2021年高考艺术生数学基础复习 考点13 等差数列（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点13 等差数列（教师版含解析），共27页。教案主要包含了等差数列中项性质，等差数列前n项和性质等内容，欢迎下载使用。

考点13 等差数列
知识理解

一．等差数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数
2.数列的单调性：d>0递增数列，d=0常数数列，d<0递减数列
二．等差数列的有关公式
1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2.前n项和公式：
当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
三． 等差数列的性质
1.中项性质
(1)数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项
(2)多项数列的中项性质




2.前n项和的性质
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d
(2)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.

考向分析
考向一 等差数列基本运算
【例1】(1)(2020·广东广州市·高三月考)设是公差为正数的等差数列，若，，则( )
A．12 B．35 C．75 D．90
(2)(2020·宁夏银川九中高三月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝( )
A．20 B．23 C．24 D．28
【答案】(1)B(2)D
【解析】(1)设公差为，则，∵，故解得，
∴．故选：B．
(2)设等差数列{an}的公差为d,由a4＝4，S9＝72，得,
解得,,故选：D.
【举一反三】
1．(2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考)等差数列中，若，，则( )
A． B． C．2 D．9
【答案】A
【解析】设公差为，则，所以.故选：A
2．(2020·冷水江市第一中学高三期中)记为等差数列的前项和，若，，则等于( )
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【解析】设数列的首项为，公差为，则由，，得：，即，
解得：，.故选：D.
3．(2020·广西玉林市·高三其他模拟)若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=( )
A．24 B．23 C．17 D．16
【答案】A
【解析】根据题意，，则，故选：A.
4．(2020·梅河口市第五中学高三月考)已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则( )
A．3 B． C．-3 D．
【答案】D
【解析】设数列是公差为，，首项为，因为
所以，所以，所以
所以故选：D
考向二 等差数列中项性质
【例2】(1)(2020·全国高三其他模拟)1，3的等差中项是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)(2020·福建高三学业考试)在等差数列中，若=4，=2，则=( )
A．-1 B．0 C．1 D．6
(3)(2020·贵州贵阳一中高三月考)已知等差数列的前n项和为，=5，则=( )
A．5 B．25 C．35 D．50

【答案】(1)B(2)B(3)B
【解析】设1和3的等差中项为，则，解得，故选：B.
(2)等差数列中，，则故选：B
(3)由题意可知，为等差数列，所以故选：B
【举一反三】
1．(2020·上海市七宝中学高三期中)已知数列为等差数列，且，则_________.
【答案】-12
【解析】由等差数列的性质，得.故答案为：.
2．(2020·贵溪市实验中学高三月考)在等差数列中，若，则______.
【答案】
【解析】由等差中项的性质可得，可得，
因此，.故答案为：.
3．(2020·天津经济技术开发区第一中学高三期中)设等差数列的前项之和为，已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，.故选：B.
4．(2020·静宁县第一中学高三月考)已知正项等差数列的前项和为，，则的值为( )
A．11 B．12 C．20 D．22
【答案】D
【解析】因为，数列是正项等差数列，所以，解得或(舍去)，
则，故选：D.
5．(2020·全国高三专题练习)已知数列满足且，则( )
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列，
，
，，，故选：B.
考向三 等差数列前n项和性质
【例3】(1)(2020·广东高三月考)已知等差数列的前n项为，，，则的值为( )
A．2 B．0 C．3 D．4
(2)．(2020·石嘴山市第三中学高三期中)两等差数列，的前n项和分别为，，若，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·天津红桥区·高三期末)设是等差数列的前项和，若，则( )
A． B．
C． D．
(4)．(2021·海南省)已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时( )．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
(5)(2020·湖北武汉市·高三期末)若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是( )
A．198 B．199 C．200 D．201
(6)(2020·新疆高三二模)在等差数列中，，其前n项和为，若，则( )
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
【答案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C
【解析】(1)因为，，成等差数列，故有，
解得.故选：A.
(2)数列是等差数列，则．
故选：C．
(3)因为为等差数列，所以.故选：D
(4)设等差数列的公差为，∵，，∴，，
联立解得：，，∴，
令，解得．当取得最小值时或7．故选：D．
(5)∵， ∴和异号；
∵，，
有等差数列的性质可知，等差数列的公差，
当时，；当时，；
又 ，，
由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A．
(6)设等差数列的前项和为，则，
所以是等差数列．因为，
所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以故选：C
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【解析】∵为等差数列，∴成等差数列，
即成等差数列，，解得.故选：C.
2．(2020·重庆高三其他模拟)等差数列的前项和为，已知，，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】等差数列的前项和为,由题意可得成等差数列，
故，代入数据可得，解得故选C
3．(2020·全国高三专题练习)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】＝＝＝＝＝＝.故选：.
4．(2020·湖南怀化市·高三期中)设是等差数列的前n项和，若，则( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，．故选：A．

5．(2021·河北承德)在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在等差数列中，，所以，
又公差，所以，故
所以数列的前6项为正数，从第7项开始为负数；
因此，当时，达到最大值.故选C
6．(2020·全国高三其他模拟)等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为( )
A．4或5 B．3或4 C．4 D．3
【答案】C
【解析】设公差为，由题意知，解得，
由等差数列前项和公式，知，
对称轴为，所以当时，最大．故选：C
7．(2020·全国高三专题练习)在等差数列中，为其前项和.若，且，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是等差数列，为其前项和，设公差为，
∴，∴，
所以数列是以为首项以为公差的等差数列，
则，解得.
又∵，∴，∴.故选：
考向四 等差数列定义运用
【例4-1】(2021·吉林长春市·高三二模节选)已知数列的通项公式为.，求证：数列是等差数列；
【答案】见解析
【解析】∵，∴()，∴数列为等差数列．
【例4-2】(2021·青海西宁市节选)已知数列满足，证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
【答案】
【解析】，两边同时除以，可得：
，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
，.
【方法总结】
等差数列的判定与证明方法
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公法前n
项和
an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列



【举一反三】
1(2020·全国高三月考节选)已知数列满足，，判断数列是否为等差数列，并说明理由；
【答案】是等差数列；详见解析
【解析】设，则，
则，，
所以，数列是首项为0，公差的等差数列.
2．(2021·山西运城市·高三期中)已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：当时，，
，所以是以1为首项，为公差的等差数列 ；
3．(2021山东高考模拟解析)已知数列满足．判断数列是否为等差数列，并说明理由；
【答案】见解析
【解析】∵，∴，
∴数列为公差为2的等差数列
4．(2020·江西丰城九中高三期中节选)数列满足，证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析；
【解析】∵，∴，∴，
∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列；
5．(2020·湖北武汉市·华中师大一附中节选)在数列，中，，，证明：数列是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题意，将代入，
可得，即，
∴，∴，
∴．
∵，
∴数列是以为公差的等差数列．




强化练习

一．单选题
1．(2020·黑龙江大庆实验中学高三期中)在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则( )
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】由得，将代入得，
因为，所以，得.故选：B
2．(2020·河南开封市·高三一模)记为等差数列的前项和，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在等差数列中，，所以，所以，故选：B
3．(2020·全国高三其他模拟)设等差数列的前项和为，且，则( )
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则由已知可得，
所以故选：B
4．(2020·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考)已知数列为等差数列，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为等差数列，所以,
∴.由,得,故选：A.
5．(2020·沙坪坝区·重庆一中高三)正项等差数列的前和为，已知，则( )
A．35 B．36 C．45 D．54
【答案】B
【解析】由题意，可得，所以，解得或，
因为，所以舍去，只有符合题意，所以.
故选：B.
6．(2020·河北邯郸市·高三月考)已知，均为正数，且，，成等差数列，则的最小值为( )
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】解析：由题，∴(当且仅当时等号成立).故选：D
7．(2020·宁夏高三其他模拟)为等差数列的前项和，若，则( ).
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，故选：B.
8．(2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三)已知数列为等差数列，为其前 项和，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得，.
故选：B.
9．(2020·山西高三月考)设等差数列的前n项和为，且，则( )
A．9 B．6 C．3 D．0
【答案】A
【解析】因为，所以，从而.故选：A．
10．(2020·舒兰市实验中学校高三学业考试)在等差数列中，已知，则该数列前11项和( )
A．58 B．88 C．143 D．176
【答案】C
【解析】因为是等差数列，所以，，
．故选：C．
11．(2020·河南高三月考)是等差数列的前项和，若.则( )
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】A
【解析】由等差数列前项和公式得，即
又由等差数列性质知：，即.故选：A.
12．(2020·黄梅国际育才高级中学高三期中)设等差数列的前项和为，若，则( )
A．60 B．120 C．160 D．240
【答案】B
【解析】因为，所以由等差数列的性质得，解得，
所以．故选：B
13．(2020·河北张家口市·高三月考)已知等差数列的前项和为，且，则( )
A．51 B．57 C．54 D．72
【答案】B
【解析】，即故选：B
14．(2020·湖南衡阳市八中高三月考)在等差数列中，，则此数列前13项的和是( )
A．13 B．26 C．52 D．56
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得，，
因为，可得，即，
故数列的前13项之和故选：B.
15．(2020·湖北高三月考)设数列的前项和为，且是等差数列，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是等差数列，设的公差为，，即，
所以，
即
所以是等差数列，，故选：C
16．(2020·福建省平和第一中学高三期中)已知等差数列的前项和为，，则( )
A．121 B．161 C．141 D．151
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以，即
所以故选：B
17．(2020·云南高三期中(理))已知等差数列的前n项和为，且，则( )
A．36 B．18 C．10 D．8
【答案】A
【解析】因为在等差数列中，，所以，所以，故选：A
18．(2020·河津中学高三月考)在等差数列中，，则( )
A．5 B．8 C．11 D．14
【答案】C
【解析】，∴.∵为等差数列，.
故选：C．
19．(2020·全国高三月考)已知等差数列的前项和为，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知等差数列的前项和为，，，，构成等差数列，
所以，且，化简解得.
又，，从而.
故选：D
21．(2020·河北衡水市·衡水中学高三)两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设两个等差数列分别为，，它们的前项和分别为，，
则，．故选：．
22．(2020·四川高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5=3a3，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，又，∴，故选：D.
23．(2020·广东肇庆市·高三月考)等差数列中，，，是数列的前n项和，则( )
A． B．是中的最大项
C．是中的最小项 D．
【答案】A
【解析】在等差数列中，，，
所以，，
A.因为 ，故正确；
B. 因为，所以不是中的最大项，故错误；
C.因为 ，所以不是中的最小项，故错误；
D.因为 ，所以，故错误；
故选：A
24．(2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学)在数列中，，则( )
A．101 B．100 C．99 D．98
【答案】A
【解析】，，数列是首项为1，公差的等差数列，
.故选：A.
二、多选题
25．(2020·辽宁高三期中)记为等差数列的前项和.已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】设首项为，公差为，
由，，可得，解得，，
∴，∴.故选：AC.
26．(2020·河北沧州市·高三期中)已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，，则( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因为，所以．
因为，，所以公差．故选：BD
27．(2020·全国高三其他模拟)已知递减的等差数列的前项和为，，则( )
A． B．最大
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A正确；
所以最大，故B正确；
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：ABD.
28．(2020·全国高三专题练习)等差数列{an}中，若S6＜S7且S7＞S8，则下面结论正确的是( )
A．a1＞0 B．S9＜S6 C．a7最大 D．(Sn)max＝S7
【答案】ABD
【解析】根据题意，等差数列{an}中，若S6＜S7且S7＞S8，
则a7＝S7﹣S6＞0，a8＝S8﹣S7＜0，
则有d＝a8﹣a7＜0，
对于A，必有a1＝a8﹣7d＞0，A正确；
对于B，S9﹣S6＝a7+a8+a9＝3a8＜0，必有S9＜S6，B正确；
对于C，等差数列{an}中，d＜0，数列{an}为递减数列，故a1最大，C错误；
对于D，数列{an}为递减等差数列，a7＞0，a8＜0，故必有(Sn)max＝S7，D正确；
故选：ABD
29．(2020·全国高三专题练习)等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据题意可知数列为递增数列，，，
前9项的和最小，故正确；
，故正确；
，故正确；
，
，
，故不正确.
故选：.
30．(2020·河北张家口市·高三月考)在等差数列中，公差，前项和为，则( )
A． B．，，则
C．若，则中的最大值是 D．若，则
【答案】AD
【解析】对于，因为，且，
所以，所以，故正确；
对于，因为，，所以，即，，即，因为，所以，所以，即，故不正确；
对于，因为，所以，所以，即，当时，等差数列递增，则，所以中的最小值是，无最大值；当时，等差数列递减，则，所以中的最大值是，无最小值，故不正确；
对于，若，则，时，，因为数列为等差数列，所以，故正确.
故选：AD
31．(2020·福建莆田市·莆田一中高三期中)已知等差数列的前项和为，，，则下列选项正确的是( )
A． B．
C． D．当且仅当时，取得最大值
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得.
所以，，，
所以当且仅当或时，取得最大值.
故选：AC
三、填空题
32．(2020·河南开封市·高三一模(理))记为等差数列的前项和，，，则___________.
【答案】
【解析】因为是等差数列，所以，
所以，
可得，
，
故答案为：
33．(2020·浙江宁波市·高三期中)设等差数列的前项和为，且，，则______.
【答案】305
【解析】设等差数列的公差为，，，
，
解得．
则．
故答案为：305．
34．(2020·贵州安顺市·高三其他模拟)已知数列中，，则__________．
【答案】
【解析】因为，
所以，又，
所以数列是以为首项，以 为公差的等差数列，
所以，
所以 ，
故答案为；
35．(2020·咸阳市高新一中高三月考)等差数列的前n项和为，若，则______
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故答案为：.
36．(2020·全国高三专题练习(理))已知等差数列的前项和满足，．则_________.
【答案】
【解析】设的公差为，
则=．
由已知可得，
解得：，
则；
故答案为：.
37．(2020·全国高三专题练习)已知是递增的等差数列，是方程的根．则=_________.
【答案】
【解析】方程的两根为2,3，由题意得
设数列的公差为d，则，解得，从而，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
38．(2020·广东深圳市·高三开学考试)如果复数成等差数列，则_____________.
【答案】4
【解析】，，
故答案为：4.
39(2021·石嘴山市第三中学高三期末(文))在前项和为的等差数列中，若，则________.
【答案】
【解析】，
即，
即，
则.
故答案为：.
40．(2020·湖北襄阳市·高三月考)设是等差数列的前项和，若，则______________.
【答案】
【解析】令，则由，得
又由等差数列的性质得，，，成等差数列，
故有，，
相加可得，
所以，则．

故答案为：．
41．(2020·通榆县第一中学校高三期中)已知等差数列的前项和为，若，，则_______.
【答案】
【解析】由题意，、、、成等差数列，
，，所以，等差数列、、、的公差为，
则，，
因此，.
故答案为：.
42．(2020·广东高三月考)设数列的前项和为，且，则数列的前20项和为_________.
【答案】210
【解析】因为数列满足，所以数列是等差数列，
所以，所以，
所以数列的前20项和为.
故答案为：.
43．(2020·全国高三专题练习)等差数列中，为其前项和，若，，则________．
【答案】
【解析】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得，
又
所以是首项为，公差为等差数列，
由，，得，
所以的公差为
所以
所以
故答案为：
44．(2020·全国高三专题练习)已知等差数列的前项和为，且，，则 ；
【答案】60
【解析】若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．
所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．
因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，

所以S30=60．
故答案为60．
45．(2020·全国高三专题练习)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝﹣8，则S9＝_____．
【答案】-42
【解析】由是等差数列，∴仍然是等差数列，
∴2×(﹣8﹣6)＝6+S9﹣(﹣8)，解得S9＝﹣42．
故答案为:．
46．(2020·福建高三其他模拟)数列中，，，则的前21项和=_________．
【答案】651
【解析】因为数列中，，，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以，
故答案为：651
47．(2020·重庆北碚区·西南大学附中高三月考)设等差数列的前项和为．若，，则________，的最小值为________．
【答案】0
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
因为，，
所以
解得
所以，
．
因为，
所以当或时，
取得最小值，最小值为．
48．(2020·浙江高三期中)已知等差数列的公差为，前项和记为，若，则__________，__________.
【答案】
【解析】，，
，，，
.
故答案为：；.