2021年高考艺术生数学基础复习 考点18 排列组合（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点18 排列组合（教师版含解析），共29页。教案主要包含了排列组合数的计数，排队问题，排数问题，染色问题等内容，欢迎下载使用。

考点18 排列组合
知识理解

一．计数原理
(一)分类加法计数原理
1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2.特征
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
(二)分步乘法计数原理
1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2.特征
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏
二．排列、组合
(一)排列组合定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
(二)排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝＝
性质
A＝n！，0！＝1
C＝1，C＝C，C＋C＝C
考向分析
考向一 排列组合数的计数
【例1】(1)(2020·全国高三专题练习)若，则的值为( )
A．60 B．70 C．120 D．140
(2)(2020·全国高三专题练习)已知，则( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】(1)D(2)B
【解析】(1)，解得或(舍去)，
.故选：D.
(2)∵，∴，整理，得，；
解得，或 (不合题意，舍去)；∴的值为12.故选：B.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)已知，则( )
A．5 B．7 C．10 D．14
【答案】B
【解析】，可得，
即，解得.故选：.
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)若，则( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以
所以即，即解得故选：D
3．(2020·全国高三专题练习)已知,则()
A． B． C．或3 D．
【答案】C
【解析】当时成立；当时也成立；故选C.
考向二 排队问题
【例2】(2020·全国高三专题练习)3名女生和5名男生排成一排．
(1)若女生全排在一起，有多少种排法？
(2)若女生都不相邻，有多少种排法？
(3)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？
(4)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？
【答案】(1)4320；(2)14400；(3)20160；(4)30960.
【解析】(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，
这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，
而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法，
因此，共有种不同排法；
(2)(插空法)先排5名男生，有种排法，
这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，
因此共有种不同排法；
(3)8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，
因此符合要求的排法种数为；
(4)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置，
法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法，
甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，
而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，
其余人全排列，共有种不同排法，
由分类加法计数原理知，共有种不同排法；
法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有种排法，
余下7个位置全排，有种排法，
但应剔除乙在最右边时的排法种，
因此共有种排法；
法三(间接法)：8名学生全排列，共种，
其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法，
乙在最右边时，有种排法，
其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，
因此共有种排法．
【方法总结】
排列问题常用方法
1. 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
2. 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
4.插空法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
6.间接法：正难则反、等价转化的方法

【举一反三】
1．(2021·河北张家口市·高三期末)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( )
A．24 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为.故选：C
2．(2020·上海高三专题练习)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】D
【解析】先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种
3．(2020·全国高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( )
A．72种 B．144种 C．360种 D．720种
【答案】B
【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B.
4．(2020·江苏南通市·高三月考)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为__________．
【答案】192
【解析】(1)当“乐”课程排在第2，5，6周时，；
(2)当“乐”课程排在第3或4周时，，所有可能的排法种数为192.
5.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【答案】(1)2520种 (2)5040种 (3)3600种(4)576种(5)1440种
【解析】(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有AA＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
考向三 排数问题
【例3】(2020·全国高三专题练习)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
【答案】(1)648；(2)156；(3)2296；(4)1140；(5)1013
【解析】(1)由题意，无重复的三位数共有个；
(2)当百位为1时，共有个数；
当百位为2时，共有个数；
当百位为3时，共有个数，
所以315是第个数；
(3)无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8，千位上不能为0，
当个位上为0时，共有个数；
当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有个数，
所以无重复的四位偶数共有个数；
(4)当选出的偶数为0时，共有个数，
当选出的偶数不为0时，共有个数，
所以这样的四位数共有个数；
(5)当挑出两个数时，渐减数共有个，
当挑出三个数时，渐减数共有个，
，
当挑出十个数时，渐减数共有个，
所以这样的数共有个.
【举一反三】
1．(2021·湖南株洲市·高三一模)由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( )
A．24 B．12 C．10 D．6
【答案】C
【解析】当个位数是0时，有个，当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，故选：C
2．(2020·全国高三专题练习)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有3×24=72个；
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有2×24=48个.共有72+48=120个．故选：B
3．(2020·龙港市第二高级中学高三开学考试)用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有________.
【答案】72
【解析】用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有个；
三个奇数中仅有两个相邻；
其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；
当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有个；
三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有个；
故符合条件的有；
故答案为：．
4．(2020·浙江金华市·高三其他模拟)用1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数，满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为_________.
【答案】
【解析】1，2，3，4，5，0组成数字不重复的六位数的个数共有个
其中1，2相邻的六位数的个数共有个
5，0相邻的六位数的个数共有个
1和2相邻且5和0相邻的六位数的个数共有个
即满足1和2不相邻，5和0不相邻，则这样的六位数的个数为
故答案为：
考向四 染色问题
【例4】(2020·安徽省六安中学)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为( )

A．360 B．400 C．420 D．480
【答案】C
【解析】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，


分4步进行分析：
①对于区域A，有5种颜色可选，
②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;
④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,
则不同的涂色方案有种;故选：C
【举一反三】
1．(2020·江苏高三专题练习)有六种不同颜色,给如图的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有________.

【答案】4320
【解析】第一个区域有6种不同的涂色方法，第二个区域有5种不同的涂色方法，第三个区域有4种不同的涂色方法，第四个区域有3种不同的涂色方法，第五个区域有4种不同的涂色方法，第六个区域有3种不同的涂色方法，根据乘法原理.
2．(2020·江苏)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)


【答案】240
【解析】从开始涂色，有4种方法，有3种方法，
①若与涂色相同，则共有种涂色方法；
②若与涂色不相同，则有2种涂色方法，
当涂色相同时，有3种涂色方法；当涂色不相同时，有2种涂法，有2种涂色方法.
共有种涂色方法.故答案为：240.
3．(2020·四川省眉山车城中学)西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有__________种涂色方法．

【答案】420
【解析】对于新疆有5种涂色的方法，
对于青海有4种涂色方法，
对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；
若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；
根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×(2×2+1×3)＝420种方法．
故答案为420.
4．(2020·全国高三专题练习)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.(用数字作答)

【答案】120
【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，
若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；
若2、4同色，则3、6同色，所以共有种栽种方法；
若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有种栽种方法；
所以共有种栽种方法.故答案为：120
考向五 分组分配问题
【例5】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
【答案】(1)60；(2)360；(3)15；(4)90；(5)15；(6)90.
【解析】(1)先从6本书中选1本，有种分配方法；
再从剩余5本书中选择2本，有种分配方法
剩余的就是2本书，有种分配方法
所以总共有种分配方法．
(2)由(1)可知分组后共有60种方法，分别分给甲乙丙后的方法有
种．
(3)从6本书中选择2本书，有种分配方法；
再从剩余4本书中选择2本书，有种分配方法；
剩余的就是2本书，有种分配方法;
所以有种分配方法．
但是，该过程有重复．假如6本书分别为A、B、C、D、E、F，若三个步骤分别选出的是．则所有情况为，，，，，．
所以分配方式共有种
(4)由(3)可知，将三种分配方式分别分给甲乙丙三人，则分配方法为
种
(5)从6本书中选4本书的方法有种
从剩余2本书中选1本书有种
因为在最后两本书选择中发生重复了
所以总共有种
(6)由(5)可知，将三种分配情况分别分给甲乙丙三人即可，即
种．
【方法总结】
分组、分配问题
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”

【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)把5张不同的电影票分给4个人，每人至少一张，则不同的分法种数为________．
【答案】．
【解析】将这张不同的电影票分成四组，每组至少一张，共有种分组办法，再分给人的不同分法有种．故答案为：．
2．(2021·全国高三专题练习)在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种(用数字作答)；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为____________.
【答案】625
【解析】从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有种；若这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程，
其中一人独自选一科，另外三人选一科，共有不同的选报方案种，
其中两人选一科，另外两人选另一科，共有不同的选报方案种，
则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为故答案为：
3.某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为 。
【答案】1500
【解析】分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C种情况；
第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共种情况.故选择情况数为CA＝1 500(种).
4．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有
【答案】126
【解析】根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有·A种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C··A种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C·A种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.
5．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
【答案】150
【解析】5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种)．



强化练习

一、单选题
1．(2020·全国高三其他模拟)十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛、乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可分类：
①甲同学选马，则有种情况符合要求；
②甲同学选牛，则有种情况符合要求；
三位同学抽取礼物的所有情况有种，
则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率．故选：A.
2．(2020·吉林油田第十一中学高三月考)从5名同学中选出正、副组长各一名，有多少种不同的选法( )
A．24 B．20 C．10 D．9
【答案】B
【解析】依题意从5名同学中选出正、副组长各一名，则有种方法故选：B
3．(2020·贵州毕节市·贵阳一中高三月考)6位同学参加校运动会6×50m趣味接力赛，甲、乙两位同学必须跑相邻两棒，则这6位同学接力赛的顺序有( )种
A．360 B．240 C．120 D．60
【答案】B
【解析】甲、乙两位同学要相邻，一共为种.故选：B．
4．(2020·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考)把座位号为、、、、、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号、、、、、的五个空位插3个板子，有种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，所以不同的分法种数为,故选：B
5．(2020·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考)在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种.
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.故选B.
6(2020·全国高三其他模拟)高三毕业时，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排合影留念，其中戊站在正中间，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法种数为( )
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】B
【解析】由题可知，戊站在正中间，位置确定，则只需排其余四人即可，则甲不与戊相邻，乙与戊相邻的站法有(种)，故选：B.
7．(2020·全国高三专题练习)在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有( )
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
【答案】C
【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.
8．(2020·全国高三专题练习)将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为( )
A．10 B．12 C．14 D．24
【答案】C
【解析】将分配方案分为甲分配到班和甲不分配到班两种情况：
①甲分配到班：有种分配方案；②甲不分配到班：有种分配方案；由分类加法计数原理可得：共有种分配方案.故选：.
9．(2020·全国高三专题练习)琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为．
所以所求的概率，故选：B．
10．(2020·全国高三专题练习)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗､为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故.故选：C.
11．(2020·全国高三专题练习)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )
A．72种 B．144种 C．288种 D．360种
【答案】B
【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.
12．(2020·浙江高三专题练习)电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为( )
A．40 B．36 C．32 D．20
【答案】A
【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，
三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有种方法，
所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.故选：A.
13．(2020·全国高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ).
A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种
【答案】B
【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，
所以只需在生、史、地、政中四选一，有(种).
对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有(种)；
第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有(种)，
语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，
也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有(种)，
其他三科可以全排列，有(种).
综上，共有(种).故选：B
14．(2020·全国高三专题练习)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )

A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】C
【解析】先涂三棱锥的三个侧面，有种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况，共有种不同的涂法．故选：C．
15．(2020·江苏南通市·高三期中)重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是( )
A．35 B．40 C．50 D．70
【答案】C
【解析】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，
所以不同的分配方案为,故选：C
16．(2020·南通西藏民族中学高三期中)从，，，，，中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为，和的最大值为，
所以当从，，，，，中任取三个数相加时，则不同结果有种．故选：C.
17．(2020·全国高三专题练习)将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组.
①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为种.故选：A.
18．(2020·河北高三月考)特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有( )
A．24 B．14 C．12 D．8
【答案】C
【解析】先把4名数学教师平分为2组，有种方法，
再把2名体育教师分别放入这两组，有种方法，
最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有种方法.故选：C.
19．(2020·全国高三专题练习)从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有( )
A．30240 B．60480 C．15120 D．630
【答案】A
【解析】在这9个数字中选取4个数字，共有种，
在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，
在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，
剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选：A.
20．(2021·全国高三专题练习)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.故选：C
21．(2021·全国高三专题练习)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
二、多选题
22．(2020·全国高三专题练习)下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，，
所以
所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：ABD
23．(2021·山东高三专题练习)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则( )
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【解析】6门中选3门共有种，故A错误；
课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；
课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；
课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．
故选：CD
三、填空题
24．(2020·全国高三专题练习)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．
【答案】360
【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有种选法；再从余下的5本中选2本，有种选法；最后余下3本全选，有种选法．故共有种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有种分配方法.故答案为: 360.
25．(2021·全国高三专题练习)新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答)
【答案】
【解析】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，共有种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有种，故答案为：.
26．(2020·金华市曙光学校)已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有______
【答案】
【解析】不管怎么排都能满足白颜色汽车至少2辆停在一起，所以分两步：
第一步，将5辆白色汽车全排列，有种；
第二步，3辆红色汽车插孔，有种；
由分步计数原理得共有种，
故答案为：
27．(2020·福建厦门市·厦门双十中学高三月考)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______
【答案】
【解析】由题意知基本事件总数，“数”必须排在前两节，
“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：
① “数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，
则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，
剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，
有种情况，故有种，
②“数”排第二位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，
则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，
剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，
有种情况，则有种情况，
由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，
“礼”和“乐”必须相邻安排共有种情况，
所以满足“数”必须排在前两节，
“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为.
故答案为：.
28．(2020·天津红桥区·高三期中)某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)
【答案】14
【解析】当体育课在最后一节时，此时另外节课可在其余位置任意排列，故有种排法；
当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第节或第节，故有种排法，
所以一共有：种排法，故答案为：.
29．(2020·北京市第十三中学高三开学考试)学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为________.
【答案】2
【解析】满足题意的排列,3142，2413，只有两个．故答案为：2．
30．(2020·全国高三专题练习)在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种(用数字回答).
【答案】20
【解析】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，
可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.故答案为：
31．(2020·上海高三专题练习)一个袋中装有同样大小、质量的个球，其中个红色、个蓝色、个黑色．经过充分混合后，若从此袋中任意取出个球，则三种颜色的球均取到的概率为_________．
【答案】
【解析】10个球中任取4个共有(种)，
三种颜色均取得有3种情形：
(1)2个红色，1个蓝色和1个黑色，共有种，
(2)1个红色，两个蓝色和1个黑色，共有种，
(3)1个红色，1个蓝色和2个黑色，共有种，
故三种颜色均取共有种，
故所求的概率为.
故答案为：.
32．(2020·上海高三专题练习)甲和乙等名志愿者参加进博会四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示).
【答案】
【解析】由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，则有种方法，
甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有种，
所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有种，
故答案为：216.
33．(2020·全国高三月考)武汉某学校的四名党员教师积极参加党员干部下沉社区的活动，在活动中他们会被随机分配到、、三个社区.若每个社区至少分配一名党员教师，且教师甲必须分配到社区，共有______种不同的分配方案.
【答案】12
【解析】根据题意有两种情况：
一是甲单独分到社区，要求剩下三名党员教师分到、两个社区，
有种分配方案，
二是甲和一名教师作伴分到社区，有种分配方案，
所以满足条件的分配方案有种，
故答案为：.
34．(2020·全国高三专题练习)已知甲、乙、丙、丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动，若每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区，不区分2人在其中的角色)，则甲、乙、丙、丁4人参加扶贫活动的不同安排方式总数是_____.
【答案】540
【解析】分情况讨论: 第一类，4个人去4个地方，有=120(种)安排方式；
第二类，4个人去2个地区，有=60(种)安排方式；
第三类，4个人去3个地区，有=360(种)安排方式.
因此，符合题意的安排方式共有120+60+360=540(种).
故答案为：540.
35．(2020·上海黄浦区·格致中学高三月考)为抗击“新型冠状病毒”，全国各地群策群力，捐款捐物，某企业出资购买了两种不同型号的新型呼吸机各两台(同种型号呼吸机不加区分)，将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，则不同分配方案有_____种
【答案】6
【解析】两种型号呼吸机的各挑一台为一组，因为同种型号呼吸机不加区分，所以只有1种组合，剩余两个型号的呼吸机各1台，分别为1组，将三组呼吸机分到三所医院共有种不同的分法，所以将这4台呼吸机捐给疫情最重区域的三所医院，每所医院至少一台，且同型号呼吸机不给同一医院，不同分配方案有种.故答案为：6
36．(2021·全国高三专题练习)“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.
【答案】432
【解析】由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为种；
“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为种；
共有种方法.
故答案为：432.
37．(2021·全国高三专题练习)新冠疫情期间，甲､乙､丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果.等候区是6(列)×2(行)的座位.甲､乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人.现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近(左右不相邻)，小孩至少坐在其一位家长身边(左右相邻).则共有______种坐法.
【答案】9216
【解析】由题甲、丙在一行, 乙在另一行和乙、丙在一行, 甲在另一行两类：
(1)甲、丙在一行, 乙在另一行, 分4步处理如下：
①先甲、丙选行，有种；
②再甲、丙选左右两边，有种；
③两边分别排甲、丙，甲、丙间隔一个位置，有种；
④排乙，乙在甲、丙另一行，又分3人相邻和只2人相邻两类，
3人相邻有，只2人相邻有种
故共有种；
(2)乙、丙在一行, 甲在另一行, 分4步处理如下
①先乙、丙选行，有种；
②再乙、丙选左右两边，有种；
③两边分别排乙、丙，乙、丙间隔一个位置，有种；
④排甲，甲在乙、丙另一行，有种，
故共有种坐法
由(1)(2)共有 种.
故答案为：9216.
38．(2020·安徽)如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．

【答案】84
【解析】分三种情况：
(1)用四种颜色涂色，有种涂法；
(2)用三种颜色涂色，有种涂法；
(3)用两种颜色涂色，有种涂法；
所以共有涂色方法.
故答案为：84
39．(2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中)在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法. 现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科， 再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有________种
【答案】
【解析】由题意，7科中任选3科，即.
分为两类，第一类：物理、历史两科中是相同学科，则有种；
第二类：物理、历史两科中没有相同学科，则种，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有.
故答案为：；
40．(2020·全国高三专题练习)某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．(用具体数字作答)
【答案】
【解析】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有种不同的排法
当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有种不同的排法
故答案为：；