2021年高考艺术生数学基础复习 考点04 复数（教师版含解析）

考点04  复 数

一．复数的有关概念

1.定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数

(1)a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)

(2)易错点：虚部不含i

2.分类

(1)a＋bi为实数⇔b＝0

(2)a＋bi为虚数⇔b≠0

(3)a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)------实部等于实部，虚部等于虚部

4.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)---实部相同，虚部相反数

5.模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

二．复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．

三．复数的运算

1.运算法则：设，则

①加法：；

②减法：；

③乘法：；

④除法：

方法总结：复数问题实际就是实部与虚部问题，所以只考复数只要把复数化简成复数的一般形式，然后代入相应的公式即可。

考向一  复数的计算

【例1】(1)(2020·海南高考真题)=(    )

A． B． C． D．

(2)(2019·全国高考真题(理))若，则(  )

A． B． C． D．

【答案】(1)B(2)D

【解析】故选：B

(2)．故选D．

【举一反三】

1．(2020·全国高考真题(文))(1–i)4=(    )

A．–4 B．4

C．–4i D．4i

【答案】A

【解析】.故选：A.

2．(2019·北京高考真题(理))已知复数z=2+i，则

A． B． C．3 D．5

【答案】D

【解析】∵ 故选D.

3．(2019·全国高考真题(文))设z=i(2+i)，则=

A．1+2i B．–1+2i

C．1–2i D．–1–2i

【答案】D

【解析】，所以，选D．

考向二 复数的实部与虚部

【例2】(2020·全国高考真题(理))复数的虚部是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以复数的虚部为.故选：D.

【举一反三】

 1．(2020·广西高三一模(文))已知i为虚数单位，则复数的虚部是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以其虚部是.故选：A.

2．(2020·全国高三其他模拟)若复数满足，则复数的虚部为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，得，

其虚部为，故选：A.

3．(2020·全国高三其他模拟)已知复数，则的虚部是(    )

A． B． C．1 D．i

【答案】C

【解析】，，其虚部是1.故选：C.

考向三 复数的象限

【例3】(2018·北京高考真题(理))在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.

【举一反三】

1．(2020·北京高考真题)在复平面内，复数对应的点的坐标是，则(    )．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，.故选：B.

2．(2019·全国高考真题(理))设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】由得则对应点(-3，-2)位于第三象限．故选C．

3．(2020·全国高三其他模拟)已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限，故选：C．

考向四 复数的模长

【例4】(2020·全国高考真题(文))若，则(    )

A．0 B．1

C． D．2

【答案】C

【解析】因为，所以．故选：C．

【举一反三】

1．(2019·全国高考真题(文))设，则=

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【解析】因为，所以，所以，故选C．

2．(2020·全国高考真题(理))若z=1+i，则|z2–2z|=(    )

A．0 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】由题意可得：，则.故.故选：D.

3．(2018·全国高考真题(文))设，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，则，故选c.

考向五 复数的分类

【例5】(2020·浙江高考真题)已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=(    )

A．1 B．–1 C．2 D．–2

【答案】C

【解析】因为为实数，所以，故选：C

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习(理))若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，它为纯虚数，则，解得．

故选：D．

2．(2019·江苏高考真题)已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.

【答案】2.

【解析】，令得.

3．(2017·天津高考真题(文))已知，为虚数单位，若为实数，则的值为__________．

【答案】-2

【解析】为实数，

则.

考向六 复数的轨迹

【例6】(2020·寻甸回族彝族自治县民族中学)复数满足，则复数对应点的轨迹是(    )

A．直线 B．正方形 C．圆 D．椭圆

【答案】C

【解析】设，则即为

化简可得：即：

故复数对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆故选：C

【举一反三】

1．(2020·通榆县第一中学校高二期中(文))若点对应的复数满足，则的轨迹是(   )

A．直线 B．线段 C．圆 D．单位圆以及圆内

【答案】D

【解析】设P(a,b),则由可得,所以即P的轨迹是单位圆以及圆内，故选D.

2．(2020·上海高三专题练习)复数满足条件，则实数的取值范围是(    ).

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵满足条件，，即，
平方可得，解得.故选：D.

3．(2019·山西高二期末(文))复数z满足，则复数z在复平面内对应点的轨迹方程是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由复数z在复平面内对应点，且复数z满足，

可得，化简可得：，故选：A.

4．(2020·江苏省如皋中学高三月考)对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】满足的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是，半径为2，

表示点到1对应的点的距离，又，∴，故选：A．

1．(2020·全国高考真题(文))若，则z=(    )

A．1–i B．1+i C．–i D．i

【答案】D

【解析】因为，所以.故选：D

2．(2019·全国高考真题(理))设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】则．故选C．

3．(2018·浙江高考真题)若复数，其中i为虚数单位，则 =

A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i

【答案】B

【解析】，选B.

4．(2018·全国高考真题(理))

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】选D.

5．(2018·全国高考真题(理))

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 故选D.

6．(2018·全国高考真题(文))

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 ，故选D.

7．(2017·全国高考真题(文))复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】，则表示复数的点位于第三象限. 所以选C.

8．(2017·山东高考真题(文))已知i是虚数单位,若复数z满足,则=

A．-2i B．2i C．-2 D．2

【答案】A

【解析】由得,即,所以,故选A.

9(2017高考新课标III，理3)设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

A． B．

C． D．2

【答案】C

【解析】由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.

9．(2020·云南昆明·高三其他模拟)复数，则的共轭复数为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以其共轭复数为.故选：D.

10．(2020·广西高三一模(理))＝(    )

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】D

【解析】∵，，

∴，，

∴，

，

∴，

故选：D.

11．(2020·全国高三其他模拟)若复数满足，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故.故选：C.

12．(2020·全国高三其他模拟)设复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.故选：D

13．(2020·全国高三其他模拟)在复平面内，复数对应的点是，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得，则.故选：A

14．(2020·全国高三其他模拟)若，则(    )

A． B．4 C． D．8

【答案】A

【解析】因为，所以，所以 故选：A

15．(2020·安徽高三其他模拟(文))若，则在复平面内，复数所对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：D．

16．(2020·广东高三其他模拟)已知i是虚数单位，a为实数，且，则a＝(    )

A．2 B．1 C．-2 D．-1

【答案】B

【解析】由，得a＝1.故选：B．

17．(2020·河南高三一模(理))设，复数，若，则(    )

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】D

【解析】，解得.故选：D．

18．(2020·全国高一课时练习)若复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹图形的面积等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得(舍去)，因此复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，其面积为.故选：.

19．(2020·山西高三三模(理))若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，因为在复平面内对应的点在第四象限，所以.故选:C.

20．(2020·全国高三专题练习(文))若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题：，在复平面内所对应的点在第四象限，

所以，解得：，所以.故选：C

21．(2020·天津高考真题)是虚数单位，复数_________．

【答案】

【解析】.故答案为：.

22．(2020·江苏高考真题)已知是虚数单位，则复数的实部是_____.

【答案】3

【解析】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.

23．(2019·天津高考真题(文))是虚数单位，则的值为__________.

【答案】

【解析】．

24．(2019·浙江高考真题)复数(为虚数单位)，则________.

【答案】

【解析】.

25．(2019·上海高考真题)设为虚数单位，，则的值为__________

【答案】

【解析】

【解析】由，得，即本题正确结果：