选：A

4．(2020·咸阳市高新一中高三月考)在中，为边上的中线，E为的中点，且，则________，_________．

【答案】       

【解析】如下图所示：

为的中点，则，

为的中点，所以，，

因此，，即，.

故答案为：；.

考向三 共线定理

【例3】如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

【答案】　

【解析】注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1，所以m＝.

【举一反三】

1．(2020·湖北高三学业考试)已知，是不共线的两个向量，若，，，则(    )

A．，，三点共线 B．，，三点共线

C．，，三点共线 D．，，三点共线

【答案】D

【解析】由，，

故，所以，，三点共线.故选：D.

2．(2020·河南高三月考)已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

设，

因为点是线段的中点，所以

所以，所以，即①

因为点为线段上靠近的三等分点，所以

所以，因为三点共线，所以②

由①②可解得故选：B

3．(2020·全国高三专题练习)已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】∵A、B、P是直线上三个相异的点，，即，

所以，，

当且仅当，即，时取等号，故答案为：.

1．(多选)(2020·全国高三专题练习)若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是(    )

A．若，则                     B．若，则

C．若，，则               D．若，则

【答案】ACD

【解析】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；

对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；

对应，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，

故的方向相同或相反，故，故正确；

对应，若，则，

，，故正确．故选：

2．(多选)(2020·全国高三专题练习)以下说法正确的是(    )

A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等

C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量

【答案】ABD

【解析】对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；

对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；

对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；

对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，故选：ABD

3．(多选)(2020·威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中)四边形中，，则下列表示正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

对于选项A：，故选项A不正确；

故选项B正确；

，故选项C不正确，

，故选项D正确；

故选：BD

4．(2020·安徽高三月考)在ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且，，若，则m-n=(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，∴，

∴

∴·故选：B

5．(2020·山西吕梁市·高三期中)在中，若点满足，点为的中点，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

.故选：A

6．(2020·天津高三期中)在中，是的中点.若，，则＝(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，，

所以，

因为是的中点，所以，

所以，所以，故选：B

7．(2021·天津市)如图，在四边形中，设，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，在四边形中，设，

根据向量的运算法则，可得.故选：D.

8．(2020·大同市煤矿第四中学校高三)长方体中，为的中点，，，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，

依题意，

故，

则

.

故选：A.

9．(2020·河北衡水市·衡水中学高三月考)已知平行四边形中，，，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图所示，

为，，

所以，又，

.

故选：C.

10．(2020·宁县第二中学高三期中)已知在中，点，分别在边上，，且，，若，则的值为__________.

【答案】

【解析】，

因为，

所以，，所以，

11．(2020·全国高三月考)如图所示，正六边形中，点为线段的中点，若，则______．

【答案】

【解析】依题意，，故．

故答案为：

12．(2020·全国高三专题练习)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.

【答案】

【解析】设，则，

由于

可得， 解得，所以故答案为：

13．(2021·全国高三专题练习)在中，为的中点，为的中点，为的中点，若，则__________．

【答案】.

【解析】因为为的中点，所以，

而，

所以，

所以，故，填．

14．(2021·全国高三专题练习)如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为________．

【答案】.

【解析】因为，所以  

则

根据B,P，N三点共线，,则t=

故答案为 ．

15．(2020·甘肃天水市·高三月考)在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则________.

【答案】

【解析】因为在正方形中，E为CD中点，

所以，

又为，所以，所以，，

所以，

又已知，

根据平面向量基本定理可得，，

所以，

故答案为：

16．(2020·全国高三专题练习)在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．

【答案】－

【解析】因为＝，所以＝(－)，

因为D为OB的中点，所以＝，

所以＝＋＝－＋(＋)

＝－＋＋(－)＝－，

所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.

故答案为：.

17．(2020·陕西渭南市·高三一模)设D为△ABC所在平面内的一点,若,则_____.

【答案】

【解析】如图所示：

，

+3()，

即有=﹣，

因为，

所以λ=﹣，μ=，

则=﹣3，

故答案为：﹣3.