2021年高考艺术生数学基础复习 考点08 正、余弦定理（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点08 正、余弦定理（教师版含解析），共30页。教案主要包含了正余弦的选择，三角形的面积公式，正余弦综合运用等内容，欢迎下载使用。

考点08 正、余弦定理
知识理解

一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
使用条件
1.两角一边求角
2.两边对应角
1.三边求角
2.两边一角求边

二.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．




考向分析

考向一 正余弦的选择
【例1】(1)(2020·陕西省商丹高新学校)已知在中，，则_______．
(2)(2020·全国高三专题练习)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由于，
所以由正弦定理可得：，即：，解得：，
由于在中，，根据大边对大角可知：，则,
由，解得：，故答案为
(2)由正弦定理，得，结合可得，则.
【举一反三】
1．(2020·吉林高三其他模拟)在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则__．
【答案】5
【解析】因为，，，
所以由正弦定理，可得，解得．故答案为：5
2．(2020·海南华侨中学高三月考)在中，已知，，，则角的度数为______．
【答案】30°
【解析】由正弦定理，得，
又因为，故．故答案为：30°．
3．(2020·肥东县综合高中高三月考(文))在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则________．
【答案】
【解析】由正弦定理知，，所以，解得，
则或，又因为，所以为锐角，即，所以，
故答案为: .
4．(2020·上海市罗店中学)在中，已知，则=______
【答案】或.
【解析】在中，因为，
由正弦定理得，即所以，所以或
当时，得到，所以，故；
当时，得到，所以.
故答案为：或.
5．(2020·湖北高三月考)在中，，，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，解得.故答案为：
考向二 边角互换
【例2】(1)(2020·上海高三其他模拟)在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.
(2)(2020·上海格致中学高三月考)在三角形中，角的对边分别为，若，则角________
【答案】(1)(2)
【解析】(1)利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．
(2)由得：，即，
，是三角形的内角，故答案为：.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)在锐角中，角所对的边分别为，若，则角________．
【答案】
【解析】∵，∴ 根据正弦定理边角互化得：，
又∵，∴ ，∴ ，
∵为锐角三角形，∴ ∴ 故答案为：
2．(2020·全国高三专题练习)在中，角所对应的边分别为．已知，则______ ．
【答案】
【解析】将，利用正弦定理可得：，
即，∵，∴，利用正弦定理可得：，
则． 故答案为．
3．(2020·广东中山纪念中学高三月考)的内角的对边分别为若，则B=___________.
【答案】
【解析】已知， 由正弦定理可得，，
由，化简可得，∵，故．故答案为：
4．(2020·西安市第六十六中学高三期末(文))在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则角______.
【答案】
【解析】由正弦定理及
可得：,在中，，
∴,即∴，又B为三角形内角，∴=
故答案为:.
5．(2020·拉孜县中学高三月考)在中，角的对边分别为，且.则_________
【答案】
【解析】由正弦定理可知， 化简得，
，
又由，，得出，故答案为：.
考向三 三角形的面积公式
【例3】(1)(2020·天津耀华中学高三期中)在中..则的面积等于________．
(2)(2020·北京铁路二中高三期中)若的面积为，则________．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以．故答案为：．
(2)因为，所以，
又因为，所以，解得，
因为，所以，故答案为：
【举一反三】
1．(2020·陕西高三三模)已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】由于，，，
∵，∴，，
由余弦定理得，解得，
∴的面积.
故答案为：.
2．(2020·江西省信丰中学高三月考(文))在中，，，若的面积等于，则边长为__________．
【答案】
【解析】因为，故，所以.又，所以，故，从而，填．
3．(2020·黑龙江鹤岗一中高三月考(文))的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为_______．
【答案】
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
易知，所以，
又，所以，
所以，所以，即，，
所以的面积．
故答案为：.
4．(2020·河南焦作·高三一模)在中，角，，的对边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为_______.
【答案】4
【解析】因为，所以，
因为已知的面积为，
所以，整理得，
由余弦定理得，所以.故答案为：
考向四 正余弦综合运用
【例4】(2020·江苏宿迁中学高三期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，，____________？
【答案】选择见解析；三角形存在，或4.
【解析】方案一：选条件①.
在中，由余弦定理得，
故.
由①和可得，从而.
由此可得，解得或4.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时或4.
方案二：选条件②.
在中，由余弦定理得，
故.
由②可得，解得或4.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时或4.
方案三：选条件③.
在中，由余弦定理得，
故.
由正弦定理和，得，
从而，
由此可得，解得或4.
因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时或4.
【举一反三】
1．(2020·江苏高三期中)在①，②，③sinB+cosB=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，___________，A=，b=.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面积.
【答案】条件选择见解析；(1)；(2).
【解析】(1)若选①，，则由余弦定理得
，
因为，所以
若选②，，由正弦定理得
，
又，所以，所以
又，，，
若选③，由得，
所以，又，
所以，，所以，
(2)由正弦定理得，又，，
所以，
，
所以
所以
2．(2020·江苏高三期中)在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sinB的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，且a2＋b2－c2=4，c=，__________？
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】由题意可知在△ABC中，因为a2＋b2－c2=4，
且，所以，
由余弦定理可知，
因为，且，所以，
若选①a＝6，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c>a，所以C>A，又因为，则A只有一解，且，所以，
所以；
若选②a＝8，由正弦定理可得，解得，
在△ABC中，因为c 所以，
所以；
若选③a＝12，由正弦定理可得，
解得，
则△ABC无解，即三角形不存在.
强化练习

1．(2019·江西省信丰中学高三月考)在△中，三个内角所对的边分别是．若，则______．
【答案】
【解析】∵三个内角所对的边分别是，若
∴根据正弦定理得，即∴故答案为
2．(2020·海南华侨中学高三月考)中，已知，则为__________．
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，所以
，又，因此，所以．答案：．
3．(2020·山东高三月考)在中，，，，则______.
【答案】
【解析】由题意得，
即，则，，得.
4．(2020·肇东市第四中学校高三期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝2，A＝，则△ABC的面积为________．
【答案】
【解析】由正弦定理得sin B＝＝＝，
∵b ∴△ABC的面积为absin C＝.故答案为：
5．(2020·云南高三期末(理))在中，角、、所对的边分别是、、.若，，，则___________.
【答案】
【解析】因为在中，，，
所以，，
因此，
又，
所以由正弦定理可得，则.故答案为：.
6．(2020·宁夏银川一中高三月考(文))在中，角、、所对的边分别为、、.若，，时，则的面积为________.
【答案】
【解析】，且，
解得，又，所以，，
，
，
故
故答案为：
7．(2020·四川石室中学高三其他模拟)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______.
【答案】
【解析】由题可知，在中，
，
由正弦定理可得，
，
.故答案：.
8．(2020·山东高三期中)若的面积，则______.
【答案】
【解析】依题意，即，即，
所以，由于，所以.故答案为：
9．(2020·全国高三专题练习)在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为______.
【答案】2
【解析】由余弦定理得，
即，解得，
∴，
∴，
故.
故答案为：2
10．(2020·上海高三二模)在中，内角的对边分别为，若，则______．
【答案】.
【解析】
，而,
．
故答案为：
11．(2019·广西高三月考)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的值为______.
【答案】
【解析】由根据余弦定理，可得.
故答案为.
12．(2020·广东广州·高三月考)在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角，，的对边分别为，，，，，______，求的面积.
【答案】选①，；选②，；选③，
【解析】选择①
，
，
即，
化简得：，
又，
，
即，，
，，
由余弦定理得:，
解得:，，
的面积为；
选择②
，
由正弦定理可得，
又，
，
由，

即，
，
即，，
由余弦定理得，
解得：，，
的面积为；
选择③
由及，
得：，
即，
由正弦定理得：，
，即，
，
，
由，得：，，
，
，
的面积为.
13．(2020·昆明呈贡新区中学(云南大学附属中学呈贡校区)高三月考(理))已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求b的值；
(2)若满足，c＝3，求的面积.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)由余弦定理可得
，
又，
所以可得.
由于，
所以.
(2)已知，
由正弦定理可得，
由正弦二倍角公式可得，
∵，，
，，
所以或者，
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，，
，
.
综上：的面积为或.
14．(2020·广西北海·高三一)已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)，，
，.又，.
(2)据(1)求解知，.又，.
又，当且仅当时等号成立，，
，此时.
15．(2020·安徽高三月考)如图，平面四边形ABCD是由钝角ABC与锐角ACD拼接而成，且，∠BAD=.

(1)求∠CAD的大小；
(2)若AC=4，CD=，求△ACD的面积.
【答案】(1)；(2)6.
【解析】(1)在ABC中，
∵ACcos∠BAC=BCsin∠ABC，
由正弦定理得，sin∠ABCcos∠BAC=sin∠BACsin∠ABC，
∵sin∠ABC≠0，
∴tan∠BAC=1，又∠BAC∈(0，)，
∴∠BAC=
∵∠BAD=，
∴∠CAD=
(2)在ACD中，AC=4，CD=，∠CAD=
由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD，
即10=16+AD2-2×4×AD，解得AD=或AD=3
当AD=时，cos∠ADC=，
此时ACD为钝角三角形，不满足题意，舍去.
当AD=3时，
ACD的面积S=AC·ADsin∠CAD=6
16．(2020·江苏常州·高三期中)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，________.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案不唯一，见解析.
【解析】若选①，bc＝4，由于csinA＝2sinC，利用正弦定理可得ac＝2c，可得a＝2，因为bcosC＝1，
可得cosC＝＝，整理可得2a＝a2+b2﹣c2，解得b＝c＝2，所以C＝．
若选②，acosB＝1，因为csinA＝2sinC，由正弦定理可得ca＝2c，解得a＝2，
所以cosB＝，由B∈(0，π)，可得B＝，又bcosC＝1，可得acosB＝bcosC，
由余弦定理可得a•＝b•，整理可得b＝c，所以C＝B＝．
若选③，sinA＝2sinB，由正弦定理可得a＝2b，又csinA＝2sinC，由正弦定理可得ca＝2c，可得a＝2，所以b＝1，又因为bcosC＝1，可得cosC＝1，又C∈(0，π)，
所以这样的C不存在，即问题中的三角形不存在．
17．(2020·河北张家口·高三月考)在中，内角、、所对的边分别为、、，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
由正弦定理得
(*)
由余弦定理：
∴，且
∴
(2)当时，由(*)得：，当且仅当时取等号
所以
∴
18．(2020·福建莆田一中高三期中)在中，，为线段边上一点，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)考察，记，
由余弦定理得：，
即化简得：，
∴或6，
由，，∴，
∴为钝角，∴，∴．
(2)记，则，
由可得，
考察，由正弦定理可得：即，
∴，
化简得：，
∴，即．
19．(2020·河南高三一模(理))在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)∵，∴，
由正、余弦定理得，
∵，，∴，.
(2)由余弦定理得，
∵，∴，
故
.
20．(2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中(理))已知内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，且，求的周长.
【答案】(1) ；(2).
【解析】(1)在中，由余弦定理可得：，
即，
即，所以，
因为，所以 ，
(2)，解得，
由余弦定理得：，
即，所以，
所以的周长为.
21．(2020·江苏南通·高三期中)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos A＋a＝c.

(1)求cos B；
(2)如图，D为外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝，求AB的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)在中，由正弦定理得
sin Bcos A＋sin A＝sin C，
又C＝π－(A＋B)，
所以sin Bcos A＋sin A＝sin (A＋B)，
故sinBcos A＋sin A＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＝sin A，
又A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cos B＝.
(2)因为D＝2B，所以cos D＝2cos2B－1＝，
又在中，AD＝1，CD＝3，
所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D
＝1＋9－2×3×＝12，
所以AC＝，
在中，BC＝，AC＝，cos B＝，
所以由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
即12＝AB2＋6－2·AB××，化简得AB2－AB－6＝0，
解得AB＝.
故AB的长为.
22．(2020·全国高三专题练习)在①；②的面积为；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在，其内角，，的对边分别为，，，且，，______？若三角形存在，求的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】选①：因为，所以由正弦定理得，
即，
即，整理得.
因为，所以.又，所以.
又因为，所以，即.
由得:，所以.
由正弦定理，得，解得，，所以的周长为.
选②：因为，
所以由余弦定理得，即，
所以，因为，所以，下同选①.
选③：因为，所以由正弦定理得，即，
又因为，所以，因为，所以问题中的三角形不存在.
23．(2020·北京高三期中)如图，在中，是上的点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)角的大小；
(2)的面积．
条件①：；条件②：．
【答案】(1)，具体选择见解析；(2).
【解析】选择条件①：
解：(1)在中，
由余弦定理，得
.
因为，
所以.
(2)由(1)知，，
因为，所以.
所以为直角三角形.
所以，.
又因为，所以.
所以.
选择条件②：
解：(1)在中,，.
由正弦定理 ，得.
由题可知 ，
所以.
(2)由(1)知，，
因为，所以.
所以为直角三角形，
得.
又因为，所以.
所以.
24．(2020·海伦市第一中学高三期中)在中，内角，，的对边分别是，，已知，．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)由题意，得．
，
，
，
．
(2)，
由正弦定理，
可得．
，
，
．
．
25．(2020·河南高三期中)如图，在四边形中，，，，．

(1)求的值；
(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)因为，
所以可设，，．又，，
所以由余弦定理，得，解得,
所以，，．
(2)因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
26．(2020·重庆南开中学高三月考)设函数，.
(1)求函数的对称轴方程；
(2)在锐角三角形中，分别是角的对边，且，，，求的周长.
【答案】(1)；(2)周长为.
【解析】(1)因为
，
令，解得，
所以函数的对称轴方程为：
(2)因为锐角三角形，所以，所以，
又因为，所以
因为，所以
又因为，所以
所以的周长为.