2021年高考艺术生数学基础复习 考点47 直线与曲线的最值问题（学生版）

考点47  直线与曲线的最值问题

一.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

1.是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

2.是代数法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解

二．解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；

③利用基本不等式求出参数的取值范围；

④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．

考向一 最值问题

【例1】(2021·漠河市高级中学高三月考(文))如图，已知椭圆上一点，右焦点为，直线交椭圆于点，且满足， ．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．

【举一反三】

1．(2021·四川成都市·高三二模(理))已知椭圆：经过点，其长半轴长为2．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．

2．(2021·浙江省宁海中学高三月考)已知点，在直线：上(在上方)，，，斜率为的直线交抛物线：于点，，直线交抛物线于点，.

(1)求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

考向二 综合运用

【例2】(2021·浙江高三其他模拟)如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的方程；

(2)若点，满足，，求的取值范围．

【举一反三】

1．(2021·辽宁铁岭市·高三一模)已知椭圆方程，直线与轴相交于点，过右焦点的直线与椭圆交于，两点．

(1)若过点的直线与垂直，且与直线交于点，线段中点为，求证：．

(2)设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否垂直，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由．

2．(2021·浙江期末)如图，已知A，B，C，D是抛物线上四个不同的点，且，设直线与直线相交于点P，设．

(1)求证：A，P，B三点的横坐标成等差数列；

(2)当直线经过点，且时，若面积的为，求直线的方程．

1．(2021·天津高三月考)已知椭圆的左焦点为F，离心率，长轴长为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点F的直线l与椭圆交于M，N两点(非长轴端点)，的延长线与椭圆交于P点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.

2．(2021·湖北武汉市)已知椭圆过点，离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于，两点.

①当直线，的斜率之和为时(其中为坐标原点)，求直线的斜率；

②求的取值范围.

3．(2021·内蒙古高三月考(文))已知椭圆的离心率，其左，右集点为，过点的直线与椭圆交于两点､的周长为.

(1)求椭圆的标准方程：

(2)过右焦点的直线互相垂直，且分别交椭圆于和四点，求的最小值

4．(2021·江西上高二中)已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点，分别以为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.

5．(2021·浙江)如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为、，记线段的中点为．

(1)证明：线段的中点在抛物线上；

(2)设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标．

7．(2021·深州长江中学)已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.

(1)求拋物线的方程；

(2)若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点(在的两侧)，与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；

(3)在(2)的条件下，求的面积的取值范围.

8(2021·浙江高三其他模拟)已知椭圆：的左、右焦点分别是，，且经过点，直线与轴的交点为，的周长为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若是坐标原点，，两点(异于点)是椭圆上的动点，且直线与直线的斜率满足，求面积的最大值．

9．(2021·全国高三月考(理))如图，已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，椭圆在点处的两切线的交点为.

(1)求证：三点共线；
 

(2)求的最小值.

10．(2021·浙江高三其他模拟)设为坐标原点，是轴上一点，过点的直线交抛物线：于点，，且．

(1)求点的坐标；

(2)求的最大值．