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-湖北省孝感市孝南区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份-湖北省孝感市孝南区2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了精心选择，一锤定音！，耐心填空，准确无误，用心做一做，显显你的能力等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1．下列四个图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．经过任意三点能画一个圆
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
4．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
6．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为 ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
7．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．12° B．15° C．25° D．30°
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）
11．若点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），则m+n的值是 ．
12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 ．
13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 ．
14．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为 ．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，且⊙O的半径为5，则弧CD的长为 （结果保留π）．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ．
三、用心做一做，显显你的能力（本大题8小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣4x＝﹣1．
18．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为（﹣1，2），（2，3），把线段AB绕着原点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，点A的对应点为A'．
（1）画出线段A'B'，并写出点A'，B'的坐标；
A'（ ， ），B'（ ， ）．
（2）根据（1）中的变化规律，把OM绕着原点O顺时针旋转90°得到ON，则点M（m，n）的对应点N的坐标是（ ， ）．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若（α+1）（β+1）＝1，求m的值．
20．如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
21．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
22．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4．
①求证：四边形ODCF为平行四边形；
②求⊙O的半径．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2020-2021学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．
故选：C．
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．经过任意三点能画一个圆
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、明天的最高气温将达35℃，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、经过任意三点能画一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、对顶角相等，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝12﹣4＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△＝（﹣2）2﹣4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
6．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为 ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S＝πrl，直接代入数据求出即可．
【解答】解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，
根据勾股定理得到母线长l＝＝＝13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π（cm2），
故选：B．
7．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入y＝﹣得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．12° B．15° C．25° D．30°
【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠B′AB＝∠BAC＝30°，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BCB＝90°，
∴∠BB′C＝90°﹣75°＝15°，
故选：B．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，表示出S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．
【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，
∴N到C的时间为：t＝3÷2＝1.5，
分两部分：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，
S△AMN＝y＝AM•AD＝x×3＝x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，
∴DC+CN＝2x，
∴BN＝6﹣2x，
∴S△AMN＝y＝AM•BN＝x（6﹣2x）＝﹣x2+3x，
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；
②根据抛物线与x轴的交点即可判断；
③根据二次函数的对称性即可判断；
④由对称轴求出b＝﹣a即可判断．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
③∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，
故③正确；
④∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④共3个．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．若点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），则m+n的值是 ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
【解答】解：∵点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），
∴m＝﹣2，n＝1，
∴m+n＝﹣2+1＝﹣1，
故答案是：﹣1．
12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 3 ．
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 8 ．
【分析】根据概率公式列方程计算．
【解答】解：根据题意得，
解得n＝8，
经检验：n＝48是分式方程的解，
故答案为：8．
14．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为 y＝2（x﹣1）2+5 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线y＝2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线y＝2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2+5．
故答案为y＝2（x﹣1）2+5．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，且⊙O的半径为5，则弧CD的长为 2π （结果保留π）．
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【解答】解：如图所示：连接OC、OD．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，
∴∠COD＝＝72°，
∴的长为：＝2π．
故答案为2π．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 （6，） ．
【分析】由D的坐标为（3，4），可求出菱形的边长，进而求出B、C、A的坐标，确定反比例函数的关系式，直线BC的关系式，联立求出交点坐标即可．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD＝＝5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y＝得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
故答案为：（6，）．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣4x＝﹣1．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
（2）∵x2﹣4x+1＝0，
∴（x﹣2）2＝3，
∴．
18．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为（﹣1，2），（2，3），把线段AB绕着原点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，点A的对应点为A'．
（1）画出线段A'B'，并写出点A'，B'的坐标；
A'（ 2 ， 1 ），B'（ 3 ， ﹣2 ）．
（2）根据（1）中的变化规律，把OM绕着原点O顺时针旋转90°得到ON，则点M（m，n）的对应点N的坐标是（ n ， ﹣m ）．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B的对应点A′、B′，从而得到点A'，B'的坐标；
（2）利用（1）中两组对应点的坐标变换规律可得到N点坐标．
【解答】解：（1）如图，线段A'B'为所作，点A'，B'的坐标分别为（2，1），（3，﹣2）；
故答案为：2，1，3，﹣2；
（2）点M（m，n）的对应点N的坐标是（n，﹣m）．
故答案为n，﹣m．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若（α+1）（β+1）＝1，求m的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β，可得△≥0，从而可以求得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴△＝b2﹣4ac＝（2m+3）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝1，
∴m2﹣（2m+3）+1＝1，
解得，m＝3或m＝﹣1，
∵m≥﹣；
∴m的值为3．
20．如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
【分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）＝＝．
21．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）求得AB与x轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，2）在上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为，
∵B（n，﹣4）在上，
∴n＝2．
∴B（2，﹣4）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，解之得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝；
（3）不等式kx+b﹣＞0的解集为：0＜x＜2或x＜﹣4．
22．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；
（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9，
经检验x2＝1.9不符合题意，
∴x＝0.1＝10%，
答：每次降价百分率为10%；
（2）设销售定价为每件m元，每月利润为w元，
则w＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴当m＝90元时，w最大为4500元．
答：当定价为90元时，w最大为4500元．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4．
①求证：四边形ODCF为平行四边形；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）由∠ODF＝180°﹣∠ODB﹣∠FDC＝180°﹣（∠ACB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°，即可求解；
（2）①用两组对边分别平行，即可求解；②在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r，由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42，即可求解．
【解答】解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠ACB+∠FDC＝90°，
连接OD，则∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，则∠ACB＝∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODF＝180°﹣∠ODB﹣∠FDC＝180°﹣（∠ACB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°，
∴DF与⊙O相切；
（2）①连接OF，
∵EF与⊙O相切，则OE⊥EF，
∵OE＝OD，OF＝OF，
∴Rt△OFE≌Rt△OFD（HL），
∴∠FOE＝∠FOD，EF＝DF，
∴∠EOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠ODB＝2∠FOD，即∠ODB＝∠FOD，
∴FO∥CD，
∵OD⊥FD，DF⊥FC，
∴OD∥FC，
∴四边形ODCF为平行四边形；
②∵四边形ODCF为平行四边形，则FC＝OD，
设圆的半径为r，
由①知，EF＝DF＝4，
在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r，
由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42，
解得r＝2或．
即圆的半径为2或．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ﹣ ，A （ ﹣3 ， 0 ），B （ 4 ， 0 ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案；
（3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可．
【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．
2020-2021学年湖北省孝感市孝南区九年级（上）期末数学试卷
一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1．下列四个图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．经过任意三点能画一个圆
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
4．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
6．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为 ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
7．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．12° B．15° C．25° D．30°
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）
11．若点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），则m+n的值是 ．
12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 ．
13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 ．
14．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为 ．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，且⊙O的半径为5，则弧CD的长为 （结果保留π）．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ．
三、用心做一做，显显你的能力（本大题8小题，共72分）
17．解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣4x＝﹣1．
18．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为（﹣1，2），（2，3），把线段AB绕着原点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，点A的对应点为A'．
（1）画出线段A'B'，并写出点A'，B'的坐标；
A'（ ， ），B'（ ， ）．
（2）根据（1）中的变化规律，把OM绕着原点O顺时针旋转90°得到ON，则点M（m，n）的对应点N的坐标是（ ， ）．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若（α+1）（β+1）＝1，求m的值．
20．如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
21．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
22．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4．
①求证：四边形ODCF为平行四边形；
②求⊙O的半径．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A （ ， ），B （ ， ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四个图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．
故选：C．
3．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天的最高气温将达35℃
B．经过任意三点能画一个圆
C．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D．对顶角相等
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、明天的最高气温将达35℃，是随机事件，故本选项不符合题意；
B、经过任意三点能画一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
D、对顶角相等，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
4．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2+x﹣1＝0 C．x2+x+1＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、△＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、△＝12﹣4＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D、△＝（﹣2）2﹣4＝0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
6．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为 ）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【分析】根据圆锥的侧面积公式：S＝πrl，直接代入数据求出即可．
【解答】解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，
根据勾股定理得到母线长l＝＝＝13（cm），
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×5×13＝65π（cm2），
故选：B．
7．已知反比例函数y＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限
B．点（2，3）在该函数图象上
C．y随x的增大而增大
D．该图象关于原点成中心对称
【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【解答】解：A．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入y＝﹣得：左边＝3，右边＝﹣3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数y＝﹣中﹣6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为（ ）
A．12° B．15° C．25° D．30°
【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：由旋转的性质可知，∠B′AB＝∠BAC＝30°，AB＝AB′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BCB＝90°，
∴∠BB′C＝90°﹣75°＝15°，
故选：B．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两部分计算y的关系式：①当点N在CD上时，易得S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个一次函数；②当点N在CB上时，底边AM不变，表示出S△AMN的关系式，S△AMN的面积关系式为一个开口向下的二次函数．
【解答】解：∵点N自D点出发沿折线DC﹣CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，
∴N到C的时间为：t＝3÷2＝1.5，
分两部分：
①当0≤x≤1.5时，如图1，此时N在DC上，
S△AMN＝y＝AM•AD＝x×3＝x，
②当1.5＜x≤3时，如图2，此时N在BC上，
∴DC+CN＝2x，
∴BN＝6﹣2x，
∴S△AMN＝y＝AM•BN＝x（6﹣2x）＝﹣x2+3x，
故选：A．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝，且经过点（2，0），下列说法：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a+b＝0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号即可判断；
②根据抛物线与x轴的交点即可判断；
③根据二次函数的对称性即可判断；
④由对称轴求出b＝﹣a即可判断．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
故②正确；
③∵对称轴为直线x＝，且经过点（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴x＝﹣1是关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个，
故③正确；
④∵由①中知b＝﹣a，
∴a+b＝0，
故④正确；
综上所述，正确的结论是②③④共3个．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．若点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），则m+n的值是 ﹣1 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点；两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
【解答】解：∵点P1（m，﹣1）关于原点的对称点是P2（2，n），
∴m＝﹣2，n＝1，
∴m+n＝﹣2+1＝﹣1，
故答案是：﹣1．
12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为 3 ．
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和4个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为 8 ．
【分析】根据概率公式列方程计算．
【解答】解：根据题意得，
解得n＝8，
经检验：n＝48是分式方程的解，
故答案为：8．
14．在平面直角坐标系中，将函数y＝2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为 y＝2（x﹣1）2+5 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，
抛物线y＝2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，
抛物线y＝2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝2（x﹣1）2+5．
故答案为y＝2（x﹣1）2+5．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，且⊙O的半径为5，则弧CD的长为 2π （结果保留π）．
【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【解答】解：如图所示：连接OC、OD．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，
∴∠COD＝＝72°，
∴的长为：＝2π．
故答案为2π．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 （6，） ．
【分析】由D的坐标为（3，4），可求出菱形的边长，进而求出B、C、A的坐标，确定反比例函数的关系式，直线BC的关系式，联立求出交点坐标即可．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD＝＝5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y＝得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k＝，b＝﹣，
∴直线BC的关系式为y＝x﹣，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
故答案为：（6，）．
三．解答题
17．解方程：
（1）x2﹣1＝3（x﹣1）；
（2）x2﹣4x＝﹣1．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝1．
（2）∵x2﹣4x+1＝0，
∴（x﹣2）2＝3，
∴．
18．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为（﹣1，2），（2，3），把线段AB绕着原点O顺时针旋转90°得到线段A'B'，点A的对应点为A'．
（1）画出线段A'B'，并写出点A'，B'的坐标；
A'（ 2 ， 1 ），B'（ 3 ， ﹣2 ）．
（2）根据（1）中的变化规律，把OM绕着原点O顺时针旋转90°得到ON，则点M（m，n）的对应点N的坐标是（ n ， ﹣m ）．
【分析】（1）利用网格特点画出A、B的对应点A′、B′，从而得到点A'，B'的坐标；
（2）利用（1）中两组对应点的坐标变换规律可得到N点坐标．
【解答】解：（1）如图，线段A'B'为所作，点A'，B'的坐标分别为（2，1），（3，﹣2）；
故答案为：2，1，3，﹣2；
（2）点M（m，n）的对应点N的坐标是（n，﹣m）．
故答案为n，﹣m．
19．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若（α+1）（β+1）＝1，求m的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β，可得△≥0，从而可以求得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1+x2﹣2x1x2＝2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴△＝b2﹣4ac＝（2m+3）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．
∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝1，
∴m2﹣（2m+3）+1＝1，
解得，m＝3或m＝﹣1，
∵m≥﹣；
∴m的值为3．
20．如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：
（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是 ；
（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．
【分析】（1）既是中心对称图形又是轴对称图形只有圆一个图形，然后根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵正三角形、平行四边形、圆、正五边形中只有圆既是中心对称图形又是轴对称图形，
∴抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的是B、C共有2种情况，
所以，P（抽出的两张卡片的图形是中心对称图形）＝＝．
21．如图，已知A（﹣4，2），B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＞0的解集（请直接写出答案）．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）求得AB与x轴的交点，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围就是一次函数的图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，2）在上，
∴m＝﹣8．
∴反比例函数的解析式为，
∵B（n，﹣4）在上，
∴n＝2．
∴B（2，﹣4）．
∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴，解之得．
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝﹣2．
∴点C（﹣2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝；
（3）不等式kx+b﹣＞0的解集为：0＜x＜2或x＜﹣4．
22．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；
（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9，
经检验x2＝1.9不符合题意，
∴x＝0.1＝10%，
答：每次降价百分率为10%；
（2）设销售定价为每件m元，每月利润为w元，
则w＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴当m＝90元时，w最大为4500元．
答：当定价为90元时，w最大为4500元．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O经过点B，与BC交于另一点D，与AB交于另一点E，作DF⊥AC，连接EF．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）若EF与⊙O相切，AC＝7，DF＝4．
①求证：四边形ODCF为平行四边形；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）由∠ODF＝180°﹣∠ODB﹣∠FDC＝180°﹣（∠ACB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°，即可求解；
（2）①用两组对边分别平行，即可求解；②在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r，由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42，即可求解．
【解答】解：（1）∵DF⊥AC，
∴∠ACB+∠FDC＝90°，
连接OD，则∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，则∠ACB＝∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODF＝180°﹣∠ODB﹣∠FDC＝180°﹣（∠ACB+∠FDC）＝180°﹣90°＝90°，
∴DF与⊙O相切；
（2）①连接OF，
∵EF与⊙O相切，则OE⊥EF，
∵OE＝OD，OF＝OF，
∴Rt△OFE≌Rt△OFD（HL），
∴∠FOE＝∠FOD，EF＝DF，
∴∠EOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠ODB＝2∠FOD，即∠ODB＝∠FOD，
∴FO∥CD，
∵OD⊥FD，DF⊥FC，
∴OD∥FC，
∴四边形ODCF为平行四边形；
②∵四边形ODCF为平行四边形，则FC＝OD，
设圆的半径为r，
由①知，EF＝DF＝4，
在Rt△AEF中，EF＝4，AE＝AB﹣BE＝7﹣2r，AF＝AC﹣FC＝7﹣r，
由勾股定理得：（7﹣r）2＝（7﹣2r）2+42，
解得r＝2或．
即圆的半径为2或．
24．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ﹣ ，A （ ﹣3 ， 0 ），B （ 4 ， 0 ）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标；
（2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQ＝PN，故求PQ+PN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案；
（3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可．
【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．
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