2021年高考艺术生数学基础复习 考点46 三定问题（定点、定值、定直线）（学生版）

考点46  三定问题(定点、定值、定直线)

一．求定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

二．直线定点问题的求解的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；

④根据直线过定点的求解方法可求得结果.

三．解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量)；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

考向一 定值

【例1】(2021·北京丰台区·高三一模)已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.

(ⅰ)求证：直线的斜率之积为定值；

(ⅱ)判断三点是否共线，并说明理由.

【举一反三】

1．(2021·陕西宝鸡市·高三二模(文))已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值.

2．(2021·四川遂宁市·高三二模(文))如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.

(1)求的值；

(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线与直线的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由.

考向二 定点

【例2】(2021·河南月考(文))已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点(均不是椭圆的右顶点)，且满足，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【举一反三】

1．(2021·黑龙江大庆市·高三一模(理))已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．

2．(2021·全国高三月考(文))已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.

(1)求椭圆的方程；

(2)若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.

考向三 定直线

【例3】(2021·深圳实验学校高中部)如图，已知抛物线直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点.

(1)证明：；

(2)设抛物线C在点A处的切线为，在点B处的切线为，证明：与的交点M在一定直线上.

【举一反三】

1．(2021·浙江温州市)已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.

(i)求证：点在一条定直线上；

(ii)求面积的取值范围.

2．(2021·云南昆明市·昆明一中高三月考(理))已知点P是抛物线上的动点，且位于第一象限．圆，点P处的切线l与圆O交于不同两点A，B，线段的中点为D，直线与过点P且垂直于x轴的直线交于点M．

(1)求证：点M在定直线上；

(2)设点F为抛物线C的焦点，切线l与y轴交于点N，求与面积比的取值范围．

1．(2021·江苏常州市·高三一模)已知O为坐标系原点，椭圆的右焦点为点F，右准线为直线n.

(1)过点的直线交椭圆C于两个不同点，且以线段为直径的圆经过原点O，求该直线的方程；

(2)已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为.直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线，交直线l于点M.求证：为定值.

2(2021·山西临汾市·高三一模(理))已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．(2021·漠河市高级中学高三月考(理))已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

4．(2021·山东烟台市·高三一模)已知分别是椭圆的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，是面积为的直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

6．(2021·四川遂宁市·高三二模(理))如图，已知椭圆：的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，且时，.

(1)求的值；

(2)设线段，的延长线分别交椭圆于，两点，当变化时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

7．(2021·广东汕头市·高三一模)在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．

(1)求动点的轨迹方程；

(2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；

①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．

②求四边形面积的最小值．

8．(2021·河南平顶山市·高三二模(理))已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

9．(2021·北京平谷区·高三一模)已知椭圆的离心率为，并且经过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．

10．(2021·河南新乡市·高三二模(理))已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上不同于，的动点，直线，的斜率，满足，的最小值为-4.

(1)求的方程；

(2)为坐标原点，过的两条直线，满足，，且，分别交于，和，.试判断四边形的面积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由.